Algebra Vetorial

Algebra Vetorial

(Parte 2 de 3)

Vetor posição e vetor distância

•Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesianas, pode ser representado por (x, y, z).

•O vetor posição rP , ou raio vetor, de um ponto P, éum vetor que começa na origem do sistema de coordenadas e termina no ponto P, ou seja,

•O vetor distância éo deslocamento de um ponto a outro.

zyxP zâyâxâOPOPr ++=−==

EscolaPolitécnicade Pernambuco-Notasde aula de Eletromagnetismo1 –Prof. Helder A. Pereira

•Se dois pontos, Pe Q, são dados por (xP , y

P, zP ) e (xQ , y

Q, zQ ), o vetor distância, ou vetor separação, éo deslocamento de Pa Q, ou seja,

Figura 3Figura 4

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•Um campo vetorial édito constante, ou uniforme, se não depende das variáveis de espaço x, y, e z.

•Por exemplo, éum vetor uniforme, visto que Béo mesmo em qualquer ponto do espaço, enquanto que o vetor énão uniforme, pois Avaria ponto a ponto no espaço.

x 2 zâxâyxyâA −+=

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Exercícios

1.Dados os vetores A= âx + 3 âz e B= 5âx + 2ây - 6 âz , determine:

a)A magnitude de A + B. b)O vetor 5A–B.

c)A componente de Aao longo de ây .

d)Um vetor unitário paralelo a 3A+ B.

b)O vetor distância r QR .

c)A distância entre os pontos Qe R.

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Multiplicação vetorial

•Quando dois vetores, Ae B, são multiplicados entre si, o resultado pode ser um escalar ou um vetor, dependendo de como eles são multiplicados.

1.Produto ponto ou escalar:

―Édefinido, geometricamente, como o produto das magnitudes de Ae Be do cosseno do ângulo entre eles, ou seja, onde θ AB éo menor ângulo entre os vetores Ae B.

AB cos θ

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, Az ) e B=(Bx , By

, Bz ), temos que

―Dois vetores Ae B, são ditos ortogonais, ou perpendiculares, um em relação ao outro, se A.B=0.

―O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades:

zyx BABABABA ++=⋅

CABACBA Co mutativa

Distributiva

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2.Produto cruzado ou vetorial:

―Éuma quantidade vetorial cuja magnitude éa área do paralelogramo formado por Ae Be cuja orientação édada pelo avanço de um parafuso de rosca direita àmedida que A gira em direção a B.

Figura 5

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―Dessa forma, onde θ AB éo menor ângulo entre os vetores Ae Be ân éum vetor unitário normal ao plano que contém Ae B.

―A orientação de ân étomada como a orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de Aaté B.

nAB sen âBABA θ

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, Az ) e B=(Bx , By

, Bz ), então zyx zyx zyx

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+× CABACBA É distributivo

Não écomutativo Não éassociativo

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