Campos magnetostaticos

Campos magnetostaticos

EscolaPolitécnicade Pernambuco-Notasde aula de Eletromagnetismo1 –Prof. Helder A. Pereira

-TÓPICOS DAS AULAS - 1. Introdução.

2.Lei de Biot-Savart.

3.Lei circuitalde Ampère ( 3ªequação de Maxwell).

4.Densidade de fluxo magnético ( 4ªequação de Maxwell).

5.Equações de Maxwell no regime estático. 6.Potenciais magnéticos escalar e vetorial.

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Introdução

•Uma ligação definitiva entre campos elétricos e campos magnéticos foi estabelecida por Oerstedem 1820.

•Um campo eletrostático égerado por cargas estáticas ou estacionárias.

•Se as cargas estão se movimentando com velocidade constante, um campo magnético estático égerado.

•Um campo magnetostáticoégerado por um fluxo de corrente constante, ou corrente contínua.

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•Existem duas leis fundamentais que governam os campos magnetostáticos:

1.Lei de Biot-Savart: Lei geral da magnetostática.

2.Lei de Ampère: Um caso especial da lei de Biot-Savarte se aplica em problemas envolvendo distribuição simétrica de corrente.

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Lei de Biot-Savart

•A intensidade do campo magnético dH, gerada em um ponto P, devido ao elemento diferencial de corrente Idl, é aproximadamente igual a senR Idl dH α ≈ α dl d H

Figura 1

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•Ou ainda onde krepresenta a constante de proporcionalidade, que no SI é igual a

• Portanto senR

Idl kdH α senR Idl

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•Na forma vetorial, temos que

•Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga, podemos ter diferentes distribuições de corrente, tais co mo:

1.Corrente em uma linha. 2.Corrente em uma superfície. 3.Corrente em um volume.

RlIdR lId pipi

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•Os elementos-fonte estão relacionados da seguinte forma:

dvJdSKlId

Figura 2

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•Dessa forma, em termos de fonte de corrente distribuída, a lei de Biot-Savartse torna

RdvJ H

RdSK H

RlId H pi Correnteem uma linha

Correnteem uma superfície Correnteem um volume

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Exercícios

1.Determine o campo magnético no ponto Pdevido a uma corrente que percorre um condutor filamentarretilíneo de comprimento finito AB.

2.Determine o campo magnético no ponto Pdevido a uma corrente que percorre um condutor filamentarretilíneo de comprimento se mi-infinito.

3.Determine o campo magnético no ponto Pdevido a uma corrente que percorre um condutor filamentarretilíneo de comprimento infinito.

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Lei circuitalde Ampère

•A integral de linha da componente tangencial do campo magnético em torno de um caminho fechado éigual àcorrente líquida envolvida pelo caminho, ou seja,

•Ésimilar àlei de Gauss e éde fácil aplicação para determinar o campo magnético quando a distribuição de corrente for si métrica.

IldH env

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•Aplicando o teorema de Stokes, temos que

• Portanto

SdJISdHldH env

3ªequação de Maxwell na forma diferencial.

O campo magnetostático não éconservativo.

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Exercícios

4.Determine o campo magnético considerando uma corrente percorrendo uma linha infinita.

5.Determine o campo magnético considerando uma corrente distribuída ao longo de uma superfície infinita.

6.Determine o campo magnético considerando uma corrente distribuída ao longo de uma linha de transmissão infinitamente longa.

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Densidade de fluxo magnético

• µ0 representa a permeabilidade magnética do espaço livre, sendo

•O fluxo magnético, através da superfície Sédado por onde Ψédado em Weber (Wb) e Bem Wb/m²ou Tesla (T).

⋅=Ψ S SdB

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•A linha de fluxo magnético éo caminho, na região do campo magnético, em relação ao qual o vetor densidade de fluxo magnético étangente em cada ponto.

•Ésempre válida a afirmação de que as linhas de fluxo magnético são fechadas e não se cruzam, independente da distribuição de corrente.

•Isto se deve ao fato de que não épossível ter um pólo magnético isolado, ou seja, cargas magnéticas.

Figura 3

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•Dessa, forma o fluxo total através de uma superfície fechada, em um campo magnético deve ser zero, isto é,

•Aplicando o teorema da divergente, temos que

S SdB dvBSdB vS

4ªequação de Maxwell

Lei da conservaçãodo fluxo magnético ou Lei de Gauss para campos magnetostáticos

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Equações de Maxwell no regime estático

S vS

SdJldHJH ldEE

SdBB dvSdDD ρρ Lei de Gauss

Não existe monopólo magnético

Campo eletrostático conservativo

Lei de A mpére

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Potenciais magnéticos escalar e vetorial • Identidades i mportantes:

Vm representao potencial magnético escalar

Arepresentao potencial magnético vetorial

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•O potencial magnético escalar édefinido como

•O potencial magnético vetorial étal que

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•Sabendo-se que onde Réa distância do elemento de corrente no ponto fonte até o ponto onde se quer determinar o campo, conforme ilustrado na figura 4

RlId

4 pi

Figura 4

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•Considerando que temos que •Aplicando a identidade vetorial lIdB 1

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• Obte mos

•Dessa forma, lId AB dvJ A dSK A lId A pi µ pi µ µ Correnteem uma linha

Correnteem uma superfície

Correnteem um volume

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•Para o fluxo magnético, temos que

LSS ldASdASdB

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•Exemplos típicos de solenóides Figura 5

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•Exemplos típicos de solenóides

Figura 6 Figura 7

Figura 8

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•Exemplos típicos de toróides

Figura 9Figura 10 Figura 1

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Exercícios

7.Um solenóide de comprimento le raio a consiste de Nespiras de fio percorridas por uma corrente I. Demonstre que, em um ponto Pao longo do seu eixo,

8.Um toróidetem Nespiras e épercorrido por uma corrente I.

Determine a intensidade do campo magnético dentro e fora do toróide.

9.Uma distribuição de corrente dáorigem a um potencial magnético vetorial igual a (x²y, xy², -4xyz) Wb/m. Calcule a)O vetor densidade de fluxo magnético no ponto (-1, 2, 5).

b)O fluxo através da superfície definida por 41,10,1 ≤≤−≤≤= yxz

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