resumo trigonometria

EXERCÍCIOS

1. Dois lados adjacentes de um retângulo têm 15,80 cm e 11,90 cm. Determine os ângulos que a diagonal do retângulo faz com ambos os lados (em sexagesimal).

Respostas Tang de A =11,90cm÷ 11,80cm= 0,7531 = 36,98576 = 36°.59’09” Graus. Tang de B = 15,80cm÷11,90cm= 1,3277 = 53,0142 = 59°.00’01” Graus.

2. Uma rampa uniforme sobe 10,5 km num trecho de 60 km de comprimento (distância inclinada). Determine o ângulo entre a rampa e a horizontal (em sexagesimal).

Resposta Seno de A =10,50Km ÷ 60,00Km = 0,175 = 10,07865 = 10°04’43” Graus.

3. Em um triângulo retângulo, os lados que contem o ângulo reto (catetos) têm 4,5m e 5,8m, Determine os ângulos e o comprimento da hipotenusa.

Respostas Tang de A = 4,50m÷5,80m = 0,775862 = 37,8065 = 37°48’24” Graus. Tang de B = 5,80m÷4,50m = 1,288888 = 52,1934 = 52°11’36” Graus. c² = 4,50²+5,80² = 7,34m

4. Em um triângulo de lados a, b e c:

4.1. Quando  = 54° 00' ; B = 67° 00' e a = 13,9 m. Determine b e c.

Respostas C = 180°00’00”- (54°00’00”+67°00’00”) = 59°00’00” = Graus. b = 13,90 x seno B (67°00’00”) ÷ seno B+C (126°00’00”) = 15,82m c = 13,90 x seno de C (59°00’00”) ÷ seno B+C (126°00’00”) = 14,73m

4.2. Quando A= 38° 15'; B = 29° 38' e b = 16,2m, Determine a e c

Respostas C = 180°00’00”- (38°15’00”+29°38’00”) = 112°07’00” = Graus. a = 16,20m x seno A (38°15’00”) ÷ seno A+C (150°22’00”) = 20,284m c = 16,20m x seno C (112°07’00”) ÷ seno A+C (150°22’00”) = 30,353m

5. Determine os ângulos do triangulo cujos lados são: a = 8,0m, b= 9,0m. c = 12,0m.

Respostas Seno de A = 8,00m÷12,00m = 0,666666 = 41,8103 = 41°48’37” Graus. Seno de B = 9,00m÷12,00m = 0,75 = 48,5904 = 48°35’25” Graus. C = 180°00’00” – (41°48’37”+48°35’25”) = ‰89°35’57” Graus.

6. Em um triângulo: A= 75° 12', b = 43m e c = 35m. Determine B e C.

Respostas a² = (43,00m²+35,00m²)-2x43,00mx35,00mx Cos 75°12’00” = 48,01m Cos de B=(48,01m²+35,00m²-43,00m²) ÷ (2x48,01mx35,00m) = 59°59’10” Cos. de C = (48,01m²+43,00m²-35,00m²) ÷ (2x48,01mx43,00m) = 44°48’50”

7. Determine a área de um triângulo quando a = 6,2m; b = 7,8m e C = 52° 00'

Respostas a² = (6,20m² + 7,80m²) – (2x6,20mx7,80mx Cos 52°00’00”) = 6,30m s (Semi-perímetro) = (6,20m+7,80m+6,30m)÷2 = 10,15m Onde: ∆ = 10,15m x (10,15m-6,20m)x(10,15m-7,80m)x(10,15m-6,30) = 19,045m²

8. Determine a área de um triângulo cujos lados tem: 325,00 m; 256,00 m e 189,00 m

Resposta: s (Semi-perímetro) = (325,00m+256,00m+189,00m)÷2 = 385,00m

Onde:

∆ = 385,00m x (385,00m-325,00m)x(385,00m-256,00m)x(385,00m-189,00) = 24.167,342m² = 2,417ha = 0.999 alq. Paulista.

9. Em um levantamento topográfico, conforme o croqui apresentado abaixo foram obtidos os seguintes valores:

a) PQ = 200,00 m (linha de base)

b) a partir do ponto P: BPA = 40° 58’; APQ = 38° 40’

c) a partir do ponto Q: BQP = 29° 30'; AQP = 108° 20'

Determinar o comprimento do alinhamento AB,

Desta Forma:

Distâncias calculadas:

A-Q = [(200,00m x Seno. 38°40’00”) ÷ (Seno(38°40’00”+108°20’00”)] = 229,432m

P-B = [(200,00m² + 208,238m²)-(2x200,00m+208,238mxCos.29°30’00”)]= 104,243m

P-A = [(200,00m x Seno. 108°20’00”) ÷ (Seno(108°20’00”+38°40’00”)] = 348,576m

P-C = [(104,243m x Seno. 70°52’00”) ÷ (Seno(40°58’00”+70°52’00”)] = 106,091m; ou

[(104,243m²+73,622m²)-(2x104,243mx73,622mxCos. 70°52’00”)] =106,091m

C-A = [(229,432m x Seno. 78°50’00”) ÷ (Seno(78°50’00”+33°00’00”)] = 242,482m

Q-B = [(200,00m x Seno. 38°40’00”+40°58’00”) ÷ (Seno(79°38’00”+29°30’00”)] = 208,238m

Q-C = [(229,432m x Seno. 33°00’00”) ÷ (Seno(78°50’00”+33°00’00”)] = 134,613m; ou

[(229,432m²+242,482m²)-(2x229,432mx242,482mxCos. 33°00’00”)] =134,613m

C-B = [(104,243m x Seno. 40°58’00”) ÷ (Seno(40°58’00”+70°52’00”)] = 73,622m

A-B =[(73,622m²+242,482m²)-(2x73,622x242,482xCos. 111°50’00”)] = 278,383

Ângulos calculados:

PRQ = 180-(29°30’00”+38°40’00”) = 70°52’00”

PCQ = 180-(29°30’00”+38°40’00”+40°58’00”) = 111°50’00”

AQB = 108°20’00”-29°30’00”= 78°50’00”

QAP = Cos. de A = (229,432² +348,576²-200,00²) ÷ (2x229,432x348,5576) = 33°00’00” Graus.

ACQ = 180-((108°20’00”-29°30’00”)+(33°00’00”)) = 68°10’00”

PCB = 180-(40°58’00”-70°52’00”) = 68°10’00”

ACB = 360-(68°10’00”x2-111°50’00”) = 111°50’00”

10. Um terreno, em forma de paralelogramo, foi levantado conforme croqui abaixo, obtendo-se os seguintes dados:

a) A-B = 60,00 m; b) α = 60° 30' 15’’ e β = 12° 51’20’’

Determinar:

10.1. O perímetro do polígono;

10.2. A área do polígono ACBD, pelo método de Heron.

Respostas A-C,B-D = (Distâncias b e e) = [60,00m x Seno (129°25’20”- 90°) ÷ (Seno(90° -60°30’15”)+(129°25’20”-90”)] = 40,835m B-C,A-D = (Distâncias c e d) = [60,00m x Seno (90° -60°30’15”) ÷(Seno(90° -60°30’15”) + (129°25’20”-90”)] = 31,6608m Perímetro = (31,6608x2+40,835x2) =144,916m Semi-perímetro) = a +b+c = (31,6608+60,00+40,835) = 66,2479m 2 2 ∆1= 66,2479x(66,2479-31,6608)x(66,2479-60,00)x(66,2479-40,835) = 603,166595m² ∆ Total = 603,166595m² x 2 = 1.203,3319m²

11. Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.

Resposta h² = 27,68m²-[(20,00m²+27,68m²-25,42m²)÷(2x25,42m)]² = 24,44m

EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA

1. Represente graficamente, no plano cartesiano, o polígono cujas coordenadas dos vértices são:

A (-3;2), B ( 1;3), C (3;5), D ( 5; 0), E (2;-3) e F (0;-2).

2. Ainda com relação ao polígono anterior, unindo-se através de uma linha os vértices A e D, qual o valor do ângulo agudo (α) formado entre AD e o eixo das abscissas? Qual o comprimento de AD?

Resposta 1	Resposta 2
	Respostas ângulo AD eixo abscissas = Ponto – interseção com o eixo = 2,00m Interseção com Ponto D = 8,00m Desta Forma: Tang 2,00m÷8,00m = Arcotagente = 14°02’10”. Distância A-D = 8,00 ÷ Cos.14°02’10” = 8,246m.

3. As coordenadas polares dos vértices de um triângulo são:

A (4,243 m; 45°00'00'')

B (7, 616 m; 23° 11'55")

C (5,000 m; 00°00'00")

Calcular as respectivas coordenadas retangulares (ou cartesianas)

Respostas Ponto A = (Y) = 4,243m x Seno 45°00’00” = 3,00m (X) = 4,243m x Cos. 45°00’00” = 3,00m Ponto B = (Y) = 7,616m x Seno 23°11’55” = 3,00m (X) = 7,616m x Cos. 23°11’55” = 7,00m Ponto C = (Y) = 5,000m x Seno 00°00’00” = 0,00m (X) = 5,000m x Cos. 00°00’00” = 5,00m

EXERCÍCIOS

1) Transformar a área de 21 alqueires, 3 quartas e 15 litros em hectare.

R: 21Alqueires x 2,42ha + 3quartas x 0.6050ha + 15litros x 0.0605ha =

Onde 21 x 2,42 + 3 x 0,605 + 15 x 0,0605 = 53,44ha

2) Qual a altura de lâmina d'água de 1000 litros distribuídos uniformemente em 5 m² ?

R: 1.000 l 1,00m² = (1,00x1,00) = 1,00m² x 1,00 = 1,00m³

5.000l X

Onde: X = 1.000 ÷ 5.000 = 0,20 – Portanto 1 x 0,20 = 0,20m

3) Transformar - 30,4560 graus, em graus, minutos e segundos; e - 60° 45' 50" em graus.

a) R = 30,4560 = Parte inteira = Graus = 30°

0,4560 x 60 = 27,36 parte inteira = minutos = 27’

0,36 x 60 = 21,60 Parte inteira = Segundos = 21”

Desta forma: 30,4560 = 30°27’21” Graus, minutos e segundos.

b) R = 60°45’50” = Separe os Segundos = 50” ÷ 60 = 0,83333

Some com os Minutos 0,83333 +45’ = 45,833333÷ 60 = 0,763888888

Some com os Graus = 0,7638888+60° = 60,763888888

Desta Forma 60°45’50”= 60,76388888 Graus.

4) Qual a distância linear entre dois traços mais próximos de um círculo com 10 cm de raio, dividido em 720 partes iguais (0,5 graus/parte)? E se o raio fosse 7 cm?

R: = Raio de 10cm Circunferência = 0,628m ÷ 720 = 0,0008,7263 ou 8,726x10⁻⁴

= Raio de 7cm Circunferência = 0,4398m ÷ 720 = 0,0006109 ou 6,109x10⁻⁴

5) Verifique em uma calculadora o valor do seno de 1” . E o inverso desse valor, qual é ?

a) Seno de 00°00’01”= 0,00000485 = 4,85⁻⁶

b) inverso = 206264,8063

6) Transformar 648 000 " em radianos e 1 rad em segundos sexagesimais.

a) 2 pi = 360° x 60 = 21600’ x 60 = 1.296000”

648000” X

360° (2pi) ÷ (1296000” ÷ 648000) = 180 (1pi)

Portanto: 648000”= 1pi

b) R: = 2 pi (Rad) = 360°

1 Rad. = X

X = 360° ÷ 2pi = 57,29577951

1 rad = 57,29577951

Desta Forma 57,29577951 = 57°17’44”

Resposta = 57°17’44”

TRABALHO: Elaborar algoritmos para transformar graus em graus, minutos e segundos e vice-versa.

ALGORITIMOS
1) - Transformar Graus minutos e segundo em decimal e vice-versa
TIPO	Produto Inicial	Procedimento	Processo passo a passo
Graus/Decimal	45°35'10"	1º) - Separa o inteiro (Graus), Pegue os segundos e divida por 60, some o resultado com os minutos e divida novamente por 60, finalizando some o produto final com os graus. 2º) – Separe o inteiro (Graus), Pegue os minutos e divida por 60, some o resultado com os segundos divido por 3600, finalizando some o produto final com os graus.	45
			= (10÷ 60) = 0,16667
=(0,16667+35) = 35,1667÷60 = 0,586111
			= (0,586111+45)= 45,5861111
45
			= (35 ÷ 60) = 0,58333333
= (0,583333) + (10÷3600) = 0,586111
			= 45+0,5861111 = 45,586111
Decimal/Graus	45,586111	Separe o inteiro, que é o Graus(°), Pegue os algarismos restantes e multiplica por 60, tire a parte inteira do produto = que é os minutos('), e multiplique o restante novamente por 60, para encontrar o segundos (")	45
			= (0,586111x60) = 35,16667 - Tire a parte inteira coloque após virgula do graus, ficará assim 45°35’
= 0,16667x60 = 10 que é o segundos
			Resultado Final = 45°35'10"