Baixe Matemática Básica Coleção Fundamental 1 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! - i - Apostila de Matemática Básica Assunto: MATEMÁTICA BÁSICA Coleção Fundamental - volume 1/8 - 2 - Sumário Unidade 1 – Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio ......................................... 04 1.1 Apresentação ....................................................................................................................... 04 1.2 Simbologia Matemática mais usual ..................................................................................... 04 1.3 Conjuntos Numéricos .......................................................................................................... 05 1.4 Operações com Números Relativos..................................................................................... 07 1.4.1 Soma ou Adição....................................................................................................... 07 1.4.2 Subtração ou Diferença............................................................................................ 08 1.4.3 Multiplicação ........................................................................................................... 09 1.4.4 Divisão..................................................................................................................... 09 1.4.5 Potenciação .............................................................................................................. 10 1.4.6 Radiciação................................................................................................................ 11 1.4.7 Produto..................................................................................................................... 14 1.4.8 Expoente Nulo ......................................................................................................... 15 1.4.9 Expoente Negativo................................................................................................... 15 1.4.10 Expoente Fracionário............................................................................................... 16 1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos números ................................................................................................................... 16 1.5 Produtos Notáveis................................................................................................................ 16 1.5.1 Quadrado de um binômio ........................................................................................ 16 1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferença entre eles...................................... 17 1.5.3 Cubo de um binômio ............................................................................................... 17 1.6 Equações.............................................................................................................................. 19 1.6.1 Equação do 1.º grau com uma Incógnita ................................................................. 19 1.6.2 Equação do 2.º grau com uma Incógnita ................................................................. 20 1.7 Progressão Aritmética (P. A.).............................................................................................. 22 1.7.1 Definição.................................................................................................................. 22 1.7.2 Classificação ............................................................................................................ 22 1.7.3 Termo Geral............................................................................................................. 23 1.7.4 Propriedades ............................................................................................................ 23 1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.............................................................. 25 1.8 Progressão Geométrica (P. G.) ............................................................................................ 28 1.8.1 Definição.................................................................................................................. 28 1.8.2 Classificação ............................................................................................................ 29 1.8.3 Termo Geral............................................................................................................. 29 1.8.4 Propriedades ............................................................................................................ 30 1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G.............................................................. 32 1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano...................................................................................... 35 1.10 Equação reduzida da Reta.................................................................................................... 37 1.11 Noção de Aplicação............................................................................................................. 42 1.12 Exercícios Propostos............................................................................................................ 43 1.13 Respostas dos Exercícios Propostos .................................................................................... 46 1.14 Números Complexos ........................................................................................................... 47 1.14.1 Introdução ................................................................................................................ 47 1.14.2 Potências de j ........................................................................................................... 50 1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo .............................................. 51 a) Representações .................................................................................................. 51 b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências ........................................................ 54 - 5 - Unidade 1 Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio 1.1 Apresentação Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática 1 dos cursos da área de Informática da Universidade Estácio de Sá. Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares. 1.2 Simbologia Matemática mais usual Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia: a) = (igual à) b) ≠ (diferente de) c) φ ou { } (conjunto vazio) d) ∈ (pertence à) e) ∉ (não pertence à) f) ⊂ (está contido) g) ⊄ (não está contido) h) ⊃ (contém) i) ⊃/ (não contém) j) ∃ (existe pelo menos um) k) ∃/ (não existe) l) ∃| (existe e é único) m) | (tal que / tais que) n) ∨ (ou) o) ∧ (e) p) BA∩ (interseção dos conjuntos A e B) q) BA ∪ (união dos conjuntos A e B) - 6 - r) ∀ (para todo e qualquer, qualquer que seja) s) ⇒ (implica) t) ⇔ (implica e a recíproca é equivalente) u) ∴ (donde se conclui) 1.3 Conjuntos Numéricos É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam: a) N { }K 4, 3, 2, 1, 0,= é o conjunto dos números inteiros não-negativos. b) Z { }KK 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 , −−−= é o conjunto dos números inteiros. c) Q       == q p xx | sendo p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠0. É o conjunto dos números racionais. São exemplos de números racionais: 5 3− , 2 9− , 3 8+ , etc. São exemplos de números irracionais: K14159,3=π (pi), K71828,2=e (base dos logaritmos neperianos), K41421,12 = , K73205,13 = , etc. d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em ambos os sentidos. ∞+∞− 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 2 2 2 1 1 3 Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R. - 7 - e) { }yxzz j+== |C , sendo x ∈ R, y ∈ R e é 1−=j , é o conjuntos dos números complexos (voltaremos a tal assunto na seção 1.14). Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto. Assim, temos: f) N* { } { ∈== xx |5, 4, 3, 2, 1, K N e }0≠x é o conjunto dos números naturais. g) Z* { ∈= xx | Z e }0≠x h) Q* { ∈= xx | Q e }0≠x i) R* { ∈= xx | R e }0≠x j) C* { ∈= xx | C e }0≠x Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos dos conjunto. k) Z + { ∈= xx | Z e }0≥x = N é o conjunto dos números inteiros não negativos. l) Q+ { ∈= xx | Q e }0≥x é o conjunto dos números racionais não negativos m) R+ { ∈= xx | R e }0≥x é o conjunto dos números reais não negativos. Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos: n) Z − { ∈= xx | Z e }0≤x é o conjunto dos números inteiros não positivos. o) Q− { ∈= xx | Q e }0≤x é o conjuntos dos números racionais não positivos. p) R− { ∈= xx | R e }0≤x é o conjunto dos números reais não positivos. - 10 - — 10)7()3( −=−+− — soma de ambos os resultados: — 2)10()12( +=−++ 1.4.2 Subtração ou Diferença Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior. • ILUSTRAÇÃO 1.5 a) 8210)2()10( +=−+=+−+ b) 12210)2()10( +=++=−−+ c) 12210)2()10( −=−−=+−− d) 8210)2()10( −=+−=−−− Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”. 1.4.3 Multiplicação - 11 - • Ilustração 1.6 a) 20)2()10( +=+×+ b) 20)2()10( −=−×+ c) 20)2()10( −=+×− d) 20)2()10( +=−×− 1.4.4 Divisão • Ilustração 1.7 a) 5)2()10( +=+÷+ b) 5)2()10( −=−÷+ c) 5)2()10( −=+÷− d) 5)2()10( +=−÷− 1.4.5 Potenciação Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por: pa Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base. - 12 - • Ilustração 1.8 a) ( ) ( ) ( ) ( ) 162)2(222 4 =+×+×+×+=+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) 162222)2( 4 =−×−×−×−=− c) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 =+×+×+=+ d) ( ) ( ) ( ) 8222)2( 3 −=−×−×−=− Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência de operações é simples: (a) Determinar 42 : 1.º) Digitamos a base (2) 2.º) Pressionamos a tecla exponencial      xy yx (CASIO modelo fx-82LB) ou (CASIO modelo fx-6300 G)      , que depende do modelo da minicalculadora. 3.º) Digitamos o expoente (4) 4.º) Pressionamos a tecla exponencial      = EXE (CASIO modelo fx – 82LB) ou (CASIO modelo fx – 6300G)      , que depende do modelo da minicalculadora. 5.º) Vai aparecer o número 16 no visor da calculadora. (b) Determinar ( )42− : Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB, por exemplo) digitamos o número 2 e depois apertamos a tecla −+ para trocar o sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois - 15 - • Ilustração 1.10 1.º caso ( ) ( ) ( ) ( )          +=− +=+±=+    +=− +=+±=+ 6255 6255 pois 5625 648 648 pois 864 4 4 4 2 2.º caso ( ) ( )   −=−−=− +=++=+ 322 pois 232 322 pois 232 55 55 3.º caso    ±=− 1.14 seção na abordado será assunto tal mencionado já conforme e, 4 j Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então ± 3. A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples: a) Determinar 4 625 : a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB: 1.º) Digitamos o radicando 625 2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y 3.º) Digitamos o expoente 4 4.º) Pressionamos a tecla = 5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é ± 5. a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G 1.º) Digitamos o índice 4 2.º) Pressionamos a tecla x 3.º) Digitamos o radicando 625 - 16 - 4.º) Pressionamos a tecla EXE 5.º) O número 5 aparece no visor b) Determinar 5 32− : a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB 1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla −+ para trocar o seu sinal 2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y 3.º) Digitamos o índice 5 4.º) Pressionamos a tecla = 5.º) O valor – 2 aparece no visor. a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G 1.º) Digitamos o índice 5 2.º) Pressionamos a tecla x 3.º) Pressionamos a tecla − e depois o valor 32 4.º) Pressionamos a tecla EXE 5.º) O valor – 2 aparece no visor. Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros fabricantes? Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se familiarizar com o uso da mesma. 1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do denominador do expoente do numerador. - 17 - • Ilustração 1.11 a) 2 3 2 1 423 2 1 423 aaaaaa ==××× +−+− b) 358 5 8 bb b b == − c) 352 5 2 −− == xx x x d) 7)4(3 4 3 II I I == −−− 1.4.8. Expoente Nulo Toda potência de expoente nulo é igual à unidade. Ilustração 1.12 10 =a Observação: São exceções 00 e 0∞ , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites. 1.4.9 Expoente Negativo Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: n n a a 1=− . (1) - 20 - 22 2 2 2 baba bab aba ba ba ++ ++ + + + 222 2)( bababa ++=+ (4) b) 2)( ba − : 22222 2)( )()( babababababababa +−=+−−=−−=− ou 22 2 2 2 baba bab aba ba ba +− +− − − − 222 2)( bababa +−=− (5) 1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles )( )( baba −+ : 2222)( )( babababababa −=−+−=−+ ou 22 2 2 ba bab aba ba ba − +− + − + 22)( )( bababa −=−+ (6) 1.5.3 Cubo de um binômio - 21 - a) =+++=++=+ )2)(())(()( 2223 babababababa =+++++= 322223 22 babbaabbaa 3223 33 babbaa +++= ou 3223 322 223 22 33 2 2 2 babbaa babba abbaa ba baba +++ ++ ++ + ++ 32233 33)( babbaaba +++=+ (7) b) =+−−=−−=− )2)(())(()( 2223 babababababa =−+−+−= 322223 22 babbaabbaa 3223 33 babbaa −+−= ou 3223 322 223 22 33 2 2 2 babbaa babba abbaa ba baba −+− −+− +− − +− ( ) 32233 33 babbaaba −+−=− (8) - 22 - • Ilustração 1.16 a) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=+ 222 55 25 xxaaxa 22 2510 xaxa ++= b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−=− 222222 33 52535 yyxxyx 224 93025 yyxx +−= c) ( )( ) ( ) ( ) yxyxyxyx −=−=−+ 22 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=+ 32233 33 2 332 3232 yyxyxxyx 3223 2754368 yxyyxx +++= e) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−+−=− 32233 22 32 32 yyxyxxyx 3223 8126 yxyyxx −+−= 1.6 Equações 1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma 0=+ baz (9) em que 0≠a . Sua solução é: ⇒−=⇒=+ bazbaz 0 a b z −= (10) EXEMPLO 1.1 Resolver as seguintes equações do 1º grau: a) 3713 −=+ zz b) 12 15 2 5 = x - 25 - c) 01342 =++ zz Solução: a)      −= = = ⇒=−+ 3 5 2 0352 2 c b a zz ( ) 4932454 22 =−××−=−=∆ acb 4 75 22 495 2 ±−= × ±−=∆±−= a b z 2 1 4 2 4 75 1 == +−=z 3 4 12 4 75 2 −= −=−−=z b)      = −= = ⇒=+− 1 4 4 0144 2 c b a zz ( ) 014444 22 =××−−=−=∆ acb ( ) 8 04 42 04 2 ±= × ±−−=∆±−= a b z dupla raiz 2 1 8 04 2 1 8 04 2 1       =−= =+= z z c)      = = = ⇒=++ 13 4 1 01342 c b a zz ( ) 0365216131444 22 <−=−=××−=−=∆ acb e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção 1.14.1 ( 321 j+−=z e 322 j−−=z são as suas raízes). 1.7 Progressão Aritmética (P.A.) 1.7.1 Definição - 26 - É uma sucessão de termos ( , , , , , , , , , 1 termos 14321 K4444 34444 21 K +− n n nn aaaaaaa ) finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da progressão, ou seja: raaaaaaaa nnnn =−=−==−=− +− 112312 K As seguintes seqüências são exemplos de P.A.: a) ( 2 ) 22 17, 12, 7, 2, 1 =⇒ aK e 5=r b) ( xatxtxtxx =⇒+++ 1 ) 6 ,4 ,2 , K e tr 2= c) ( 5 ) 5 ,5 ,5 ,5 ,5 1 =⇒ aK e 0=r d) 7 9 , 2 17 ,8 , 2 15 ,7 1 =⇒      aK e 2 1=r e) ( 8 ) 4 1, ,2 ,5 ,8 1 =⇒−− aK e 3−=r 1.7.2 Classificação As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r: ⇒> 0r P.A. crescente ⇒= 0r P.A. constante ou estacionária ⇒< 0r P.A. decrescente 1.7.3 Termo geral A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma: ( ) ( ) ( )rnaraaraa rarraraaraa rarraraaraa raaraa nnnn 1 32 2 111 113434 112323 1212 −+==+=⇒=− +=++=+=⇒=− +=++=+=⇒=− +=⇒=− −− L - 27 - Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( )rnaa raraa raraa raraa n 1 143 132 12 1 114 113 112 −+== −+=+= −+=+= −+=+= L O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir: ( )rnaan 11 −+= (14) que pode também ser obtida da seguinte maneira: ( )rnaa raa raa raa raa n nn 11 1 34 23 12 −=− =− =− =− =− − Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a expressão do termo de ordem n. e ( )rnaan 11 −+= (14) que é a mesma equação anteriormente encontrada. 1.7.4 Propriedades I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e o termo seguinte. Com efeito, se KK , , 11 +− nnn aaa são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever: nnnn aaaa −=− +− 11 ou seja, 112 +− += nnn aaa e