Analise de Fourier

Analise de Fourier

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Análise de Fourier

  • Introdução

Este relatório tem como tema “Análise de Fourier”.

Segue, na Introdução Teórica, a explicação sobre Série de Fourier, ondas periódicas e não-periódicas. Durante a experiência foi utilizado um software específico: o PSpice, um programa de simulações de circuitos.

  • Introdução Teórica

Série de Fourier

Em matemática, uma série de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma

que são harmônicas de ei x. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e co-seno.

A figura abaixo mostra o familiar gráfico da função sen(x), onde x é um ângulo medido em radianos.

Essa função é PERIÓDICA, isto é, sua forma se repete a cada PERÍODO. No caso dessa figura, a função seno se repete a cada período de 2. O valor máximo da função, chamado de AMPLITUDE, é 1.

A função cosseno também é periódica, com o mesmo período e amplitude que o seno, mas é deslocada de /2 em relação ao seno.

Isso é fácil de constatar examinando os gráficos. Tecnicamente, diz-se que as funções seno e cosseno diferem na FASE e a diferença de fase entre elas é de /2.

Na figura abaixo, vemos a soma (curva em vermelho) das funções sen(x) e cos(x). Essa curva é obtida traçando-se, em cada ponto x, a soma dos valores de sen(x) e cos(x) nesse ponto. Por exemplo, o ponto da curva na região x=5,5 é zero, pois o valor de sen(x) é igual e de sinal oposto ao valor de cos(x) nesse ponto.

Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Veja o exemplo da função f(x) mostrada na figura abaixo. Essa curva também é periódica, mas não é apenas um seno ou um cosseno.

Como achar uma função matemática que descreva uma curva como essa?

Foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19. Segundo ele, “qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções, seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente.”

A figura abaixo mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas funções seno e duas funções cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções. As amplitudes e períodos das ondas componentes são diferentes entre si.

Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:

Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral:

Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem se estender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função original f(x). Resta achar uma forma de calcular os coeficientes etc, de cada termo da série. Esses coeficientes, como vemos, são as amplitudes de cada onda componente do desenvolvimento em série.

Fourier conseguiu achar uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes a0, a1, a2, ... , b1, b2 etc. Vejamos como isso é feito.

Suponha que queremos achar o coeficiente a3, por exemplo.

Começamos multiplicando os dois lados da equação que define a série por sen(3x). Obtemos, assim:

f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...

A seguir, tomamos as MÉDIAS de cada termo dessa equação:

< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...

E aí surge algo fantástico: todas as médias do lado direito da equação são nulas, menos a média do termo correspondente a a3! Isto é:

Isso acontece porque cada termo da esquerda (menos o termo de a3) contém a média de um seno ou um cosseno em um período, que é zero, como vimos antes. Mas, o termo de a3 contém a média de sen2(3x), que vale 1/2, como também vimos. Portanto:

Portanto, o coeficiente a3 é 2 vezes a média do produto de f(x) por sen(3x).

Fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx), verificamos, portanto, que:

a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Se soubermos calcular essas médias, saberemos achar os coeficientes da série de Fourier. No próximo capítulo veremos um exemplo prático onde esses coeficientes são calculados.

Exemplo: onda quadrada

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

Os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, ... , b1, b2 etc são dados por:

a0 = < f(x) > = média de f(x) em um período; an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx) em um período; bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx) em um período.

Para ilustrar esse resultado vamos fazer o desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica simples: a chamada "onda quadrada", ou "função degrau", cujo gráfico é mostrado na figura ao lado. Essa função está muito na moda pois pode ilustrar uma sucessão de "bits" com valores 1 e 0.

No primeiro período, ela pode ser escrita como:

f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2).

A mesma coisa se repete para os demais períodos.Essa é a vantagem de uma função periódica: basta ver o que acontece em um período que sabemos o que acontece nos demais.

Vamos, então, expressar essa função "onda quadrada" em séries de Fourier, calculando os coeficientes da série.

O primeiro coeficiente, a0, é simplesmente a média de f(x) no período. É muito fácil de ver, pela figura, que esse valor médio é 1/2.

a0 = 1/2.

Para obter o coeficiente a1, primeiro multiplicamos f(x) por sen(x). Obtemos a curva vista ao lado que é simplesmente meia onda de uma senóide. Como vimos antes, a área sob essa meia onda é S = 2. Logo, a altura do retângulo,que é o valor médio do produto f(x) sen(x), deve ser 1/. (Pois, (1/) x 2 = 2.) Portanto:

a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/.

O coeficiente a2 é duas vezes a média de f(x) sen(2x) no período. É claro, pela figura, que esse valor médio é zero.

Logo:

a2 = 0.

O coeficiente a3 é duas vezes a média de f(x) sen(3x). Vemos, na figura, que as partes sombreadas desse produto se anulam e sobra apenas uma onsa cuja área é 2/3. Logo, o valor médio do produto f(x) sen(3x) vale 1/3. E o coeficiente será:

a3 = 2/3.

Continuando com esse processo para os demais coeficientes, logo fica claro que o resultado total é o seguinte:

a0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR; an = 2/n - para todo n ÍMPAR.

Todos os coeficientes dos termos em cos(x), isto é, os bn, são nulos.

Portanto, a série de Fourier para a onda quadrada é:

f(x) = 1/2 + (2/) sen(x) + (2/(3)) sen(3x) + (2/(5)) sen(5x) + (2/(7)) sen(7x) + ...

A figura abaixo mostra um gráfico da onda quadrada juntamente com o gráfico da expansão com os primeiros 5 termos da série de Fourier, isto é, com os termos explicitados na equação acima.

A outra figura mostra a onda quadrada e sua expansão com os 15 primeiros termos da série de Fourier. Como era de se esperar, quanto maior o número de termos na expansão, melhor a aproximação com a forma da função original.

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