Baixe Análise de Fourier e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! • Introdução Este relatório tem como tema “Análise de Fourier”. Segue, na Introdução Teórica, a explicação sobre Série de Fourier, ondas periódicas e não-periódicas. Durante a experiência foi utilizado um software específico: o PSpice, um programa de simulações de circuitos. PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II • Introdução Teórica Série de Fourier Em matemática, uma série de Fourier, nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma que são harmônicas de ei x. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e co-seno. A figura abaixo mostra o familiar gráfico da função sen(x), onde x é um ângulo medido em radianos. Essa função é PERIÓDICA, isto é, sua forma se repete a cada PERÍODO. No caso dessa figura, a função seno se repete a cada período de 2. O valor máximo da função, chamado de AMPLITUDE, é 1. A função cosseno também é periódica, com o mesmo período e amplitude que o seno, mas é deslocada de /2 em relação ao seno. Isso é fácil de constatar examinando os gráficos. Tecnicamente, diz-se que as funções seno e cosseno diferem na FASE e a diferença de fase entre elas é de /2. PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II Começamos multiplicando os dois lados da equação que define a série por sen(3x). Obtemos, assim: f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ... A seguir, tomamos as MÉDIAS de cada termo dessa equação: < f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ... E aí surge algo fantástico: todas as médias do lado direito da equação são nulas, menos a média do termo correspondente a a3! Isto é: Isso acontece porque cada termo da esquerda (menos o termo de a3) contém a média de um seno ou um cosseno em um período, que é zero, como vimos antes. Mas, o termo de a3 contém a média de sen2(3x), que vale 1/2, como também vimos. Portanto: Portanto, o coeficiente a3 é 2 vezes a média do produto de f(x) por sen(3x). Fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx), verificamos, portanto, que: a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx). Se soubermos calcular essas médias, saberemos achar os coeficientes da série de Fourier. No próximo capítulo veremos um exemplo prático onde esses coeficientes são calculados. Exemplo: onda quadrada f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ... Os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, ... , b1, b2 etc são dados por: a0 = < f(x) > = média de f(x) em um período; an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx) em um período; bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx) em um período. PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II Para ilustrar esse resultado vamos fazer o desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica simples: a chamada "onda quadrada", ou "função degrau", cujo gráfico é mostrado na figura ao lado. Essa função está muito na moda pois pode ilustrar uma sucessão de "bits" com valores 1 e 0. No primeiro período, ela pode ser escrita como: f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2). A mesma coisa se repete para os demais períodos.Essa é a vantagem de uma função periódica: basta ver o que acontece em um período que sabemos o que acontece nos demais. Vamos, então, expressar essa função "onda quadrada" em séries de Fourier, calculando os coeficientes da série. O primeiro coeficiente, a0, é simplesmente a média de f(x) no período. É muito fácil de ver, pela figura, que esse valor médio é 1/2. a0 = 1/2. Para obter o coeficiente a1, primeiro multiplicamos f(x) por sen(x). Obtemos a curva vista ao lado que é simplesmente meia onda de uma senóide. Como vimos antes, a área sob essa meia onda é S = 2. Logo, a altura do retângulo,que é o valor médio do produto f(x) sen(x), deve ser 1/. (Pois, (1/) x 2 = 2.) Portanto: a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/. PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II O coeficiente a2 é duas vezes a média de f(x) sen(2x) no período. É claro, pela figura, que esse valor médio é zero. Logo: a2 = 0. O coeficiente a3 é duas vezes a média de f(x) sen(3x). Vemos, na figura, que as partes sombreadas desse produto se anulam e sobra apenas uma onsa cuja área é 2/3. Logo, o valor médio do produto f(x) sen(3x) vale 1/3. E o coeficiente será: a3 = 2/3. Continuando com esse processo para os demais coeficientes, logo fica claro que o resultado total é o seguinte: a0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR; an = 2/n - para todo n ÍMPAR. Todos os coeficientes dos termos em cos(x), isto é, os bn, são nulos. PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II • Procedimento 1) Síntese de um sinal periódico a) A partir de 4 componentes senoidais será feita a composição de um sinal de onda quadrada. Para a onda quadrada, a série de Fourier com as 4 primeiras componentes espectrais é dada a seguir: b) Acesse ao “schematics” do programa “Pspice”. c) Monte o circuito mostrado na figura abaixo. PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II d) As fontes V1, V2, V3 e V4 são geradores de tensão senoidais (VSIN) que representarão a fundamental e as harmônicas do sinal a ser sintetizado. e) Inicialmente mantenha a amplitude do sinal de todos os geradores em 0 V (VAMPL = 0V e VOFF = 0V). f) Ajuste a freqüência dos geradores conforme tabela a seguir: g) No “schematics”, ajuste, em analysis> setup> transient, o print step=20u e final time=5m. h) Ajuste, no gerador V1, o VAMPL=6.37V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Observe a onda e faça seus comentários no relatório. Resposta: Há somente um gerador senoidal, o sinal de saída será o próprio sinal de entrada. i) Ajuste, no gerador V2, o VAMPL=2.12V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Este gerador equivale a que componente harmônica do sinal? Resposta: Este gerador equivale a terceira harmônica. j) Ajuste, no gerador V3, o VAMPL=1.27V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Este gerador equivale a que componente harmônica do sinal? Resposta: Este gerador equivale a quinta harmônica. k) Ajuste, no gerador V4, o VAMPL=0.91V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Este gerador equivale a que componente harmônica do sinal? PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II Resposta: Este gerador equivale a sétima harmônica. l) Observe o sinal com as 4 componentes senoidais e comente sobre a tendência deste sinal tornar-se uma onda quadrada? Anote a amplitude do sinal sintetizado e comente se o valor obtido está próximo do valor teórico da série de Fourier? Resposta: A onda quadrada só será formada com uma soma infinitesimal de ondas senoidais. O valor da amplitude é de aproximadamente 2,8 V, pela série de Fourier, obtemos: w=2πf f=1kHz, 3kHz, 5kHz, 7kHz 2) Análise de Fourier de um sinal periódico a) No “schematics” crie um novo circuito conforme a figura a seguir: b) V1 é um gerador de pulso (VPULSE) e será utilizado para gerar inicialmente uma onda quadrada. c) Ajuste o gerador V1 para os seguintes parâmetros: PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II • Bibliografia http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier http://www.searadaciencia.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier2.htm PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II PAGE 17 Engenharia Elétrica - Laboratório de Eletricidade II