Geometria Analítica- unidade 02

Geometria Analítica- unidade 02

Módulo 2

Funções

Funções

Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual no mercado. A quantidade de ar poluído, numa área metropolitana, depende do número de veículos QD UXD 2 YDORU GH XPD JDUUDID GH YLQKR SRGH GH- pender da safra. Essas relações são matematicamente representadas por funções.

Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada elemento de A, se associa um único elemento deB, e é indicada por f :A B .

A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação expressa na formay f(x).

imagem, indicado como Im(f) é o conjunto dos elementos de B aos quais foram associados elementos deA, isto é,

O número yDB,y f(x) recebe o nome de valor da função f no pontox.

Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos HFRQ{PLFRV D ÀP GH poder entender melhor os problemas relacionados a economia. Este tema será aplicado nas disciplinas de

Administração da Produção e

Administração de Materiais.

A partir deste momento, passaremos a nos preocupar com os aspectos das funções reais de uma variável real.

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y f(x) x2 1, é a relação cujo domínio é 0,10 e contradomínio é o conjunto ° dos números reais. A regra que associa a todo ponto xD0,10 um único número realf(x) x2 1. O conjunto imagem é o conjunto dos números reais não negativos. Deste modo,

f (x) 1 x <1 , isto é, a regra que associa a todo ponto xDA o número

Observação Quando o domínio e o contradomínio de uma função estão contidos no conjunto dos números reais, a função é chamada de uma função real de variável real.

Duas funções são iguais, somente quando têm os mesmos domínios, contradomínio e regra de associação.

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Soma das funções

Produto de funções

A função p GHÀQLGD HP A,tal que p(x) f(x).g(x) recebe o nome de função produto de f eg.

Divisão de funções

Se g(x)&0 para todoxDA, a função qGHÀQLGD HP A,tal que

GHÀQLGD HP °, tal que q(x) x4 x4 2 é o quociente das funções f eg.

Função*:Na Matemática, função VLJQLÀFD XPD UHOD- ção (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y. O objeto x p FKDPD- do o argumento da função f e o objeto y que depende de x p FKDPDGR LPDJHP de x pela f. Função: Em Administração, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema administrativo. Exemplo: função marketing.

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2 JUiÀFR GH XPD IXQomRf:AAB, dada comoy f(x), é o conjunto dos pontos do plano, cujas coordenadas no sistema cartesiano retangular são dadas por (x,f(x)), ondexDA. Para isto, construímos um quadro (x,f(x)), atribuindo a xvalores convenientes. 9HMDPRV DOJXQV H[HPSORV GH JUiÀFRV

Resolução: Temos o seguinte quadro:

Figura 3.1

Resolução: Temos o seguinte quadro:

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x 1 251 0

Resolução: Tendox)0, y f(x) 2 e parax 0, y f(x) x, construímos o seguinte quadro.

x<2 <1 012. . .

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Figura 3.3

Uma função f tal quef(x) f(<x), xDDom(f), é chamada de função par. Quando f(<x) <f(x), xDDom(f), a função é chamada de função ímpar.

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Exercícios propostos – 1

Agora, vamos estudar alguns tipos de função.

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Funções elementares

A seguir apresentaremos algumas funções elementares.

Função constante

coordenados X e Y nos pontos <b a

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Figura 3.5

Função módulo

Figura 3.6

Função quadrática

Sejam a,bec números reais quaisquer, coma&0. A função f,

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Exemplo 3.13

Função polinomial

É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,

xn<1a1

,...,an são números reais e n é um número

Função racional

É toda função f, cuja regra de associação é do tipo

Exemplo 3.15 Determine o maior domínio possível da função racional

Resolução: Uma função racional, com esta regra de associação, está GHÀQLGD HP WRGR SRQWR x, tal quex 1&0. Portanto, o maior domínio

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Figura 3.7

Função exponencial e logarítmica

Função exponencial de base a a a > 1

Figura 3.8

Curso de Graduação em Administração a Distância a < 1

Figura 3.9

O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo(0, '). Apresentaremos, a seguir, as propriedades de exponenciação.

Propriedades da função exponencial

As seguintes propriedades valem para quaisquer a,b,x,yDR com a 0,b 0 :

P3. ax

P4. ax

exponencial de base ae onde e2,71828é a constante de Euler,

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Função logaritma

Seja a um número positivo ea&1. A função definida por

a > 1 loga x

0<a < 1 loga x

Propriedades da função logaritma Para todox,y 0, valem as seguintes propriedades.

P1.Propriedade do produto: loga(xy) =loga x loga y.

P2.Propriedade do quociente:

loga xy£

P3.Propriedade da potenciação:

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Função composta

F(x) ( f o g)(x) fg (x) . e o domínio de fog é o conjunto de todos os números x no domínio deg, tal que g(x) esteja no domínio def.

Geralmente, fog&gof .

Exemplo 3.16 Sejam f a função definida por x<1 e g por g(x) x 5. Determinar a) F(x) fog, e determine o domínio deF. b) G(x) gof, e determine o domínio deG.

Resolução: a)

O domínio de g é<', ' , e domínio de f é1, ' . Assim sendo o domínio de F é o conjunto dos números reais, para os quais

Módulo 2 a) F(x) fog, e determine o domínio deF. b) G(x) gof, e determine o domínio deG.

Resolução:

O domínio de g é<', ' , e o domínio de f é°<0!#. Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dos números reais, tal que

O domínio de g é<', ' , e o domínio de f é°<0!#. Assim sendo, o domínio de G é°<0!#.

a) F(x) fog, e determine o domínio deF. b) G(x) gof, e determine o domínio deG.

O domínio de g é<', ' , e o domínio de f éxD°|x 0!#. Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dos números reais tal que

O domínio de g é<', ' , e odomínio de f é xD°|x 0!# Assim sendo, o domínio de G éxD°|x 0!#.

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Funções crescentes e decrescentes

I. Sejam x1 e x2 com x1 x2 dois pontos quaisquer deI.

Dizemos quefé uma função crescente emI, quandof(x1 ) ) f (x2 ou seja, à medida que aumenta o valor dex, dentro do intervaloI, as imagens correspondentes também aumentam.

Analogamente, dizemos que f é uma função decrescente em I

), ou seja, à medida que aumenta o valor dex,

0y x função crescente

0y x função decrescente

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Função inversa

Uma função f:AAB é inversível quando a relação inversa da f também é uma função. Nesse caso, diz-se que a f tem função inversa f<1:BAA. Dada uma funçãof:AAB, y f(x), a relação inversa da f e indicaremos porx f<1(y).

Propriedades da função inversa

Seja fuma função inversível e f<1 a sua inversa. Então, temos as seguintes propriedades:

P3.Seja f:AAB uma função inversível. A função g:BAA é função inversa daf, quando para todo xDA e todo yDB tem-se

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Regra Prática

Dada a regra de associação daf,y f(x). Para se obter a regra TXH GHÀQHf<1, procede-se assim:

1º:A partir dey f(x), trocamos xpor yeypor x,obtendo x f (y) ;

2º: Expressamos y em função dex, transformando algebricamente a expressão x f (y) em y f <1(x) .

Resolução: Vamos aplicar a regra prática.

1º: Trocando xpor yeyporx, vemx 3y<5;

2º: Expressando y em função dex, vem

Determine a função inversaf<1(x). Resolução: Aplicando a regra prática, temos

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Logo,

Exemplo 3.23O número x de certo produto, demandado numa loja, relaciona-se com o preço unitário p , conforme a função demanda p 21< x3 . Determine a função inversa da função demandap, ou seja, determine o preço em função da quantidade demandada.

Resolução: Como p 0 devemos ter

regra prática, temos

Portanto, p 21<3xé a função inversa dep 21<x 3 .

Exemplo 3.24 Determinar a função inversa da função demanda

Resolução: Como x 0, devemos ter

ou seja,

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Aplicando a regra prática, temos

Funções trigonométricas

A função seno e a função cosseno

B (cos x, sen x) A

Figura 3.13: O Círculo Trigonométrico

Vamos convencionar o seguinte: o ponto A é a origem dos arcos

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As funções seno e cosseno são funções periódicas com período 2/, ou seja, relações ou identidades trigonométricas:

Função tangente tg x sen x cosx ,

A função tangente é periódica. Seu período é/.

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Função secante

É a função f:AA°, indicada porf(x) secx, onde

A função secante é uma função par e periódica com período2/.

% Função cossecante

É a funçãof:AA°, onde A é o conjunto dos números reaisx, tais quesenx&0, dada por

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A função cossecx é uma função periódica com período2/. Seu conjunto imagem é o conjunto: Im(cossecx) (<', <1]F[1, ')

Função cotagente

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A função cotangente é uma função periódica de período / e Im(cotg x) °.

Observação 3.3Na literatura existem as funções trigonométricas inversas, mas nesse trabalho não faremos, estudo destas funções.

A seguir, apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de exemplos.

Função receita

Exemplo 3.25 Um bem é vendido por R$30,0 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, a receita de vendas será300=x. Podemos dizer que R(x) 300=x é uma função que fornece a quantidade vendida x à receita correspondente.

Exemplo 3.26Uma sorveteria vende um picolé por R$6,0. Seja x a quantidade vendida.

a)obtenha a função receitaR(x);

Curso de Graduação em Administração a Distância b) calculeR(50) ; c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.20,0?

Função Custo e Lucro do Primeiro Grau

R$6.0,0 e o custo variável por unidade é R$ 15,0. Então a função custo total é dada por

Caso o produto for, digamos, toneladas de soja produzidas, os valores de x serão números reais positivos.

Módulo 2 da função receita e o da função custo C(x) 6.0 15x num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, WHUHPRV R JUiÀFR D VHJXLU

Note que:

Função demanda

Exemplo 3.28O número x de certo produto demandado por mês numa loja, relaciona-se com o preço unitário p , conforme a função demanda

Curso de Graduação em Administração a Distância guir: p

Funções quadráticas receita e lucro

Exemplo 3.29 A função de demanda de certo produto ép 20<x, e a função custo é C(x) 30 x, onde x é a quantidade demandada. Determinar: a) a função receita e o preço que a maximiza. b) a função lucro e o preço que o maximiza.

Figura 3.23

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Portanto, temos uma receita máxima de R$10,0 para uma demanda de x 10 itens do produto.

O valor de x, que maximiza a função lucro L(x) <x2 19x<30 , é a abscissa do vértice xV <b 2a

9,5 para um lucro

máximo de

Portanto, temos um lucro máximo de R$240,75.

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Exercícios propostos – 2

b) g

d) g

d) f

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, determine:

a) fogeDom(fog). b) gofeDom(gof).

c) f o f eDom( f o f ).

8) O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado pela funçãoC(x) 300 2x . a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades? b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas dezenove unidades?

9) Dada a função demanda p 20<2x e a função custoC(x) 5 x, determine: a) O valor de x que maximiza a receita. b) O valor de xque maximiza o lucro.

12) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$10,0 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de x cada, então o número de EULQTXHGRV YHQGLGRV SRU PrV VHUi250 < x .

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a)Expressar o lucro mensal do fabricante como uma função de x .
lucro mensal se o preço de venda for de R$35,0 cada.

156 b) Utilize o resultado da letra a para determinar o

14) Determinar a função inversa da função demandap 20<x 4 .

15) Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas porCM(x), temos CM(x) C(x)x onde C(x) é o custo de fa- bricação de x unidades de um produto. O custo de fabricação de x unidades de um produto éC(x) 400 5x. a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?

Saiba Mais...

Para aprofundar os conteúdos abordados nesta Unidade, consulte:

FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992. MORENTTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BuSSAB, Winton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005. KWWS Z FHSD LI XVS EU H FDOFXOR

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Exercícios propostos – 1

Exercícios propostos – 2

3) a)<6 b) 3; c) 6;
;e)4x<2x<3.

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10) Ponto de nivelamento éx 25. y

Sex 25, então R(x) C(x) e, portantoL(x) 0, ou seja, lucro positivo.

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c) A medida que x aumenta o custo médio tende para 5(cinco).

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