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XIV OLIMPÍADA DE MAIO 2

XLVIII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro 5

XLIX OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro 7

XI OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro 9

XI OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro 12

0,9OU “COMO COLOCAR UM BLOCO QUADRADO EM UM BURACO REDONDO”

ARTIGOS Pablo Emanuel 14

ALGORITMO DE GOSPER E APLICAÇÕES Humberto Silva Naves 21

DOMINGO REGADO A REPUNITS Valberto Rômulo Feitosa Pereira 27

HOMOTETIAS, COMPOSIÇÃO DE HOMOTETIAS EO PROBLEMA 6 DA IMO 2008 Carlos Yuzo Shine 32

COMO É QUE FAZ?

PROBLEMAS PROPOSTOS 62

Sociedade Brasileira de Matemática

PROBLEMA 1 Quantos números distintos de 6 algarismos e múltiplos de 45 podem ser escritos colocando um dígito à esquerda e outro à direita de 2008?

PROBLEMA 2 No colégio Olímpico as provas são avaliadas com números inteiros, a menor nota possível é 0, e a maior é 10. Na aula de Matemática o professor aplica as provas. Este ano a turma tem 15 alunos. Quando um dos alunos tira na primeira prova uma nota menor que 3 e na segunda prova uma nota maior que 7, o aluno é chamado de aluno superado. O professor, ao terminar de corrigir as provas, fez uma média com as 30 notas e obteve 8. Qual é a maior quantidade de alunos superados que pode ter tido a turma?

PROBLEMA 3 Num quadro negro estão escritos os números inteiros de 1 a 2008 inclusive. Apagam-se dois números e escreve-se a diferença entre eles. Por exemplo, se apagamos o número 5 e 241, escrevemos 236. Assim continuamos, apagando os números e escrevendo a diferença, até que fica somente um número. Determine se o número que ficou por último pode ser 2008. E 2007? Em cada caso, se a resposta é afirmativa indique uma seqüência com esse número final, e se é negativa, explique o porquê.

PROBLEMA 4 Sobre o lado AB de um quadrado ABCD é desenhado exteriormente o triângulo retângulo ABF, de hipotenusa AB. Sabe-se que AF = 6, e que BF = 8. Chamamos de E o centro do quadrado. Calcule o comprimento de EF.

PROBLEMA 5

Num tabuleiro de 16 16 colocamos 25 moedas, como na figura abaixo. É permitido selecionar 8 linhas e 8 colunas e retirar do tabuleiro todas as moedas que se encontram nessas linhas e colunas. Determine se é possível retirar todas as moedas do tabuleiro. Se a resposta é afirmativa, indique as 8 linhas e as 8 colunas selecionadas, e se é negativa, explique o porquê.

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PROBLEMA 1 Num quadro negro está escrita a seguinte expressão:

Juan distribui parêntesis de distintas maneiras e efetua o cálculo que fica. Por exemplo:

PROBLEMA 2 No retângulo ABCD de lados AB, BC, CD e DA, seja P um ponto do lado AD tal que µ90BPC=°. A perpendicular a BP traçada por A corta BP em M e a perpendicular a CP traçada por D corta CP em N. Demonstre que o centro do retângulo está no segmento MN.

PROBLEMA 3 Nos números 1010...101 estão alternados uns e zeros; se há n uns, há n – 1 zeros

Determine os valores de n para os quais o número 1010...101, que tem n uns, é primo.

PROBLEMA 4 No plano há 16 retas tais que não há duas paralelas nem três concorrentes. Sebastián tem que pintar os 120 pontos que são interseção de duas retas de modo que em cada reta todos os pontos pintados sejam de cor diferente. Determine o número mínimo de cores que Sebastián precisa para concluir a tarefa. E se as retas são 15 (neste caso, os pontos são 105)?

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PROBLEMA 5

Matias cobriu um tabuleiro quadrado de 7 7, dividido em casas de 1 · 1, com peças dos três tipos a seguir

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 sem buracos nem superposições, e sem sair do tabuleiro. Cada peça do tipo 1 cobre exatamente 3 casas e cada peça do tipo 2 ou do tipo 3 cobre exatamente 4 casas. Determine a quantidade de peças do tipo 1 que Matias pode ter utilizado. (As peças podem girar e ser viradas).

2008: Nível 1 (até 13 anos) Nome Cidade - Estado Pontos Prêmio Rafael Kazuhiro Miyazaki São Paulo – SP 45 Medalha de Ouro Débora Ornellas Salvador – BA 36 Medalha de Prata Nicolas Seoane Miquelin Mauá – SP 34 Medalha de Prata Guilherme Renato Martins Unze São Paulo – SP 3 Medalha de Bronze Ana Beatrice Bonganha Zanon Santo André – SP 26 Medalha de Bronze Paula Dias Garcia Brasília – DF 24 Medalha de Bronze Lara Timbó Araújo Fortaleza – CE 24 Medalha de Bronze Francisco Markan Nobre de Souza Filho Fortaleza – CE 24 Menção Honrosa Henrique Gasparini Fiúza do Nascimento Brasília – DF 23 Menção Honrosa Henrique Vieira G. Vaz São Paulo – SP 23 Menção Honrosa

2008: Nível 2 (até 15 anos)

Nome Cidade - Estado Pontos Prêmio João Lucas Camelo Sá Fortaleza – CE 37 Medalha de Ouro Guilherme da Rocha Dahrug Santo André – SP 30 Medalha de Prata Matheus Barros de Paula Taubaé – SP 29 Medalha de Prata Rafael Ferreira Antonioli S.B. do Campo – SP 23 Medalha de Bronze Nara Gabriela de Mesquita Peixoto Fortaleza – CE 2 Medalha de Bronze Rodrigo Nagamine Santo André – SP 2 Medalha de Bronze Henrique Lopes de Mello Rio de Janeiro – RJ 21 Medalha de Bronze Victorio Takahashi Chu São Paulo – SP 21 Menção Honrosa Jonas Rocha de Lima Amaro Fortaleza – CE 17 Menção Honrosa Deborah Barbosa Alves São Paulo – SP 16 Menção Honrosa

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XLVIII OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro

A XLVIII Olimpíada Internacional de Matemática foi realizada na cidade de Hanói, Vietnã no período de 19 a 31 de julho de 2007. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Carlos Gustavo Moreira do Rio de Janeiro – RJ e Onofre Campos da Silva Farias de Fortaleza – CE.

BRA1 Régis Prado Barbosa Medalha de Prata BRA2 Henrique Pondé de Oliveira Pinto Medalha de Prata BRA3 Ramón Moreira Nunes Medalha de Bronze BRA4 Rafael Sampaio de Rezende Medalha de Bronze BRA5 Rafael Tupynambá Dutra Medalha de Bronze BRA6 Guilherme Phillipe Figueiredo Menção Honrosa

xain-£‡(*)

PROBLEMA 2:

São dados cinco pontos A, B, C D e E tais que ABCD é um paralelogramo e BCED é um quadrilátero cíclico (e convexo). Seja l uma recta que passa por A.

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Suponhamos que lintersecta o segmento DC num ponto interior F e a recta BC em G. Suponhamos também que .EFEGEC==Prove que lé a bissectriz do ângulo DAB.

PROBLEMA 3: Numa competição de Matemática alguns participantes são amigos. A amizade é sempre recíproca. Dizemos que um grupo de participantes é um clique se dois quaisquer deles são amigos (em particular, qualquer grupo com menos de dois participantes é um clique). O tamanho de um clique é o número de seus elementos. Sabe-se que nesta competição o tamanho máximo dos cliques é par. Prove que os participantes podem ser distribuídos em duas salas, de modo que o tamanho máximo dos cliques contidos numa sala é igual ao tamanho máximo dos cliques contidos na outra sala.

PROBLEMA 4: No triângulo ABC a bissectriz do ângulo BCA intersecta a circunferência circunscrita em (),RRC„a mediatriz de BC em P e a mediatriz de AC em Q.

O ponto médio de BC é K e o ponto médio de AC é L. Mostre que os triângulos RPK e RQL têm áreas iguais.

PROBLEMA 6: Seja n um número inteiro positivo. Considere o conjunto possível de planos cuja união contém todos os pontos de S mas não contém (0, 0, 0).

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XLIX OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro

A XLIX Olimpíada Internacional de Matemática foi realizada na cidade de

Madri, Espanha no período de 10 a 2 de julho de 2008. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Luciano Monteiro de Castro do Rio de Janeiro – RJ e Carlos Yuzo Shine de São Paulo – SP.

BRA1 Davi Lopes Alves de Medeiros Medalha de Prata BRA2 Henrique Pondé de Oliveira Pinto Medalha de Prata BRA3 Marcelo Matheus Gauy Medalha de Bronze BRA4 Rafael Tupynambá Dutra Medalha de Prata BRA5 Régis Prado Barbosa Medalha de Prata BRA6 Renan Henrique Finder Medalha de Prata

PROBLEMA 1: Seja ABC um triângulo acutângulo e seja H o seu ortocentro. A circunferência de centro no ponto médio de BC e que passa por H intersecta a reta BC nos pontos

1Ae 2.A Analogamente, a circunferência de centro no ponto médio de CA e que passa por H intersecta a reta CA nos pontos 1Be 2,Be a circunferência de centro no ponto médio de AB e que passa por H intersecta a reta AB nos pontos 1C e 2C. Mostre que 121212,,,,,ABC estão sobre uma mesma circunferência.

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