(Parte 2 de 8)

PROBLEMA 2:

(*)

para todos os números reais x, y, z, diferentes de 1, com xyz = 1.

(b) Prove que existe uma infinidade de ternos de números racionais x, y, z, diferentes de 1, com xyz = 1, para os quais ocorre a igualdade em (*).

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PROBLEMA 3: Prove que existe um número infinito de inteiros positivos n tais que 21n+ tem um

divisor primo maior que 2.n+

para todos os números reais positivos w, x, y com wx = yz.

PROBLEMA 5: Sejam n e k números inteiros positivos tais que kn‡ e kn- é um número par.

São dadas 2n lâmpadas numeradas de 1 a 2n, cada uma das quais pode estar acesa ou apagada. Inicialmente todas as lâmpadas estão apagadas. Uma operação consiste em alterar o estado de exatamente uma das lâmpadas (de acessa para apagada ou de apagada para acesa). Consideremos seqüências de operações. Seja n o número de seqüências com k operações após as quais as lâmpadas de 1 a n estão todas acessas e as lâmpadas de n + 1 a 2n estão todas apagadas. Seja M o número de seqüências com k operações após as quais as lâmpadas de 1 a n estão todas acesas e as lâmpadas de n + 1 e 2n estão todas apagadas, e durante as quais todas as lâmpadas de n + 1 a 2n permanecem sempre apagadas.

PROBLEMA 6: Seja ABCD um quadrilátero convexo cujos lados BA e BC tam comprimentos diferentes. Sejam 1w e 2w as circunferências inscritas nos triângulos ABC e ADC, respectivamente.

Suponhamos que existe um circunferência w tangente à reta BA de forma que A está entre B e o ponto de tangência, tangente à reta BC de forma que C está entre B e o ponto de tangência, e que também seja tangente às retas AD e CD. Prove que as tangentes comuns exteriores a 1w e 2w se intersectam sobre w.

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XI OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro

A XI Olimpíada Iberoamericana de Matemática foi realizada na cidade de Coimbra, Portugal no período de 6 a 16 de setembro de 2007. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Eduardo Wagner e Edmilson Motta da cidade do Rio de Janeiro – RJ e São Paulo – SP respectivamente.

BRA1 Guilherme Rodrigues Nogueira de Souza Medalha de Ouro BRA2 Henrique Pondé de Oliveira Pinto Medalha de Prata BRA3 Ramon Moreira Nunes Medalha de Ouro BRA4 Régis Prado Barbosa Medalha de Ouro

PROBLEMA 1: Dado um inteiro positivo m, define-se a sucessão {}na da seguinte maneira:

Determinar todos os valores de m para os quais 2007a é o primeiro inteiro que aparece na sucessão.

Nota: Para um número real x se define xØøŒœ como o menor inteiro que é maior ou igual a x.

PROBLEMA 2: Sejam ABC um triângulo com incentro I e G uma circunferência de centro I, de raio maior que o da circunferência inscrita e que não passa por nenhum dos vértices. Sejam 1X o ponto de intersecção de G com a reta AB mais perto de 2,BX e 3X os pontos de intersecção de G com a recta BC sendo 2X o mais perto de B e4Xo ponto de intersecção de G com a recta CA mais perto de C. Seja K o ponto de intersecção das rectas 12X e 34.X Demonstre que AK corta o segmento 23XX no seu ponto médio.

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PROBLEMA 3: Duas equipes, A e B disputam o território limitado por uma circunferência.

A tem n bandeiras azuis e B tem n bandeiras brancas (2,n³ fixo). Jogam

anterior. Cada bandeira, uma vez colocada, não se pode mudar de lugar

alternadamente e A começa o jogo. Cada equipe, na sua vez, coloca uma das suas bandeiras num ponto da circunferência que não se tenha usado numa jogada

Uma vez colocadas as 2n bandeiras reparte-se o território entre as duas equipes. Um ponto do território é da equipe A se a bandeira mais próxima dele é azul, e é da equipe B se a bandeira mais próxima dele é branca. Se a bandeira azul mais próxima de um ponto está à mesma distância que a bandeiras branca mais próxima deste ponto, então o ponto é neutro (não é de A nem de B). Uma equipe ganha o jogo se seus pontos cobrem uma área maior que a área coberta pelos pontos da outra equipe. Há empate se ambos cobrem áreas iguais.

Demonstre que, para todo n a equipe B tem estratégia para ganhar o jogo.

PROBLEMA 4:

Em um tabuleiro quadriculado de tamanho 19 · 19, uma ficha chamada dragão dá saltos da seguinte maneira: desloca-se 4 casas numa direcção paralela a um dos lados do tabuleiro e 1 casa em direção perpendicular à anterior.

X X
XX
D

A partir de D, o dragão pode saltar para uma das quatro posições X.

Sabe-se que, com este tipo de saltos, o dragão pode mover-se de qualquer casa a qualquer outra.

A distancia dragoniana entre duas casas é o menor número de saltos que o dragão deve dar para mover-se de uma casa a outra.

Seja C uma casa situada num canto do tabuleiro e seja V a casa vizinha a C que a toca num único ponto.

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Demonstre que existe alguma casa X do tabuleiro tal que a distância dragoniaana de C a X é maior que a distãncia dragoniana de C a V.

PROBLEMA 5: Um número natural n é atrevido se o conjunto dos seus divisores, incluindo 1 e n, pode ser dividido em três subconjuntos tais que a soma dos elementos de cada subconjunto é a mesma nos três. Qual é a menor quantidade de divisores que pode ter um número atrevido?

PROBLEMA 6: Seja F a família de todos os hexágonos convexos H que satisfazem as seguintes condições:

a) os lados opostos de H são paralelos; b) quaisquer três vértices de H podem ser cobertos por uma faixa de largura 1.

Determine o menor número real l tal que cada um dos hexágonos da família F pode ser coberto com uma faixa de largura l.

Nota: Uma faixa de largura l é a região do plano compreendida entre duas rectas paralelas que estão à distancia l(incluídas ambas as rectas paralelas).

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XI OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Enunciados e Resultado Brasileiro

A XI Olimpíada Iberoamericana de Matemática foi realizada na cidade de Salvador, Bahia no período de 20 a 28 de setembro de 2008. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Eduardo Wagner e Fábio Dias Moreira, ambos da cidade de Rio de Janeiro – RJ. Com este resultado a equipe brasileira obteve também a maior pontuação total da competição ficando em primeiro lugar com 155 pontos.

BRA1 Henrique Ponde de Oliveira Pinto Medalha de Ouro BRA2 Renan Henrique Finder Medalha de Prata BRA3 Ramon Moreira Nunes Medalha de Ouro BRA4 Régis Prado Barbosa Medalha de Prata

PROBLEMA 1:

Os números 1, 2, 3,..., 20082 são distribuídos num tabuleiro 2008 2008, de modo que em cada casa haja um número distinto. Para cada linha e cada coluna do tabuleiro calcula-se a diferença entre o maior e o menor dos seus elementos. Seja S a soma dos 4016 números obtidos. Determine o maior valor possível para S.

PROBLEMA 2: Sejam ABC um triângulo escaleno e r a bissectriz externa do ângulo .ABC— Sejam

P e Q os pés das perpendiculares à recta r que passam por A e C, respectivamente. As rectas CP e AB intersectam-se em M e as rectas AQ e BC intersectam-se em N. Demonstre que as rectas AC, MN e r têm um ponto em comum.

PROBLEMA 3: Sejam m e n inteiros tais que o polinômio 3()Pxxmxn=++tem a seguinte propriedade: se x e y são inteiros e 107 divide ()(),PxPy-então 107 divide x – y. Demosntre que 107 divide m.

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PROBLEMA 4: Demonstre que não existem inteiros positivos x e y tais que

PROBLEMA 5: Seja ABC um triângulo e X, Y, Z pontos interiores dos lados BC, AC, AB respectivamente. Sejam A, B, C os circuncentros dos triângulos AZY, BXZ, CYX, respectivamente. Demonstre que

e que a igualdade ocorre se, o somente se, as rectas A, B, C têm um ponto em comum.

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