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hipergeométrica ns tal que 10n nkksz-==å (essa definição não é tão restritiva assim, pois veremos que a classe das seqüências hipergeométricas é bastante ampla).

Por exemplo, vamos tentar achar uma fórmula fechada para:

k z

Claramente kz é hipergeométrica, uma vez que 21 uma função racional de k. Por (*), vale:

A nossa fórmula fechada ns é hipergeométrica, logo 1

-ç÷Łł é uma função

Sociedade Brasileira de Matemática n rn

yn Qn = e substituindo na equação anterior, vale:

Disto concluí-se que:

(Observação: todas as relações de divisibilidade e os mdcs referencem-se aos polinômios em si e não aos seus valores em um dado ponto)

Por (1), temos que se a é uma raiz de Q então: a = –1 ou a = –2 ou a + 1 é raiz de

Q. E por (2) se a é raiz de Q então: 12a= ou a – 1 também é raiz de Q. Portanto, como Q não pode ter infinitas raízes, Q não possui raiz alguma, isto é, Q(n) é constante (sem perda de generalidade, Q(n) = 1).

Disto concluí-se que:

2 0(4 4 1)( ( 1)) (4 4 )( ... )4ddddnn a n a n n a na+ + + + + - + + + =Û
21 1(4 4 1)( ( ))d

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k n n

k n n

(é fácil ver que a fórmula vale para n = 0 e n = 1, e, pela identidade que provamos, vale sempre).

Vamos agora generalizar essa idéia para qualquer seqüência hipergeométrica kz. O leitor atento deve ter notado que na conclusão de que Q(n) = 1, implicitamente usamos o fato que: mdc{A(n), B(n + h)} = 1, para qualquer inteiro0h‡, onde

polinômios satisfazendo as condições:

O autor responde: “Não se desesperem!”, uma vez que é possível escrever r(n) da seguinte forma:

A n Cn rn

B n Cn

n rn forma (**)? Note que:

Sociedade Brasileira de Matemática n n n n n n A n Cn rn

n n n n n n n n n B n Cn

De forma geral se a é uma raiz do denominador de r(n) e a – h é uma raiz do numerador de r(n), onde h+¢, então vale:

( ) 1 1 ( 1) 1 2 () n h n h n h n Tn n n h n h n Tn a a a a a a

Vamos tentar usar a fórmula (**) em r(n) y(n + 1) – y(n) = 1 Û

A n Cn y n yn

B n Cn

Bn y n yn

Agora o milagre acontece! Se ()yn é uma função racional que satisfaz (***), então

Logo se a é raiz deQ, então: 1- a é raiz de B(n – 1) ou a é raiz de (1)Qn+

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1- degdegAB„ 2- degdegAB= e ABdd„ (Adé o coeficiente líder de A): Nesses casos, pela equação (***), vale:

deg deg {deg ,deg}C y max ab= +Û deg {deg ,deg }.d C max AB=- 3- degdegABm== e ABkdd== Se d > 0, então:

1 0()( ( 1))m md dkn an a na-+ + + ++K
1 0()( ) ()m md dkn bn a n a Cn-- + + + + =ÛK
1 1()( ( ))m m d
1 1()( ) ()m m ddddkn bn a n a n Cn-- -- + + + + =ÛK

Se ()0,ddba ab a kdad

d, a equação polinomial se transforma em um sistema linear com d variáveis que pode ser resolvido (quando possível) usando técnicas básicas de álgebra linear.

1)Calcule os seguintes somatórios

Exercícios:

k k

nk k k

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2) Prove que qualquer função racional r(n), pode ser escrita como:

An Cn rn

Bn Cn

4) Dizemos que duas seqüências hipergeométricas são similares, quando a razão dos duas é uma função racional e neste caso, escrevemos .nnst: Prove:

a) Se ns é não constante, então ,nnssD: onde 1.ns+D=- b) Se ns e nt são hipergeométricas, e 0nnst+„ então nnst+ é hipergeométrica se e somente se .nnst: (Esse resultado pode levar o leitor a indagar sobre a nossa suposição inicial do que seria uma “fórmula fechada” ser algo bem restritivo).

algum i, j com 1.ijm£<£

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Valberto Rômulo Feitosa Pereira Cefetce – Uned Cedro

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