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· Nível Iniciante

No final do ano de 2007 fui convidade pelo professor e amigo Onofre

Campos, por quem tenho admiração, para ministrar aulas para um jovem que não podia se locomover, pelo valor que eu iria receber pelas aulas, pensei que o rapaz pertencia a uma família muito rica; grande foi a minha surpresa ao perceber justamente o contrário: em segunda conversa com o supra-citado professor, soube da frágil situação financeira do jovem aluno, mas também, por outro lado, do seu incrível potencial e de sua força de vontade, fatos que me entusiasmaram em conhecê-lo. Este aluno era Ricardo Oliveira, o qual havia conquistado duas medalhas de Ouro na OBMEP.

No último encontro que tive com Ricardo, em sua residência, ainda promovido pelo projeto de iniciação científica, deparamo-nos com o seguinte problema:

“O inteiro A é formado por 6 algarismos iguais a 3, e o número B por 6 algarismos iguais a 6. Que algarismos apareceram no produto AB?”

Enquanto Ricardo fazia uma atividade, eu folhava uma apostila que continha as colunas semanais – Olimpíada de Matemática – do jornal O Povo em parceria com o Departamento de Matemática da UFC. Neste momento, vi o problema acima e falei:

Nesse instante Ricardo para sua atividade, lê o problema e passa a resolvêlo. Eu também caio na tentativa de resolvê-lo, lembrei que:

algarismos 1

Minha solução com o uso desta informação saiu; Ricardo sem esta informação errou por um algarismo. Expliquei a Ricardo minha solução, percebemos que a informação que eu havia usado era importante. A aula continuou, mas ainda fiquei pensando como esta igualdade daria para resolver belos problemas.

No dia seguinte tive uma conversa com meu amigo Secco, olímpico do Rio de Janeiro. Perguntei-lhe se conhecia problemas que em sua solução usava esta

Sociedade Brasileira de Matemática igualdade; Secco falou que conhecia e mais ainda: estes números eram chamados de Repunits e indicou [4]. Com a dica de Secco e o entusiasmo de Ricardo, cataloguei cinco problemas da antiga coluna, os quais passaremos a resolver. Também apresentei aos meus alunos do projeto OBMEP 2008, realizado no Cefet, Uned de Cedro-Ce.

1, 11, 11, 1,

1. REPUNITS Os Repunits são números que só têm algarismos 1, por exemplo: Estes números podem ser escritos de outra forma, vejamos:

A beleza destas informações é poder resolver problemas interessantes sem usar técnicas sofisticadas.

Exemplo 1: O inteiro positivo n é formado de k algarismos 9. Mostre que a soma de todos os algarismos de n2 é igual a 9k.

Demonstração: Pelas hipóteses temos

Calculemos N2 da seguinte forma: 2

k k k

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Exemplo 2: Mostre que os números 49, 4489, 444889,, obtidos colocando o

número 48 no meio do número anterior, são quadrados de números inteiros.

Demonstração: Vejamos as igualdades: 1

n n n n

O número 2.101n+é múltiplo de 3, portanto N é um quadrado perfeito.

Exemplo 3: Para cada inteiro positivo n, sejam A(n) e B(n) dois números inteiros formados por 2n algarismos iguais a 1 e n algarismos iguais a 2 respectivamente. Mostre que A(n) – B(n) é um quadrado perfeito. Demonstração. Pelas hipóteses temos:

n n

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fazendo as contas ficamos: 2

Finalmente o problema motivdor do nosso trabalho.

Solução: Como

Logo apareceram no produto AB: - Um algarismo 1;

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3. Prove que se 1...1n 123 divisível por 41 se e somente se n é divisível por 5.

4. Mostre que nenhum inteiro da seqüência: 1,11,11,1,é um

quadrado perfeito.

Nota dos editores: Não é difícil mostrar que se 1...1n 123é primo então n é primo

(exercício!) . Os únicos valores de n para os quais se sabe provar atualmente que

descobertos os seguintes valores de n tais que 1...1n 123 é provavelmente primo (i.e., passa por diversos testes probabilísticos de primalidade): 49081, 86453, 109297 e 270343. De acordo com os testes já realizados, qualquer outro repunit primo deve ter mais de 400.0 algarismos.

[1] Emanuel Carneiro, Francisco Antonio M. de Paiva, Onofre Campos, Olimpíadas

Gráfica, Fortaleza, 2006

Cearenses de Matemática do Ensino Fundamental, Edições Realce Editora e Indústria [2] Alencar Filho, Edgar de, Teoria Elementar dos Números, Nobel, São Paulo, 1988.

[3] Coluna Semanal Olimpíadas de Matemática, Jornal O Povo em parceria com o

Departamento de Matemática da UFC, No. 01, ao No. 200. [4] Titu Andreescu, Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, 2000.

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E O PROBLEMA 6 DA IMO 2008 Carlos Yuzo Shine

· Nível Avançado

Antes de começar a discussão, vamos enunciar o problema 6 da IMO 2008, que é a motivação principal desse artigo.

Problema 6, IMO 2008. Seja ABCD um quadrilátero convexo cujos lados

BA e BC têm comprimentos diferentes. Sejam 1w e 2w as circunferências inscritas nos triângulos ABC e ADC, respectivamente. Suponhamos que existe uma circunferência w tangente à reta BA de forma que A está entre B e o ponto de tangência, tangente à reta BC de forma que C está entre B e o ponto de tangência, e que também seja tangente às retas AD e CD. Prove que as tangentes comuns exteriores a 1we 2wse intersectam sobre.w É claro que um problema de geometria não pode ficar sem um bom desenho. É razoavelmente difícil desenhar a figura do problema e sugerimos que o leitor tente fazê-lo por conta própria (dica: comece com o círculow). Não se perca:

queremos provar que o ponto Z está sobre a circunferência .w w Z D O2 w1 w2 L

Quem já estudou homotetia já deve ter enxergado diversas homotetias entre as circunferências, mas muitos dos mais poderosos olímpicos do mundo foram derrotados por esse problema. De fato, dos 535 estudantes que participaram da IMO 2008, somente 13 resolveram (um deles fez 6 pontos) e 53 conseguiram pelo menos um ponto. Isto quer dizer que mais de 90% dos estudantes zeraram o problema!

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Isso é sinal de que esse problema deve ter algo novo para ser explorado. De fato, uma transformação geométrica que esteve em voga nos anos 80 e desapareceu nos anos 90 foi a homotetia. E ela voltou, discretamente em 2007 e com tudo em 2008!

Vamos definir homotetia, ver algumas de suas propriedades e expandir as adéias envolvidas nessa transformação.

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