(Parte 6 de 8)

1. Homotetia: definição

Você vai ver que homotetia nada mais é do que “fazer sombrinha”. Aparecem muitos paralelismos, mas o mais interessante são as colinearidades que irão aparecer. No início parece mágica; mas um bom matemático sempre revela seus truques!

Vamos começar com a definição de homotetia com razão positiva ou homotetia direta:

Definição 1.1. Homotetia de uma figura F com centro O e razão k, um número real positivo, é uma transformação geométrica que associa a cada ponto P de F o ponto

P sobre a semi-reta OP, de origem O, tal que .OPkOP=×

Talvez com vetores seja mais interessante: sendo O o centro da homotetia, o ponto

P é transformado no ponto P de modo que .OPkOP=× uuur uuur Note que a homotetia é

Com isso, podemos definir homotetias para k negativo também, obtendo as chamadas homotetias de razão negativa ou homotetias inversas:

Sociedade Brasileira de Matemática

Definição 1.2. Homotetia de uma figura F com centro O e razão k, sendo k um número real negativo, é uma transformação geométrica que associa a cada ponto

P de F o ponto Psobre a reta OP, de origem O, tal que .OPkOP=× uuur uuur

2. Propriedades da homotetia

As principais propriedades de homotetias têm a ver com colinearidade e concorrência. Algumas têm a ver com paralelismo.

2.1. Colinearidade

• O centro de homotetia, o ponto e seu transformado são colineares. Em outras palavras, , e ()OPPPs= são colineares. Isso decorre diretamente da definição, mas homotetias não vêm de graça!

Normalmente as encontramos nos problemas e, com essa propriedade, obtemos pontos colineares.

2.2. Concorrência

• O centro de homotetia pertence a todas as retas que ligam pontos a seus transformados. Em outras palavras, O pertence a toda reta do tipo ().PPPPs= Novamente, uma propriedade que decorre diretamente da definição (na verdade, é a mesma da colinearidade!), mas que aparece quando descobrimos alguma homotetia.

2.3. Paralelismo

• A reta que liga dois pontos é paralela à reta que liga os seus tranformados. Em outras palavras, PQ e ()()PQPQss=são paralelas. A demonstração desse fato vem da semelhança entre OPQ e OPQ(pelo caso )LAL.

Sociedade Brasileira de Matemática

· Dois triângulos com lados respectivamente paralelos são homotéticos.

Para provar isso, sendo ABC e DEF os triãgulos com AB, DE, AC, DF e BC, EF respectivamente paralelos, use o teorema de Desargues para provar que esses triângulos são perspectivos.

Em particular, algumas figuras são sempre semelhantes: os círculos! Com isso, temos a seguinte propriedade:

2.4. Círculos

• Dois círculos são sempre homotéticos. Na maioria dos casos, eles admitem duas homotetias, uma direta e uma inversa. No caso de círculos disjuntos, os centros de homotetias são fáceis de encontrar: são as interseções das tangentes comuns internas (inversa) e das tangentes comuns externas (direta).

Com isso, podemos resolver alguns problemas. Homotetia esteve bastante na moda na IMO durante o início dos anos 80, como você vai ver nos exemplos e nos exercícios.

Exemplo 2.1.

Problema 5, IMO 1981. Três círculos congruentes têm um ponto comum O e estão no interior de um triângulo. Cada círculo é tangente a dois lados do triângulo. Prove que o incentro e o circuncentro do triângulo e o ponto O são colineares.

Resolução:

O nome do ponto dado não é O por acaso: sejam A, B e C os centros dos três círculos congruentes e ABC o triângulo cujos lados tangenciam esses três

Sociedade Brasileira de Matemática círculos. Note que os raios dos círculos congruentes são ,OAOBOC== isto é, O é circuncentro de ABC. Além disso, das tangências dos círculos com os lados temos que A, B e CCsão as bissetrizes do triângulo ABC e se interceptam no incentro I do triângulo.

As distâncias de A e B a AB são iguais aos raios dos círculos congruentes a são, portanto, iguais.

Então AB e AB são paralelos. Analogamente, AC é paralelo a AC e BC é paralelo a BC, de modo que os triângulos ABC e ABC são homotéticos. O centro de homotetia é I. Essa homotetia leva O ao circuncentro O de ABC. Assim, I, O e O são colineares.

Note que a dificuldade foi achar a homotetia; depois bastou aplicar a propriedade de colinearidade.

Exercícios:

01. (Problema 2, IMO 1982) Seja 123AAA um triângulo escaleno com lados 123, e a (ia é o lado oposto a ).iA Seja iM o ponto médio do lado ia e iT o ponto onde o incírculo do triângulo toca o lado ,ia para i = 1, 2, 3. Seja iS o simétrico de iT em

Sociedade Brasileira de Matemática

02. (Problema 2, IMO 1983) Seja A um dos dois pontos de interseção dos círculos 1C e 2,C de centros 1O e 2,O respectivamente. Uma das tangentes comuns aos círculos toca 1C em 1P e 2C em 2,P e a outra toca 1C em 1Q e 2C em 2Q. Seja 1M o ponto médio de 11PQ e 2M o ponto médio de 2.PQ Prove que 1212.OAOMAMÐ=—

03. (Prova de seleção 2008, Banco da IMO 2007) As diagonais do trapézio ABCD cortam-se no ponto P. O ponto Q está na região determinada pelas retas paralelas BC e AD tal que AQDCQB—=— e a reta CD corta o segmento PQ. Prove que

3. O Fenômeno Homotético Circular Algumas aplicações de certos teoremas são tão conhecidos quanto os próprios. Para homotetias, é o caso com o fenômeno homotético circular, que mostra uma colinearidade bastante interessante envolvendo incírculo e ex-incírculo. Fenômeno Homotético Circular. Seja ABC um triângulo e sejam K e L os pontos de tangência do incírculo e ex-incírculo relativo a A em BC. Então A, L e o ponto K diametralmente oposto a K no incírculo são colineares. Demonstração:

Basta traçar a reta BC paralela a BC que tangencia o incírculo de ABC em K´. ABC e ABC são homotéticos com centro em A. Para terminar, o incículo de ABC é ex-incírculo de ABC, de modo que os pontos Ke L são correspondentes na homotetia e estão, portanto, alinhados com A.

Sociedade Brasileira de Matemática

Vale a pena lembrar também que, na figura acima, BK = LC.

Exercícios:

04 (Problema 4, IMO 1992) No plano, considere uma circunferência C, uma reta L tangente à circunferência e M um ponto da reta L. Encontre o lugar geométrico dos pontos P com a seguinte propriedade: existem dois pontos Q, R da reta L tais que M é o ponto médio de QR e C é a circunferência inscrita no triângulo PQR.

4. Composição de Homotetias A principal inovação na IMO 2008 no problema 6 foi explorar o seguinte fato:

Composição de Homotetias. Se 1s é uma homotetia de centro 1O e 2s é uma homotetia de centro 2O então a composição de homotetias 21sss=o é uma homotetia de centro O, e 1O, 2O e O estão alinhados. A única exceção é quando a composição sé uma translação.

Demonstração Utilizaremos vetores para provar esse fato

2112212(1)(1)kkOkOkkP=-×+-×+×(*)

Primeiro, se s é uma homotetia, então sua razão é 12kk (as figuras são

(Parte 6 de 8)

Comentários