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“multiplicadas” por 1k e depois por 2;k ou seja, são “multiplicadas” por 12).k Assim, para provarmos que sé uma homotetia, temos que provar que existe um ponto O tal que

121212()()(1)POkkPOkkOkkPs=+×-=-×+×(**)

k k O kO O

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Os partidários da geometria sintética devem estar sentindo falta de uma demonstração sintética. Vamos provar a parte da colinearidade sinteticamente.

Demonstração sintética da colinearidade Considere os pontos P e Q e seus transformados

O O2

O1 Q1

Note que, das homotetias, PQ 11PQ e 22PQsão paralelos. Em termos projetivos, eles são concorrentes em um ponto do infinito. Isto quer dizer que os triângulos

4.1 Detalhe técnico Geralmente, trabalhamos com homotetias sinteticamente, e aparecem homotetias diretas e inversas. Homotetias inversas “multiplicam” figuras por fatores negativos, de modo que a composição de duas homotetias do mesmo tipo é direta e a composição de duas homotetias de tipos diferentes é inversa. Para facilitar, a homotetia inversa faz o papel do sinal de menos e a homotetia direta, do sinal de mais. Na composição de homotetias, seguimos a regra dos sinais da multiplicação.

Agora estamos prontos para resolver o problema 6 da IMO 2008. Vamos reenunciar o problema e resolvê-lo.

Exemplo 4.1 Problema 6, IMO 2008. Seja ABCD um quadrilátero convexo cujos lados BA e

BC têm comprimentos diferentes. Sejam 1w e 2w as circunferências inscritas nos triângulos ABC e ADC, respectivamente. Suponhamos que existe um

Sociedade Brasileira de Matemática circunferância w tangente à reta BA de forma que A está entre B e o ponto de tangência, tangente à reta BC de forma que C está entre B e o ponto de tangência, e que também seja tangente às retas AD e CD. Prove que as tangentes comuns exteriores a 1w e 2w se intersectam sobre .w

Resolução Vamos começar trabalhando com segmentos tangentes.

Z C w

Temos BE = BF, AF = AG, CE = CH e DG = DH. Então AB = BF – AF = BE – AG

= BC + CE – (AD + DG) = BC – AD + (CH – DH) = BC – AD + CD Þ AB + AD = BC + CD. Note que esse fato depende somente de w ser tangente aos prolongamentos dos lados do quadrilátero ABCD (guarde esse fato, ele pode ser útil em outros problemas!). Isso implica

Essa igualdade é simples, mas abre muitas portas para nós! De fato, ela quer dizer que os ex-incírculos 3w e 4wrelativos a AC dos triângulos ABC e ADC tocam AC em K e L, respectivamente. Isso nos dá muitas, mas muitas homotetias, e pelo menos duas oportunidades de utilizar o fenômeno hometético circular! Desenhemos as circunferências:

Sociedade Brasileira de Matemática w E G

w1 L w2 K

Vamos compor homotetias para descobrir colinearidades, utilizando 3w e 4wcomo “intermediários”!

· 241wwwss¾¾fi¾¾fi e 21.wws¾¾fi O centro K da homotetia (direta)

24s, o centro B da homotetia (direta) 41s e o centro Z da homotetia (direta) 21s estão alinhados. Isso quer dizer que Z pertence à reta BK.

• 231wwwss¾¾fi¾¾fi e 21.wss¾¾fi O centro D da homotetia (direta)

23,s o centro L da homotetia (direta) 31s e o centro Z da homotetia (direta) 21s estão alinhados. Isso quer dizer que Z pertence à reta DL.

Com isso, concluímos que Z é a interseção de BK e DL.

Provaremos que W = Z, resolvendo o problema

Note que até agora não envolvemos o círculo w nas homotetias. Agora é hora, mas vamos provar colinearidades de outra forma. Seja W a interseção de BK e w.

w E G

O2 O1 w1 L w2 K

T s

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Primeiro, note que a homotetia direta 4s que leva4w a w tem centro B e, portanto, leva K a W. Mais ainda: como AC é tangente a 4w em K, a reta r paralela a AC que passa por W é tangente a w, pois a reta AC é levada a r por 4.s Agora, considere a homotetia inversa 2s que leva w a 2w. Essa homotetia tem centro em D, leva W a T e r a s, que é paralela a r e AC e é tangente a 2w. Assim, D, W e T estão alinhados, ou seja, W pertence à reta DT.

Falta ainda identificar melhor o ponto T. Na verdade, ele é bem conhecido: como s e AC são paralelos, T e K são diametralmente opostos. Podemos, assim, aplicar o fenômeno homotético circular: D, T e L são colineares e L também pertence à reta DT. Portanto D, L e W são colineares, de modo que W pertence a DL. Como W pertence, por definição, à reta BK, W é a interseção de BK e DL, e só pode ser igual a Z.

Observação: Note que a condição AB ¹ AC é importante para que as retas BK e DL não coincidam.

Exercícios

05. (Banco da IMO 2007) O ponto P pertence ao lado AB do quadrilátero convexo ABCD. Seja w o incírculo do triângulo DPD e I o seu incentro. Suponha que w é tangente aos incírculos dos triângulos APD e BPC em K e L, respectivamente. As retas AC e BD se encontram em E e as retas AK e BL se encontram em F. Prove que os pontos E, I e F são colineares.

06. (Romênia) Seja ABC um triâgulo e ,,abcwwwcírculos dentro de ABC tangentes exteriormente dois a dois, tais que aw é tangente a AB e AC, bw é tangente a AB e BC e cwé tangente a AC e BC. Sejam D o ponto de tangência entre bw e ,cw E o

que as retas AD, BE e CF têm um ponto em comum

ponto de tangência entre aw e cwe F o ponto de tangência entre aw e .bw Prove

07. (Irã) Sejam w e W o incírculo e o circuncírculo do triângulo ABC. w toca BC, CA e AB em D, E e F respectivamente. Os três círculos ,abww e cwtangenciam w em D, E e F, respectivamente, e W em K, L e M, respectivamente.

(a) Prove que DK, EL e FM têm um ponto P em comum. (b) Prove que o ortocentro do triângulo DEF pertence à reta OP.

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08. Seja G uma circunferência e A, B e C pontos em seu interior. Construa as seguintes três circunferências: 1G tangente a ,ABGe AC; 2G tangente a ,ABGe BC; 3G tangente a ,ACGe BC. Sendo 123, e C os respectivos pontos de tangência de 123,,GGGcom G, prove que 12,ACBCe 3CC passam por um mesmo ponto.

Você sabia…

Que 33661×27031232 + 1 é primo? Esse foi o décimo primeiro primo descoberto pelo projeto "seventeen or bust" e foi encontrado por Sturle Sunde em 17 de outubro de 2007. Isso mostra que 33661 não é um número de Sierpinski (números de Sierpinski são naturais ímpares k tais que k × 2n + 1 é composto para todo n N; veja a Eureka! 18, pág.

61 e a Eureka! 25 página 56), reduzindo para 6 o número de naturais menores que 78557 (que é o menor número de Sierpinski conhecido), sobre os quais não se sabe se são ou não números de Sierpinski: 10223, 21181, 22699, 24737, 55459 e 67607. Veja w.seventeenorbust.com para mais informações (inclusive sobre como participar do projeto).

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PROBLEMA PROPOSTO POR MARCEL MENEZES DE ANDRADE PRADO Seja ABC um triângulo e P um ponto em seu interior tal que AP, BP e CP intersectam os lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F, respectivamente. Se

,APa=,BPb=,CPc=3PDPEPF=== e a + b + c = 43, determine abc.

SOLUÇÃO: Escrevemos P em coordenadas baricêntricas:

t B tC D t A tC E t A tB F

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