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t B tC D t B tC P t A t t A tD t A tC E

. t A tC F

131 t B tC PD D P t B t C t A t A t DA t t t

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PROBLEMA PROPOSTO POR WILSON CARLOS DA SILVA RAMOS Determine todas as funções ():0,F+¥fi¡ que sejam deriváveis em x = 1 e que satisfaçam:

como queríamos mostrar.

h h k h k hk

hk k k

F eF e F e e F e e e fi+¥ fi¥ fi¥ fi¥ -

Resolvemos a seguir, a pedido de Mauro Felix de Sousa, três problemas da seção “Olimpíadas ao redor do mundo”, propostos nas Eureka! No. 9 e 10.

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caso, temos a = 2, d – a = 16, donde d = 18, e no segundo a = 3, d – a = 9, donde d = 12. Assim, as duas soluções são (m, n) = (36, 18) e (m, n) = (36, 12).

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Você sabia…

Sociedade Brasileira de Matemática ü Neste número apresentamos algumas soluções enviadas pelos leitores da nossa seção.

Bruno Holanda Carlos Augusto David Ribeiro

Obs. Nas Eurekas 25 e 27 apareceram, por descuido na edição, problemas na seção Olimpíadas ao redor do mundo com numeração repetida. Nesses casos, procuraremos mencionar o exemplar em que o problema foi publicado, ao nos referirmos a um desses problemas.

226. (Inglaterra – 2007) Eureka! No. 27 Seja ABC um triângulo acutângulo com ABAC>e 60.BAC—=° Seja O o circuncentro e H o ortocentro. A reta OH encontra AB em P e AC em Q. Prove que PO = HQ.

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Seja M o ponto médio de BC. Sabemos inicialmente que AH = 2OM (1) e que

QAHOAPÐ=— (2)

2,OMAO=e por (1):

AOAH= (3) AHOAOHÞ—=— e como e AHOAOH——são ângulos externos dos triângulos AQH e AOP, temos HQAQAHOPAPAO—+—=—+— e por (2): AQHAPO—=—

Logo o triâgulo AQP é isósceles, onde .APAQ= Também por (2) e (3), temos que os triângulos APO e AQH são congruentes (A.L.A.) e assim: ,POHQ= como queríamos demonstrar.

229. (Bielorússia – 2001) Eureka! No. 27 No losango ABCD, 60A—=°. Os pontos F,

H e G estão sobre os segmentos , e ADCDACde modo que DFGH é um paralelogramo. Prove que FBH é um triângulo equilátero.

Sociedade Brasileira de Matemática l 30º

F b a l

30º 30º l b H l b

Sendo //,ADGHpois DFGH é paralelogramo, temos µµCGHHCGº e o triângulo HCG é isósceles, logo .HCGHb== Mas ,FDb=logo os triângulos BCHe

BDFsão congruentes, pois BCBDl== e µ60,FDB=° já que ABCD é losango.

Portanto BHBF” e µ.CBHDBF”

vértice de 60.°

Observe que µµµµµµ60.CBDCBHHBDHBDDBFHBF”+”+”=° Desta forma conclui-se que o triângulo BFH é equilátero, pois é isósceles e tem o ângulo do

230. (Rússia – 2007) Eureka! No. 27

Sejam a, b, c números reais. Prove que pelo menos uma das três equações 2 x a b x bc x b c x ca x c a x ab

SOLUÇÃO DE JEAN PIERRE YOUYOUTE (RIO DE JANEIRO - RJ) Analisaremos o caso em que as duas primeiras equações não tem solução real e provaremos que a terceira possui solução real. Os demais casos são análogos.

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