Números reais

Números reais

(Parte 1 de 4)

1.1 Construçªo AxiomÆtica do Corpo R

Devido à sua importância fundamental, faremos aqui breves referŒncias a algumas idØias que conduziram à construçªo dos nœmeros reais. Dentre as vÆrias formas de construçªo do corpo R, preferimos àquela que invoca o Princípio do Encaixe.

O ponto de partida Ø o conjunto dos nœmeros naturais N = f1;2;3;:::g e as operaçıes fundamentais de adiçªo e multiplicaçªo destes nœmeros, cuja caracterizaçªo Ø estabelecida do seguinte modo axiomÆtico:

O Axioma 3 Ø conhecido como Princípio de Induçªo Finita, de larga aplicaçªo em matemÆtica. Por exemplo, desejamos provar que:

Denotando essa sentença por P (n), construimos o conjunto X = fn 2 N; P (n) ocorreg e com auxílio do Axioma 3 deduziremos que X = N. De fato: (i) P (1) Ø simplesmente 2 = 2 que Ø verdadeira! (i) admitindo que P (n) ocorre, teremos:

e isto mostra que P (n + 1) tambØm ocorre.

A necessidade da operaçªo inversa da adiçªo conduz à introduçªo do nœmero zero e dos nœmeros negativos. Representamos por Z o conjunto dos inteiros i ANLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS e este conjunto com a operaçªo de adiçªo, isto Ø, o par fZ;+g possui estrutura de Grupo Abeliano. Isso signi ca que a operaçªo adiçªo "+"goza das seguintes propriedades:

(i) existe em Z um elemento neutro, isto Ø, um elemento 0 tal que 0 + x = x; 8x 2 Z; (i) todo elemento de Z tem inverso, isto Ø, dado x 2 Z, existe y 2 Z, tal que y + x = 0:

A operaçªo multiplicaçªo ( ) de nida em N estende-se de forma natural ao grupo Z. Este conjunto com as operaçıes de adiçªo e multiplicaçªo possui estrutura de Anel Abeliano com Unidade, isto Ø, o terno fZ;+; g Ø tal que:

(i) fZ;+g Ø um grupo abeliano;

(i) a operaçªo " "tem um elemento neutro, isto Ø, existe um elemento 1 2 Z tal que x 1 = x, 8x 2 Z;

A necessidade de de nir a operaçªo inversa do produto em Z leva ao aparecimento dos nœmeros racionais ou fraçıes, cuja totalidade Ø representada pela letra Q. Este conjunto, equipado das operaçıes de adiçªo "+"e multiplicaçªo " ", dadas por:

bd e ab

possui estrutura de Corpo NumØrico, isto Ø, o terno fQ;+; g Ø um anel abeliano com unidade e o par fQnf0g; g um grupo. No corpo algØbrico Q, Ø sempre possível dividir um elemento qualquer b por outro elemento a 6= 0; devido à equaçªo ax = b ter soluçªo x = ba 1, onde a 1 representa o inverso multiplicativo de a: Notamos, ainda, que no corpo Q nªo se pode dividir por zero, porque a equaçªo 0 x = b Ø impossível, no caso em que b 6= 0 (isso Ø consequŒncia do fato 0 x = 0; 8x 2 Q): Para ordenar o corpo Q, consideremos em Q um subconjunto Q+, denominado conjunto dos elementos positivos de Q, o qual goza das propriedades:

(i) dado x 2 Q, ocorre apenas uma das alternativas: ou x = 0 ou x 2 Q+ ou x 2 Q+: ( x representa o inverso aditivo (simØtrico) de x e a soma x + ( y) anota-se x y, que Ø a diferença entre x e y:

NÚMEROS REAIS VERO 2009 i

Em Q dizemos que x Ø menor do que y ou que y Ø maior do que x, e escrevemos x < y ou y > x, quando y x 2 Q+. Dessa forma, x > 0 signi ca x 2 Q+. O conjunto Q+ = fa=b; a b 2 Ng satisfaz às condiçıes estabelecidas e, por essa razªo, Q Ø denominado corpo ordenado. Ordenar um corpo numØrico fK;+; g Ø especi car o conjunto P de seus elementos positivos, o qual goza das mesmas propriedades do conjunto Q+:

(prova: se p=q fosse positivo, isto Ø, se p=q 2 Q+, entªo ( q)(p=q) 2 Q+ e daí resulta que p 2 Q+, contradizendo o fato de p ser posivo).

No corpo ordenado Q, escreve-se a b para signi car a < b ou a = b. Um subconjunto B Q diz-se limitado superiormente em Q quando existir b em Q tal que x b; para qualquer x em B. Um tal nœmero b Ø denominado majorante ou cota superior do conjunto B: Se b Ø um majorante de B, Ø claro que qualquer nœmero c b tambØm o Ø e o menor desses majorantes denomina-se supremo do conjunto B e anota-se supB: Quando supB 2 B, entªo supB diz-se o mÆximo de B e anota-se maxB: Um conjunto A Q Ø limitado inferiormente em Q quando existir a 2 Q tal que a x; 8x 2 A. Um tal nœmero a Ø denominado minorante ou cota inferior do conjunto A. O maior desses minorantes Ø denominado ín mo de A e anota-se inf A. Quando inf A 2 A, entªo inf A diz-se o mínimo de A e anota-se minA: Um conjunto X Q diz-se limitado quando o for iv ANLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS superiormente e inferiormente. Nesse caso, Ø claro, inf X supX:

1.1.1 Exemplo Fundamental

O conjunto N dos nœmeros naturais Ø limitado inferiormente em Q, tendo o nœmero 1 como mínimo. AliÆs, qualquer parte nªo vazia X N possui mínimo, ao qual nos referimos como primeiro elemento. Para mostrar que N nªo Ø limitado superiormente em Q, mostremos que dado p=q 2 Q existe n 2 N tal que n > p=q. Se p=q 0, consideramos n = 1; se p=q > 0; nªo hÆ perda de generalidades em admitir p;q > 0 e, neste caso, consideramos n = p + 1 e obtemos:

O fato de ser N nªo limitado superiormente em Q Ø uma propriedade intrínseca do corpo Q.

Existem corpos ordenados mais gerais onde N Ø limitado superiormente. Por exemplo, consideremos o corpo Q(t) das funçıes racionais com coe cientes inteiros e denominador nªo identicamente nulo, onde de nimos os elementos positivos de Q(t) como aquelas funçıes racionais p(t)=q (t) tais que o coe ciente do termo de maior grau do polinômio p(t) q (t) Ø positivo. O elemento p(t) = t Ø um majorante do conjunto N, uma vez que, p(t) n = t n Ø uma funçªo racional positiva.

Com o exemplo fundamental estabelecemos uma propriedade adicional do corpo Q, denominada propriedade arquimediana: dados x;y 2 Q+, existe n 2 N tal que nx > y: Essa propriedade Ø facilmente comprovada, tendo em vista que N nªo Ø limitado superiormente em Q. É oportuno observar que o corpo ordenado Q(t) referido acima e noqual N Ø limitadao superiormente nªo Ø arquimediano.

O corpo Q, alØm de ordenado e arquuimediano, possui a propriedade de densidade, isto Ø, dados a;b 2 Q com a < b, existe c 2 Q tal que a < c < b. De fato, sendo a < b, entªo:

Esta propriedade de densidade permite escolher em Q elementos tªo próximos quanto desejarmos de outro elemento previamente escolhido e, assim, de nir a mais importante noçªo da AnÆlise MatemÆtica, a noçªo de limite na sua forma mais simpli cada, que Ø a de limite de sequŒncia.

A medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Ao que se sabe, foi PitÆgoras quem primeiro abordou a questªo de determinar um nœmero x tal que x2 = 2. Prove que esta equaçªo

NÚMEROS REAIS VERO 2009 v nªo tem soluçªo em Q. A inexistŒncia de uma fraçªo p=q tal que (p=q)2 = 2 deve-se à propriedade de densidade do corpo Q. Embora Q contenha uma in nidade de pontos (nœmeros) nªo contØm o su ciente para medir a diagonal de um quadrado de lado 1. É necessÆrio ampliar o conjunto dos racionais Q, ou seja, tapar os buracos da reta, para que esta possa servir de rØgua graduada capaz de medir qualquer comprimento com rigor.

Assim, suporemos a existŒncia de um corpo ordenado arquimediano R, contendo Q, onde

Ø vÆlido o Princípio do Encaixe, utilizado em algumas literaturas para a caracterizaçªo axiomÆtica dos nœmeros reais. A propriedade arquimediana do corpo R Ø decisiva na comprovaçªo de que 1=n torna-se arbitrariamente próximo de zero, à medida que o nœmero natural n cresce. Traduzimos isto escrevendo 1=n ! 0, com n ! 1: O mesmo raciocínio se aplica a outras sucessıes a exemplo da sucessªo x=2n: Esta noçªo de convergŒncia (proximidade) serÆ tratada mais tarde com bastante rigor. No momento enfatizamos o seguinte: (i) se an an+1 e bn bn+1, seja qual for n 2 N, e se bn an ! 0, entªo para todo x 2 [an;bn] tem-se an se aproxima de x pela esquerda (anota-se:

an ! x ) e bn se aproxima de x pela direita (anota-se: bn ! x+) (i) se an y e an ! x, percebe-se que x y:

1.1.2 Valor Absoluto e Intervalos

Dado x 2 R de nimos o valor absoluto ou módulo de x como sendo o nœmero real jxj = maxfx; xg. É claro que jxj = x, se x 0 e jxj = x, no caso em que x < 0:

Existe uma classe importante de subconjuntos de R; denominados intervalos, com notaçªo e caracteísticas especí cas. Se a e b sªo dois nœmeros reais e a < b, de nimos os intervalos:

Dado um intervalo limitado I com extremos a e b, o comprimento de I Ø o nœmero real jb aj, que representaremos por m(I): Um intervalo pode ser caracterizado da seguinte forma (veja o Exercício 1.20): um conjunto I R Ø um intervalo se, e somente se, cumpre a seguinte condiçªo: se a;b 2 I e a < x < b, entªo x 2 I:

vi ANLISE NA RETA MARIVALDO P MATOS

Princípio do Encaixe. Dada uma família in nita fIngn2N de intervalos fechados nªo vazios

existe um œnico x comum a todos os In:

No Princípio do Encaixe, a hipótese dos intervalos serem fechados Ø essencial. De fato, noteque \1

Passemos agora à construçªo do nœmero p 2 que Ø precisamente a raiz positiva da equaçªo x2 = 2: Com efeito, consideremos um intervalo [a;b] tal que a2 2 b2 (por exemplo, o intervalo

2 e dividindo [a;b] ao meio, um dos intervalos da divisªo, digamos [a1;b1], Ø tal que a21 2 b21. Representemos esse intervalo por I1 e uma repetiçªo sucessiva do processo de divisªo do intervalo ao meio nos conduz a uma família fIng de intervalos encaixados In = [an;bn]; tal que a2n 2 b2n: Como cada intervalo In tem a metade do comprimento do intervalo anterior, entªo bn an = (b a)2 n ! 0 e, portanto, existe um œnico x pertencente a todos os intervalos In e ainda an ! x e bn ! x: Assim, tomando o limite, com n ! 1; na

x = y: Teorema. (Gauss) Seja a=b uma raiz da equaçªo irredutível. Entªo, a Ø divisor de p0 e b Ø divisor de pn: Demonstraçªo. Por substituiçªo da raiz a=b na equaçªo (1), resulta:

de onde seguem as igualdades:

pnan

p0bn

Observando que os lados direitos de (3) e (4) sªo nœmeros inteiros e que a fraçªo a=b Ø irredutível, deduzimos que a divide p0 e b divide pn:

NÚMEROS REAIS VERO 2009 vii

CorolÆrio. Toda raiz racional da equaçªo xn + pn 1xn 1 + ::: + p1x + p0 = 0, onde pk 2 Z; Ø necessariamente um nœmero inteiro.

CorolÆrio. p 2 nªo Ø um nœmero racional.

Um nœmero x 2 R que nªo Ø racional Ø denominado irracional e a totalidade desses nœmeros

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