Seqüencias, limites e continuidade

Seqüencias, limites e continuidade

Módulo 2

Seqüências, Limite e Continuidade 5GS×ÄPEKCU

Uma seqüência é um conjunto de númerosa1 ,a2 disposta numa certa ordem (isto é, em correspondência com os inteiros positivos) e formada segundo uma dada regra. Também podemos dizer que, uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos.

,...,an,também é representada abreviadamente

A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, limites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque HVFODUHFH ODV QDV ELEOLRJUDÀDV indicadas e também junto ao Sistema de Acompanhamento

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Exemplo 4.3Os números 1

,,

Exemplo 4.4Os números 2,

,formam uma

Exemplo 4.5Escreva os primeiros 5 termos da seguinte seqüência 2n <1

Resolução: Fazendo n 1em 2n <1

Do mesmo modo, fazendo n 2 temos 2= 2<1

os números 1

Exemplo 4.6Escreva os primeiros 5 termos da seguinte seqüência

E assim por diante.

são

os números 2

Módulo 2

Limite de uma seqüência

Informalmente, podemos dizer que uma seqüência tem limite L (converge paraL), se a partir de um certo índice todos os termos da seqüência se aproximam cada vez mais deL. Ou, ainda dizemos que, uma seqüência an!# tem o limiteL, se para todo e 0, existe um número N 0, tal que an<L e inteiro n N e escrevemos

Intuitivamente, Lé o limite de uma seqüência*, quando os termos da mesma aproximam-se cada vez mais deL, quando nA' .

Exemplo 4.7 Seja a seqüência n

, entãolim

Exemplo 4.8Seja a seqüência 3

, entãolim

Exemplo 4.9Consideremos a seguinte seqüência1n

Exemplo 4.10Seja a seqüência 8n

, entãolim nA'

Se uma seqüência an!# tem um limite, dizemos que a seqü- ência é convergente, e dizemos que an converge para àquele limite. Se uma seqüência não for convergente, dizemos que é divergente.

Seqüência*: ou Sucessão é uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemen- WR ÀFD QDWXUDOPHQWH VHT HQFLDGR 8PD sucessão é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais nãonulos).

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Exemplo 4.11A seqüência 4n2

elim nA'

2, portanto é convergente e tem limite 2.

Exemplo 4.12A seqüência <1 n 1!# elim

nA'

0, n é ímpar

2, n ép ar portanto a seqüência é divergente.

Exemplo 4.13A seqüência n 1

, elim nA'

, portanto é con- vergente e tem limite 1

Exemplo 4.14. A seqüência n2 1n

, e lim limite), portanto a seqüência é divergente.

Seqüências monótonas crescentes e decrescentes

(i) crescente, sean ) an 1 , n;

(i) decrescente, sean*an 1 , n.

Exemplo 4.15A seqüência 1

,,
,ou

® , é crescente, pois

De fato, n

o que vale sempre.

,,

n 1 ,..., é decrescente, porque 1n

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De fato, 1n

D 'DGDDVHTrQFLD<1,<3,<5,<7,determine o termo geralan.

Exercícios propostos – 1

,determine o termo geralan.
2.4.62n

c)

Curso de Graduação em Administração a Distância a) n b) 2n

O conceito de Limite* é importante na construção de muitos outros conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, nas noções de derivada e de integral que serão abordados nas unidades 5 e 7, que são os suportes de toda a construção das variáveis físicas, além da importância no cálculo de área e volumes.

A noção de limite

Limite*: é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento GH X PD V HTXrQFLD de números reais, à medida que o índice GD VHTXrQFLD YDL crescendo, ou seja, WHQGH SDUD LQÀQLWR

Módulo 2

Vamos estudar juntos os valores da funçãof(x), quanto x estiver próximo de 1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez mais próximos de 1, com x 1 e observaremos o que está acontecendo comf(x), conforme o quadro abaixo:

Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-se cada vez mais de 1, com x 1 e observar o que está acontecendo comf(x):

Observamos, em ambas os quadros, que enquanto x se aproxima cada vez mais de 1, a função f(x) se aproxima cada vez mais de 5. Em outras palavras, é possível obter o valor de f(x) tão próximo de 5 quando desejarmos, desde que tomemos x VXÀFLHQWHPHQWH SUy[LPR GH

Figura 4.1

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Para xcada vez mais próximo de 1, f(x)aproxima-se de 5 e escreve-se a seguinte expressão:

O limite da função f(x), quando x aproxima-se de 1, é 5, ou ainda, o limite de f(x), quando x tende a 1, é 5. Isto VLJQLÀFD GL]HU TXH R YDORU GD H[SUHVVmR 3x 2, cada vez mais aproxima-se de 5, à medida que os valores de x estão aproximando-se de 1. Quando xA1,f(x)A5.

Consideremos agora a função f, definida pela expressão

Queremos saber o que ocorre com a função f(x) quando x tende para 1, através de valores de x 1 e o que ocorre com a função f(x), quando x tende para 1, através de valores dex 1. Vejamos o que acontece comf(x), no quadro abaixo, quando x tende para 1, através de valores dex 1.

5 7 1 19 43 403 4003 40003

Vejamos o que acontece com f(x), no quadro abaixo, quando x tende para 1, através de valores dex 1.

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1 -1 -37 -397 -3997 -39997

Observamos que quando x tende a 1, através de valores de x 1 ou pela esquerda de 1, os valores absolutos da função f(x) crescem e são negativos ou a função f tende para <', e pode-se dizer que o limite de f(x) quando x tende a 1 pela esquerda é<', xA1-,f(x)A<',e anota-se por

lim xAa f(x) L,se para todo ¡(epslon), ¡ 0, existe um b

(delta), b 0, tal que

Teoremas sobre limites de funções Teorema 4.1Unicidade do limite:

Teorema 4.2 Se f(x) k para todo xreal, então para qualquer número reala, tem-se

WHRUHPDV GHVHPSHQKDUmR um papel importante em todo o nosso curso.

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Ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.

Teorema 4.3 Selim xAa f (x) L e lim xAa g(x) M, então, a) lim

b) Para qualquer número realk, tem-se lim

c) lim

d) lim xAa lim xAa f (x) lim xAa g(x)

e) lim xAa xAa

Teorema 4.4 Selim xAa f (x) b e lim yAb g(y) L, comL g(b), então

lim

Observação Pelo Teorema 4.3(e) podemos concluir

Por exemplo,

então a) lim xAa b f (x) blim b) lim c) lim xAa f (x)n lim xAa f(x)n Ln, para todo n seL*0e só

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xn-1b1

Observação Seja p(x) bn xn bn-1 x b0

, um polinômio qualquer, pelo teorema 4.3(a) e (b) e pela observação 4.1, temos

xn-1b1

lim xAabnxn lim xAabn-1

xn-1lim

xAab1 x lim xAab 0

xn<1b1 lim

= bn lim xAa xn bn<1lim xAa xAa xAab 0

Logo,

Por exemplo, lim

lim

Vejamos agora alguns exemplos resolvidos.

Exemplo 4.18Calcular lim xA1

Resolução: Aplicando o Teorema 4.3(a), (b) e (d), obtemos

lim xA1 lim lim

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Portanto,

lim xA1

Exemplo 4.19Calcular lim

lim

lim

Portanto, lim

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Exercícios propostos – 2

% Calcular os seguintes limites:

4) lim

5 lim xA1

Limites laterais

Os resultados desta seção serão

LPSRUWDQWHV SDUD WRGD D VHT rQFLD de nosso curso. Por isso, só passe para a próxima seção quando tiver resolvido os exercícios

Este procedimento pode ser bastante útil.

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Limite à esquerda

Se f(x) tende para L1 quando x tende para a através de valores menores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e indica-se por lim xAa

Limite à direita

Se f(x) tende para L2 quando x tende para a através de valores maiores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita e indica-se por lim xAa

Determinar:

Módulo 2

Assim,

Assim,

c) Note quef(1) 4. Com estas informações, de quef(1) 4,

def(x) Gr YDORUHV SDUDx,x 1 e calcule os valores de f(x) correspondentes através da expressãox2 1 Gr YDORUHV SDUD x 1 e calcule os valores de f(x) correspondentes através da expressão

Figura 4.2 Exemplo 4.21Considere a função

Determine:

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Logo,

Logo,

Portanto,

valores parax, x)<2 e calcule os valores de f(x)corresponden- tes, através da expressãox2<1 Gr YDORUHV SDUD x <2 e calcule os valores de f(x) correspondentes, através da expressão 2x 7 e veja R JUiÀFR GH f (x), abaixo:

Módulo 2

Figura 4.3

Teorema de existência do limite

Sejam I um intervalo aberto, aum ponto deste intervalo e f:I<{a}A°. Então existe

Vejamos agora, alguns exemplos de aplicação do teorema de exis- WrQFLD GR OLPLWH

Exemplo 4.22Considere a função

Resolução: Para determinar o lim xA2 f(x),vamos calcular os limites laterais def(x), ou seja, calcular lim xA2 f(x) elim xA2 f(x). Para cal- cular lim xA2 f(x),observe na função dada que f(x) HVWi GHÀQLGD por f(x) x2 1para valores de x menores que 2.

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Assim,

Para calcular lim xA2 f(x),observe na função dada que f(x) está

Como lim xA2 f(x) 5 elim xA2 f(x) 5, pelo teorema acima temos

Figura 4.4

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Exercícios propostos – 3

Calcular: lim xA2 f (x), lim xA2

Calcular: lim xA0 f (x) , lim xA0

Calcular: lim xA2 f (x), lim xA2

Determinar o valor da constante k para que existalim xA<2 f (x) .

Calcular: lim xA4 f (x), lim xA4

Da noção de limite lateral, dependerá, fundamentalmente, o entendimento de continuidade de uma função, que será estudada posteriormente.

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Indeterminações neamente a letra d) do Teorema 4.3para calcularlim xAa alguns artifícios algébricos.

Até agora calculamos limites do quociente entre duas funções, aplicando o Teorema 4.3 letra d). Veja o exemplo 4.18 resolvido

d) do Teorema 4.3, encontre 0 . Cuidado quando isto ocorrer. O limite nunca é 0

, pois 0

0 não é número algum. Neste caso, o que fazer? É o que veremos a seguir:

Consideremos f(x) e g(x) funções tais que lim xA0 f(x) 0 e lim xA0 g(x) 0. Em princípio, nada se pode afirmar sobre o

lim xA0 lim xA0

(com a aplicação indevida do Teorema 4.3 letra d).

Dependendo das funções f e g, o limite pode assumir qualquer valor real ou não existir.

Diz-se que 0 é uma indeterminação, ou um símbolo de indeterminação.

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Exemplo 4.23 Sejam f(x) x4eg(x) x3. Calcular lim xA0

Resolução: Tem-se

Mas,

lim xA0 lim xA0

Neste caso,

lim xA0 lim xA0

Exemplo 4.25 Calcularlim xA1

Resolução: Quando x 1temos a determinação

Portanto,

lim xA1 lim

Tentando calcular limites de funções aplicando os teoremas vistos,

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Os tipos de indeterminações:

Sempre que no cálculo de um limite você chegar a um destes símbolos, deve buscar alguma alternativa para obter o valor do limite usando artifícios algébricos. A este trabalho dá-se o nome de levantamento de uma indeterminação. Este processo também pode ser resolvido no capítulo Aplicações de Derivada usando regra de L’Hospital, que também trata de limites funções com indeterminações. Recomendamos a você uma releitura da seção 6.3, que trata dos limites.

Limites infinitos

Queremos determinar os valores da função f(x) quando x está próximo de 3. Para x se aproximando de 3 pela direita, x 3, temos os valores de f(x), dados no quadro abaixo:

2 8 32 128 200 20.0 2.0.0

Observamos que, fazendo x aproximar-se cada vez mais de 3, com x 3 , f(x)cresce ilimitadamente, isto é, pode-se tornar f(x) tão JUDQGH TXDQWR YRFr GHVHMDU GHVGH TXH VH WRPH x bem próximo de 3.

Escreve-se lim

Módulo 2

Agora vamos considerar x, aproximando-se de 3 pela esquerda. Para x 3 REWrP VH RV YDORUHV GHf(x), dados no quadro abaixo.

2 8 32 50 2.0 20.0 2.0.0

Escreve-se lim

ou seja, quandoxA3<,f(x)A '. Portanto, quando x se aproxima de 3 pela direita (x 3) ou pela esquerda (x 3),f(x), cresce ilimitadamente, e escreve-se lim

Escrevemos lim xAa f(x) ' para dizer que f(x) cresce ilimitada- mente quando x tende paraa.

Se f(x) 0 para x próximo de a e o módulo de f(x) crescer ilimitadamente, escrevemoslim xAa f (x) '.

Escrevemos lim xA ' f(x) ' para dizer que f(x) cresce ilimita- damente sempre que xcrescer ilimitadamente.

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Limite de Função Racional

Teorema 4.7 Seja a função racional (o quociente entre dois polinômios)

xn-2an
xm-2bm

Então,

lim xA( ' ao = xn

ou seja, o limite da função racional f(x) é dado pelo limite da razão ou o quociente dos termos de maior grau dos polinômiosP(x)eQ(x).

Vejamos alguns exemplos, aplicando o Teorema de uma função racional quandox A( '.

Exemplo 4.26 Determinar lim xA< '

Resolução: Pelo Teorema acima, tem-se

lim xA< ' lim

Portanto, lim xA< '

Módulo 2

Exercícios propostos – 4

% Calcular os seguintes limites:

Nos exercícios desta seção e da anterior,

YRFr WHYH D RSRUWXQLGDGH GH SHUFHEHU se entendeu a aplicação dos teoremas nelas enunciados. Só prossiga após fazer todos os exercícios propostos, de ambas as seções, porque istocontribuirá SDUD XP PHOKRU HQWHQGLPHQWR GRV conteúdos nelas apresentados. Se tiver dúvidas, consulte o Sistema de $FRPSDQKDPHQWR

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Funções contínuas

Em matemática usamos a expressão contínua em um sentido se-

A maior parte das funções elementares, vistas no capítulo 2, são contínuas em todo x real, por exemplo, f(x) c, f(x) ax b, f (x) sen x e f (x) cosx .

Seja aDDomf diz-se que uma função f é descontínua no ponto x a se f não for contínua emx a.

,VWR VLJQLÀFD TXHf é descontínua em x a, se ocorrer ao menos uma das seguintes condições:

Módulo 2 i) Não existelim xA a f (x) .

i) Existelim xA a f(x), maslim xA a f (x) & f (a).

Vamos ver alguns exemplos.

Exemplo 4.27Seja

A função f(x) é descontínua no pontox 3, pois,

não existelim xA3 f (x) .

tinuidade def(x). Seria necessário que se tivesse lim xA3 f (x) f (3) o que jamais poderia ocorrer, visto que não existelim xA3 f(x). Veja o

Figura 4.5

Uma função f é contínua no conjunto X se f é contínua em todos os pontos deX.

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Por exemplo, as funções f(x) tgxeg(x) senx são contínu- asnos intervalos </ 2 ,

µ, respectivamente.

Vamos estudar agora, os teoremas elementares de funções contínuas, tais como: soma, produto, quociente e composição.

Teorema 4.11Se as funções f(x)eg(x) são contínuas emx a, então:

d) O quociente, f (x) g(x) , é uma função contínuax a, desde que

Observação 4.3

xn<1an é contínua

(i) Uma função racional é contínua em todo número real de seu domínio. (i) As funções abaixo são contínuas em todo número real x de seu domínio:

Vejamos alguns exemplos de funções contínuas pelo Teorema 4.1 e 4.12.

Exemplo 4.28As funções f(x) x2eg(x) 3x são contínuas para todo número realx, logo, (f g)(x) x2 3x é contínua para todo número realx.

Módulo 2

Exemplo 4.29As funções f(x) x 1eg(x) cosx são contínuas para todo número realx, logo, (f=g)(x) (x 1)=cosxé contínua para todo número realx.

para todo número realx, logo, para todo número realx.

Exemplo 4.32As funções f(x) 2x 1eg(x) 2x são contínuas para

Vamos analisar a continuidade de uma função num determinado ponto, x a, e para isto consideraremos os seguintes exemplos resolvidos:

Exercícios propostos – 5

é contínua no pontox <3.

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Saiba Mais...

Para aprofundar os conteúdos abordados neste caítulo, consulte:

Módulo 2

Exercícios propostos – 1

b)

3) a) 23 ;b) ' (não existe o limite).

4) a) monótona crescente;b) monótona crescente

Exercícios propostos – 2

;5) 1.

9 ; 4) <1 4 Exercícios propostos – 3

1)lim

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Exercícios propostos – 4

Exercícios propostos – 5

1)Sim, f(x)é contínua emx 2. 2) A função dada não é contínua emx <3. 3)A função f(x) não é contínua emx 3.

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