Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas

(Parte 1 de 4)

Módulo 2

Aplicações de Derivadas

LQWHUYDOR IHFKDGR [a,b] e que f'(x)exista no intervalo abertoa x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que

x0 cab

A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, limites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque HVFODUHFH ODV QDV ELEOLRJUDÀDV indicadas e também junto ao Sistema de Acompanhamento

Curso de Graduação em Administração a Distância

Resolução: Aqui a <1 eb 3. Vamos calcular f(a) ef(b), assim

Portanto, o valor de c que o TVM garante existir em <1,3 vale 1.

de forma que

Logo, os dois valores de c são: c1 < 2

eb 2, nos quais a tangente à curva y x3 é paralela à corda que passa

Módulo 2

Seja f uma função tal que f e suas n primeiras derivadas vf,vvf,..., f(n<1),f(n) sejam contínuas em[a,b]. Além disso, f(n 1)(x)existe para todo x no intervalo aberto(a,b). Então, a fórmula de Taylor ou polinômio de Taylor de ordem n, no pontoa, da função f p GHÀQLGD SRU

Observação No caso de a 0 temos

a qual é chamado de fórmula de Maclaurin def(x).

A fórmula de Taylor pode ser utilizada para calcular um valor aproximado de determinada função por meio de somas parciais, por exemplo, calcular um valor aproximando deln(3,74),e4,289, etc.

Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 6.3Sejaf(x) lnx. Determine a fórmula ou o polinômio de Taylor no pontoa 1, de ordem:

(i) 3; (i)n, sendo n um número natural qualquer. (i) Use o polinômio do item (i) para calcular um valor aproximado deln(1,1).

Resolução: Vamos inicialmente determinar o polinômio de Taylor de ordem 3, no pontoa 1, ou seja, devemos ter

Logo, respondendo (i), vem

ou,

ou seja,

Agora, para responder (i), vem

Módulo 2

Finalmente, respondendo (i), temos Para calcularln(1,1), fazendo x 1,1 em (i), vem

Exemplo 6.4Determinar a fórmula ou o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto zero da funçãof(x) ex .

Resolução: Vamos determinar a expressão

f '(x)  f ''(x)  f '''(x)  f n(x)  ex

É dado que f(x) ex, então ,

Logo,

Portanto, a fórmula ou o polinômio de Taylor de ordemn, no ponto zero da função f(x) ex é dada por

Observação Quanto maiorn, melhor a aproximação. Por exemplo, fazendo x 1 en 6, obtemos:

Curso de Graduação em Administração a Distância

De fato, a soma à direita aproxima o número té a terceira casa decimal,

Exemplo 6.5Seja a funçãof(x) x. Obter uma aproximação de Taylor de terceira ordem no pontoa 9.

Resolução: Vamos determinar

Logo,

ou seja,

isto é,

Portanto, a aproximação de Taylor de terceira ordem de f(x) x no ponto a 9 é

Módulo 2

Por exemplo, um valor aproximado de 5 seria

ou seja,

ou seja,

Regra de LHospital

Vamos estudar, nesta seção, outra aplicação das derivadas, que consiste num modo bastante útil de calcular limites de formas indeterminadas, D FKDPDGD Regra (ou Teorema) deL’Hospital*, que nos permite levantar indeterminações do tipo 0 0 e '

' , estudadas na unidade 4, provenientes do cálculo do limite do quociente de duas funções deriváveis.

Nesta seção, queremos calcular o limitelim xAa g(x) , nos seguintes

(b) f(x)A' e g(x)A' quandox A a.

Em ambos, calculamosf'(x),g'(x) elim xAa g'(x) . Se este limite existe, segue que lim xAa g(x) também existe. Caso a indeterminação con- tinua, isto é, f'(x)eg'(x) satisfazem (a) e (b), calcule f''(x) e g''(x) elim xAa g''(x) . E assim por diante.

(Parte 1 de 4)

Comentários