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Módulo 2

Cálculo Integral

Função primitiva

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervaloI, se para todo xDI , tem-se F '(x) f (x).

Vejamos alguns exemplos.

é uma primitiva da funçãof(x) x4 ,

pois

Nesta unidade, passaremos a nos preocupar com o teorema mais importante do cálculo diferencial, que é o Teorema Fundamental do Cálculo. É importante

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Exemplo 7.3 A função F(x) e<3x <3 é uma primitiva da função

Exemplo 7.4 A função F(x) x x1 2 é uma primitiva da função

Observação Seja I um intervalo em°. SeF:IA° é uma primitiva de f:IA°, então para qualquer constante realk, a função G(x) dada por G(x) F(x) k é também uma primitiva def(x).

Se F,G:IA° são primitivas def:IA°, então existe uma constante real k, tal queG(x) F(x) k, para todoxDI.

Exemplo 7.5Sabemos quesenx ' cosx. Assim, F(x) senx é uma primitiva da função f(x) cosx e toda primitiva da função

todas primitivas da funçãof(x) cosx, pois

Exemplo 7.6Encontrar uma primitivaF(x), da função f(x) 2x3<4x2 5x<1, para todo xD°, que satisfaça a seguinte condiçãoF(1) 4 .

pois

Módulo 2

Como F(x)deve satisfazer a condiçãoF(1) 4, vamos calcular o valor da constantek, fazendo x 1 na funçãoF(x), isto é,

e resolvendo temosk 10 4 .

Assim,

Portanto,

que satisfaz condiçãoF(1) 4.

Exemplo 7.7Encontrar uma primitivaF(x), da função

que satisfaça a seguinte condiçãoF(0) 2.

Resolução: Sabemos que F(x) é uma função cuja derivada é a funçãof(x) dada. Conforme visto no Capitulo 5, temos

Logo,

pois,

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ou seja,

Como F(x)deve satisfazer a condiçãoF(0) 2, com isto vamos calcular o valor da constante k fazendox 0 na funçãoF(x), isto é,

Assim,

Portanto,

é uma função primitiva de

que satisfaz a condiçãoF(0) 2.

Exemplo 7.8Encontrar uma primitivaF(x), da função f (x) e<3x x , que satisfaça a condiçãoF(0) 1. Resolução: Sabemos que F(x) será uma função cuja derivada

Módulo 2 será a função f(x)dada, logo

pois,

ou seja,

Como F(x) deve satisfazer a condiçãoF(0) 1, com isto vamos calcular o valor da constantekfazendox 0 na funçãoF(x), isto é,

Assim,

3 , é uma função primitiva de

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Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do

Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a derivada.

Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x) Cé chamada LQWHJUDO LQGHÀQLGD da função f(x) e é denotada por

0<é chamado sinal de integração; f(x)<é a função integrando;

(i)f(x)dx0representa uma família de funções, isto é, a família ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando.

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Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir.

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