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Capítulo 4 DERIVADA

4.1 Introdução

Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.

4.2 Reta Tangente

uma função definida num domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, ou ainda, D tal que para todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha: I ∩ (D − {x0}) 6= ∅.

Considere P = (x0,f(x0)) e Qi = (xi,f(xi)) (i = 1, 2, 3) pontos no gráfico de f, P 6= Qi;

seja r1 a reta secante que passa por P e Q1; seu coeficiente angular é:

Fixemos o ponto P e movamos Q1 sobre o gráfico de f em direção a P, até um ponto Q2 =

(x2,f(x2)) tal que Q2 6= P; seja r2 a reta secante que passa por P e Q2; seu coeficiente angular é:

Suponha que os pontos Qi (i = 1, 2, 3) vão se aproximando sucessivamente do ponto P

(mas sem atingir P), ao longo do gráfico de f; repetindo o processo obtemos r1, r2, r3,..., retas secantes de coeficientes angulares m1, m2, m3,..., respectivamente. É possível provar, rigorosamente, que quando os pontos Qi vão se aproximando cada vez mais de P, os mi respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos por mx0 .

162 CAPÍTULO4. DERIVADA

P x x x x x r r rf(x)

Definição 4.1. A reta passando pelo ponto P e tendo coeficiente angular mx0 , é chamada reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)).

mx0 = lim existe, fazendo a mudança t = x − x0, temos:

mx0 = lim

Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f para qualquer ponto (x,f(x)):

Assim, mx só depende x.

Definição 4.2. Se f for contínua em x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

se o limite existe,

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 4 − x2, no ponto (1,3).

Denotemos por m1 o coeficiente angular da reta tangente à parábola y = 4 − x2 passando pelo ponto (1,f(1)) = (1,3). Seja P = (1,3) e Q = (x0,4 − x20) pontos da parábola; o coeficiente angular da reta secante à parábola passando por P e Q é:

Do desenho, é intuitivo que se Q aproxima-se de P (x0 aproxima-se de 1), os coeficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (1,3) é y − 3 = −2(x − 1) ou, equivalentemente, y + 2x = 5.

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 1

Seja m12 o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = x passando pelo ponto

) pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à

curva passando por P e Q é:

mPQ =

164 CAPÍTULO4. DERIVADA

Q x

Novamente do desenho, é intuitivo que se Q aproxima-se de P ( x0 aproxima-se de

) os coe- ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (12,2) é y − 2 = −4(x − 12) ou, equivalentemente, y + 4x = 4.

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 − x + 1, no ponto (1,1). Utilizemos agora diretamente a definição:

Logo m1 = 2. A equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (1,1) é y − 2x = −1.

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 165

Figura 4.6: Exemplo [3]. Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

4.3 Funções Deriváveis

Definição 4.3. Seja f : D −→ R uma função definida num domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda, D tal que para todo intervalo aberto I que contenha x0, se tenha: I ∩ (D − {x0}) 6= ∅. f é derivável ou diferenciável no ponto x0 quando existe o seguinte limite:

Fazendo a mudança t = x − x0, temos:

f′(x0) é chamada a derivada de f no ponto x0. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular a derivada de f para qualquer ponto x ∈ Dom(f);

Assim f′ é função de x e f′(x0) ∈ R.

Definição 4.4. Uma função f é derivável (ou diferenciável) em A ⊂ R, se é derivável ou diferenciável em cada ponto x ∈ A.

Outras notações para a derivada de y = y(x) são:

dx ou Dxf.

166 CAPÍTULO4. DERIVADA

Interpretação Geométrica A função F : (D − {x0}) −→ R, definida por

representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos (x0,f(x0)) e (x,f(x)). Logo, quando f é derivável no ponto x0, a reta de coeficiente angular f′(x0) e passando pelo ponto (x0,f(x0)) é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)). Se f admite derivada no ponto x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

A equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (x0,f(x0)) é:

4.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 167

Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa x0 = 1.

Se x0 = 1 então f(x0) = 2; logo, a reta tangente passa pelo ponto (1,2) e seu coeficiente angular é f′(1). Temos:

Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico de y = f(x).

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = √ x que seja paralela à reta

Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto (x0,y0) e do coeficiente angular f′(x0). Neste problema, temos que determinar um ponto.

Sejam rt a reta tangente, r a reta dada, mt e m os correspondentes coeficientes angulares; como rt e r são paralelas, então mt = m; mas m = 2 e mt = f′(x0), onde x0 é a abscissa do ponto procurado; como:

resolvendo a equação f′(x0) = 2, obtemos x0 = 1

168 CAPÍTULO4. DERIVADA

Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico de f(x) = √ x paralela à reta 2x − y − 1 = 0.

[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x) = x3

3 − 1 que sejam perpen- diculares à reta y + x = 0.

Sejam rt a reta tangente, r a reta dada, mt e m os correspondentes coeficientes angulares; como rt e r são perpendiculares,então mtm = −1; mas m = −1 e mt = f′(x0), ondex0 é a abscissa do

Teorema 4.1. Se f é derivável em x0 então f é contínua em x0. Para a prova veja o apêndice.

Seja f(x) = |x|. f é contínua em todo R; em particular em x0 = 0. Mas a derivada de f em 0 não existe; de fato:

= lim

= lim

Do teorema segue que não existe a derivada de f no ponto x0 se f é descontínua no ponto x0. Também não existe a derivada de f no ponto x0 nos eguintes casos:

i) Se existe"quina"no gráfico da função contínua no ponto de abscissa x0, como no ponto x0 = 0 do exemplo anterior.

i) Se f é contínua em x0 e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa x0.

Figura 4.1: Funções não deriváveis. Exemplo 4.5.

logo, a derivada em 0 existe; então, f é contínua em 0.

[2] f(x) = 3√ x é contínua em todo R e não é diferenciável em x = 0. De fato:

170 CAPÍTULO4. DERIVADA [3] Determine as constantes a e b tais que:

seja derivável.

Devemos calcular:

Devemos determinar os limites laterais:

Logo, devemos ter 12a = 4, então a = 1

3 . Por outro lado, f deve ser contínua em x0 = 2; isto é:

A função deve ser definida por:

4.4 Regras de Derivação

De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto; logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,

4.4. REGRASDE DERIVAÇÃO 171 t = mt

nxn−1 + t(n(n−1)2 xn−2 t+ tn−2)] − xn e:
nxn−1 + t(n(n−1)2 xn−2 t+ tn−1

Proposição 4.1. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis; então:

1. Regra da soma: As funções u ± v são deriváveis e

3. Regra do quociente: A função u v é derivável, e

Veja as provas no apêndice.

Da regra do produto temos: (k u(x))′ = k u′(x), para toda constante k. Da regra do quociente, temos: se u(x) = xn, x 6= 0, com n < 0, então u′(x) = nxn−1.

172 CAPÍTULO4. DERIVADA

[4] Determine as equações das retas tangentes aos gráficos de: (a) f(x) = x2 − 3x que passa pelo ponto (3,−4). (b) g(x) = x3 − x, paralelas à reta y − 2x = 0.

(a) O ponto dado não pertence ao gráfico de f. Por outro lado a equação da reta tangente ao

Resolvendo a equação, obtemos: x0 = 1 e x0 = 5. Então, as equações obtidas são y + x + 1 = 0 e y − 7x + 25 = 0.

(b) O coeficiente angular da reta tangente no ponto x0 é g′(x0) = 3x20 − 1 e deve ser igual ao coeficiente angular da reta dada; então 3x20 − 1 = 2; logo, x0 = ±1. As equações das retas tangentes são y − 2x +2 = 0 e y −2x − 2 = 0.

Figura 4.14: Gráficos do exemplo [4].

4.5 Derivada da Função Composta

Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: u(x) = (x9 + x6 + 1)1000 com as regras dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessivamente a regra da soma ou escrever como produto de 1000 polinômios e usar a regra do produto. Como ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Seja g(x) = x1000 e f(x) = x9 + x6 + 1; é claro que u(x) = (g ◦ f)(x). Logo, se soubermos derivar a composta de funções o problema estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta g ◦ f em termos das derivadas de f e g, que são mais simples.

Teorema 4.2. Regra da Cadeia

Sejam f e g funções, tais que g ◦ f esteja bem definida. Se f é derivável em x e g é derivável em f(x), então g ◦ f é derivável em x e:

Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f(t), nas hipóteses do teorema, temos que:

4.5. DERIVADADAFUNÇÃOCOMPOSTA 173 dt = dy dx dx dt

Para a prova, veja o apêndice.

[2] Calcule dy

Pela regra da cadeia:

dt = dy dx dx

Pela regra da cadeia:

dx = dy du du

4.5.1 Teorema da Função Inversa

A seguir apresentamos um dos teoremas fundamentais em Matemática, o qual garante a existência da inversa derivável de uma função derivável. A prova deste teorema fica fora dos objetivos deste livro.

Teorema 4.3. (Função Inversa) Seja f uma função definida num intervalo aberto I. Se f é derivável em I e f′(x) 6= 0 para todo x ∈ I, então f possui inversa f−1 derivável e:

174 CAPÍTULO4. DERIVADA

Para a prova da primeira parte veja a bibliografia avançada. A fórmula pode ser obtida diretamente da regra da cadeia. De fato, (f ◦ f−1)(x) = x para todo x ∈ I. Derivando ambos os lados, temos que:

x2. Aplicando o teorema:

, para todos os valores de x tais que n√ x seja definida.

De fato, seja u(x) = xn; para n par, x > 0 e para n ímpar, x não tem restrições; a inversa de u é

4.6 Derivadas das Funções Elementares

4.6.1 Função Exponencial Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1 e u(x) = ax Então, ax+t − ax

t = ln(a)ax. Em particular, se a = e, temos :

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 175

Seja v = v(x) uma função derivável e considere a função: u(x) = av(x) Então:

O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função tem a propriedade Q′(t) = k Q(t), isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, isto é o que caracteriza a função exponencial.

Figura 4.15: A função exponencial em azul e sua derivada em vermelho; para 0 < a < 1 ea > 1, respectivamente

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função y = e−x2 no ponto de abscissa 1.

4.6.2 Função Logarítmica

Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1 e u(x) = loga(x) . Usando o teorema da função inversa para f−1 = u e f(x) = ax, temos que:

176 CAPÍTULO4. DERIVADA

Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de u(x) = loga(v(x)) onde v(x) > 0 é uma função derivável. Em tal caso:

Em particular, se a = e:

Figura 4.16: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para 0 < a < 1 e a > 1, respectivamente.

4.6.3 Algumas Propriedades (a) Para todo α ∈ R, se u(x) = xα, x > 0; então:

De fato, aplicando logaritmo à expressão y = u(x) = xα: temos, ln(y) = ln(u(x)) = αln(x); derivando:

ou seja, y′

x ; logo,

= αxα

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 177

(b) Seja y = [u(x)]v(x) , onde u(x) > 0. Aplicando logaritmo à expressão:

temos que, ln(y) = v(x)ln(u(x)). Derivando, temos:

Aqui α = 1

[2] Calcule a derivada de y = xe√ x

Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

Derivando: y′

xe√ x

[3] Calcule a derivada de y = x, x > 0. Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

[4] Calcule a derivada de y = x√ x, x > 0.

Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

[5] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = xx2 , (x > 0) no ponto de abscissa

Aplicando logaritmo a ambos os lados de y = xx2 , temos que: ln(y) = x2 ln(x); derivando,

178 CAPÍTULO4. DERIVADA

então, 1 = ln[ lim

Tabela Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 179

4.6.4 Funções Trigonométricas

onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Se y = cos(x), sabendo que cos(x) = sen( pi2 − x) e utilizando a regra da cadeia com u(x) = pi2 − x, temos:

Se y = tg(x), sabendo que tg(x) = sen(x) cos(x) e utilizando a regra do quociente, temos:

Tabela

Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se: [13] Se y = sen(u(x)), então y′ = cos(u(x))u′(x).

[1] Se y = sen(αx), α ∈ R. Fazendo u(x) = αx, temos u′(x) = α; utilizando a tabela, temos que y′ = αcos(αx). Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [2] Seja y = senβ(αx), onde α, β ∈ R − {0}.

Fazendo y = senβ(αx) = (sen(αx))β, derivando como uma potência e usando o exercício anterior, temos: y′ = β αsenβ−1(αx)cos(αx).

180 CAPÍTULO4. DERIVADA

Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [3] Seja y = tg(sen(x)). Fazendo u(x) = sen(x), temos u′(x) = cos(x); logo, temos que y′ = cos(x)sec2(sen(x)).

[4] Determine as retas tangentes ao gráfico de u = sen(x) que tenham o coeficiente angular igual a 1

Sabemos que se u(x) = sen(x), então u′(x) = cos(x); logo, devemos resolver a equação :

ou seja, cos(x) = 12, que tem soluções x = ± pi 3

+ 2kpi, onde k ∈ Z. As equações são:

[5] Determine os pontos onde o gráfico da função y = x + 2sen(x) possui reta tangente horizontal.

Devemos resolver a equação y′ = 0 ou, equivalentamente, cos(x) = −1 2 ; logo, os pontos tem

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 181

4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas Seja y = arcsen(x). A função arco seno, definida para x ∈ [−1,1] é a função inversa da função

2 ). Usando a fórmula do teorema da função inversa, temos: se y = f−1(x) = arcsen(x), ou seja, sen(y) = x, então:

Tabela Sejam u(x), v(x) funções diferenciáveis e k uma constante. Se:

4.6.6 Funções Hiperbólicas

As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem exponenciais. Por exemplo, seja y = senh(x) = 12 (ex − e−x); derivando, temos: y′ = cosh(x).

182 CAPÍTULO4. DERIVADA

Tabela Seja u(x) derivável. Usando a regra da cadeia, temos:

x , temos que cos (1x x sen (1x

Fazendo u(x) = 1x , temos y = arctg(u(x)); usando a tabela:

4.6. DERIVADASDASFUNÇÕESELEMENTARES 183

Fazendo u(x) = ln(x), temos y = sen(u(x)); usando a tabela:

Fazendo u(x) = cos(x−1x ), temos y = ln(u(x)); usando a tabela:

se x > e

[1] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à curva y = 1 x no ponto x = 2.

então x = 4. A altura do triângulo é igual a 1 e a base é igual a 4. Logo, a área do triângulo é: A = 2u.a.

[12] Uma partícula move-se ao longo da curva y = 1 − 2x2. Quando x = 3 a partícula escapa pela tangente à curva. Determine a equação da reta de escape.

184 CAPÍTULO4. DERIVADA

4.7 Derivação Implícita Seja F(x,y) = 0 uma equação nas variáveis x e y.

Definição 4.5. A função y = f(x) é definida implicitamente pela equação F(x,y) = 0, quando F(x,f(x)) = 0.

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