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Versão preliminar 3 de fevereiro de 2004

18. ONDAS I - ONDAS SONORAS2
A VELOCIDADE DO SOM2
PROPAGAÇÃO DE ONDAS SONORAS4
INTENSIDADE E NÍVEL DO SOM6
FONTES SONORAS MUSICAIS6
BATIMENTOS7
O EFEITO DOPPLER9
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS12
0112
0413
0513
0614
0714
1015
115
1216
1318
1619
“19”19
“20”20
3021
452
4623
“48”24
4825
4925
“50”26
5126
5427
528
“69”29

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18. Ondas I - Ondas sonoras

Ondas sonoras são familiares à nossa existência e faz parte de nosso cotidiano a convivência com corpos que produzem sons. Esses sons podem ser ruídos de choque entre dois corpos ou melodias produzidas por instrumentos musicais.

As ondas sonoras necessitam de um meio elástico para se propagarem, e não existe essa propagação no vácuo. Num sólido podemos ter ondas longitudinais ou ondas transversais. Como os fluidos (líquidos e gases) não suportam tensão de cisalhamento, apenas as ondas longitudinais se propagam neste meio.

A velocidade do som

As ondas se caracterizam por ser um transporte de energia, associado a uma oscilação da matéria. A energia se propaga através da interação de elementos de volume adjacentes. Como cada material se caracteriza por um arranjo específico da matéria, a interação entre os elementos de volume adjacentes se dá de um modo peculiar para cada material que consideremos. Por isso a onda sonora se propaga com uma velocidade dife- rente para cada meio. Em particular, a sua velocidade no ar a 200C é de vS = 343m/s .

Uma onda sonora se propaga numa sucessão de compressões e rarefações, e em cada material esses movimentos têm uma característica peculiar. Existe uma grandeza que dá conta dessas variações em um meio: é o módulo volumétrico da elasticidade B , que leva em conta a variação de pressão e a variação fracional de volume. Ele é definido como:

V pB e no limite quando ∆V → 0 , temos que

Outro modo de apresentar B é usando-se a densidade volumétrica de massa ρ = M/V ao invés do volume. Temos que ρρρρ ρ ddp VVMddpdVdddpdVdp logo dp dBdpdV

A velocidade do som em um meio elástico é dada por:

ρ Bv =

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Para deduzir a equação da velocidade do som, vamos considerar a propagação de um pulso em um tubo longo.

Consideremos um fluido de densidade volumétrica ρ e pressão P preenchendo o tubo desenhado ao lado. Num dado instante comprimimos esse fluido movimentando o êmbolo para á direita com velocidade u durante um inter- valo de tempo ∆t . O movimento do pistão é transmitido às moléculas do fluido pelas colisões que elas

v ∆t

t = t0 efetuam com o pistão e pelas colisões entre elas.

À medida que as moléculas colidem com a superfície do pistão, elas adquirem velocidades maiores que a média, transmitindo através dos choques essa propriedade para as moléculas adjacentes. A região hauchuriada comporta-se como um pulso propagando-se para a direita.

O impulso dado pelo pistão

ao volume representado pela área hauchuriada será igual à sua variação da quantidade de movimento, ou seja:

Impulso = I = F ∆t Mas

F = F1 - F2 = (p + ∆p)A - pA

F = ∆p A ou seja:

I = (A ∆p) ∆t

A variação da quantidade de movimento do volume perturbado é dado por:

variação da quantidade de movimento = ∆m v onde ∆m é a massa do fluido que entra em movimento depois de um intervalo ∆t em que aconteceu o movimento do êmbolo, ou seja:

∆m = ρ ∆V = ρ (u ∆t A)

Considerando que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento, temos que:

F ∆t = ∆m v⇒ ∆p = ρ v u

Mas o módulo da elasticidade é:

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∆V = VF - VI < 0 ∆V = - (u ∆t) A

V= (v ∆t) A logo:

ρ ρ Bvv uBuvpv

Atv AtuBV

Quando consideramos a propagação de uma onda como um processo adiabático, ou seja: a propagação é um evento tão rápido que não possibilita a troca de calor no meio, devemos considerar a equação de estado:

p Vγ = constante onde:

Diferenciando ambos os lados da equação de estado, temos que:

pdV dpVdVV pdpVpdVVdpV γγγ γγγ logo:

ργρ γ pBvpdV

Propagação de ondas sonoras

À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume elementar do fluido oscila em torno de sua posição de equilíbrio.

Os deslocamentos se realizam para direita e para esquerda sobre a direção x , na qual a onda se propaga.

De modo geral, uma onda progressiva s(x,t) que se propaga no sentido positivo do eixo x , tem a forma:

s(x,t) = f(x - vt)

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Considerando uma onda harmônica progressiva, temos que:

s(x,t) = sM cos(kx -wt)

Vamos considerar uma situação simplificada, mas sem perda de generalidade. Num ins- tante t1 = t0 dois elementos de volume estão nas suas respecti- vas posições de equilíbrio, e num instante posterior t2 = t0 + ∆t eles sofreram os deslocamentos de acordo com a equação anterior.

onde

x1 x2
s1s2

V = A ∆x ∆V = A ( s2 - s1) = A[s(x2 , t2) - s(x1 , t2)]

V VBp

Mas logo xA sAvV Vvp ∆ e no limite quando ∆x → 0 , teremos:

sBp 2ρ que nos fornece uma relação entre a posição s(x0 ,t) de um elemento de volume que tem a sua posição de equilíbrio em um ponto genérico x0 e a variação de pressão ∆p(x0 ,t) que está acontecendo nesse ponto x0 .

∆p = + ρ v2 k sM sen(kx - wt) onde podemos considerar a variação máxima de pressão ∆pM = ρ v2 k sM , teremos: ∆p = ∆pM sen(kx - wt)

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Intensidade e nível do som

A intensidade de uma onda é definida como a potência média transmitida por unidade de área. Quando no nosso cotidiano dizemos que o som está alto, estamos na realidade dizendo que é alta a intensidade som emitido pelo aparelho. Os músicos dizem que um som é alto quando a sua frequência é alta.

Mas a potência instantânea que atua em um elemento de volume pode ser definida com o produto da força por sua velocidade, ou seja:

t txspA txPt txspAt txstxFtxP ∂

()[] ()[] () wtkxswkvwtkxswwtkxpA txP

Pode-se mostrar que wtkx logo

Fontes sonoras musicais

Nós percebemos claramente a diferença de som quando ouvimos uma flauta e logo depois um trombone. Mesmo que os dois instrumentos estejam tocando a mesma nota musical. Isso acontece porque eles têm timbres diferentes.

Uma nota musical específica está associada com uma certa frequência, e a essa frequência corresponde um período determinado. A frequência da nota musical é caracterizada pela variação de pressão causada no ar durante um intervalo de tempo periódico. Pode ser um seno, um dente de serra, ou a variação específica de um instrumento.

Para a variação específica de um dado instrumento nós denominamos timbre.

Cada instrumento tem uma forma específica de produzir uma mesma nota musical, daí nós percebermos quando está sendo tocado uma flauta ou um trombone.

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Batimentos

Um tipo peculiar de interferência entre duas ondas acontece quando elas se propagam no mesmo sentido, têm mesma amplitude, mas as suas frequências w diferem ligeiramente. Como elas estão se propagando no mesmo meio elástico elas têm a mesma velocidade v de propagação e portanto k = w/v . Desse modo, se as frequências são próximas, isso também acontece com o número de onda k .

Vamos considerar as duas ondas do tipo:

y1(x,t) = yM cos(k1 x - w1 t) e y2(x,t) = yM cos(k2 x - w2 t) logo:

y(x,t) = y1(x,t) + y2(,x,t) y(x,t) = yM [ cos(k1 x - w1 t) + cos(k2 x - w2 t) ] Vamos definir algumas grandezas:

e k onde supomos que w1 > w2 e k1 > k2 . Por outro, como as frequências diferem ligeira- mente, estamos assumindo que w∆>> e k∆>> . Podemos colocar as equações anteriores na forma:

k e

+= twwxkktwwxkkytxy M 22cos 2

Considerando a identidade trigonométrica:

encontramos que

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Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 8 e se definirmos a amplitude de oscilação como A(x,t) , teremos

Como exemplo, estamos mostrando ao lado o gráfico em x = 0 , resultante da soma de duas ondas com amplitudes uni- tárias e frequência w1 = 20,94rad/s e w2 = 17,80rad/s .

Temos então que a diferen- w Tw w Tw π

Um batimento, ou seja um máximo de amplitude, ocorrerá sempre que a amplitude global apresentar um extremo: máximo ou mínimo.

Neste exemplo, o período de batimento será ∆T = 2s como se pode observar na figura, a frequência angular de batimento vale ∆w = 3,14rad/s e a frequência, ∆f = 0,5Hz .

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O Efeito Doppler

O som é um tipo de onda que necessita de um meio para se propagar. Quando estamos analisando a produção e a captação de uma onda sonora, estamos diante de três participantes: a fonte sonora, o meio onde ela se propaga e o observador que está captando as ondas. Temos então três referenciais bem definidos.

O tipo de onda captada dependerá de como a fonte e o observador se movem em relação ao meio de propagação da onda. Vamos considerar o meio parado em relação ao solo. Neste caso temos ainda três situações diferentes: a fonte se movimenta e o observador está parado; a fonte está parada e o observador está em movimento; a fonte e o observador estão em movimento. Nos três casos podemos ter uma aproximação ou um afastamento entre a fonte e o observador.

Fonte e observador em repouso

A fonte emite uma onda harmônica de frequência f e comprimento de onda λ . Vamos desenhar apenas as frentes de onda. As frentes de onda esféricas concêntricas viajam com velocidade v . Como todos os participantes (fonte, observador e meio) estão em repouso, o observador vai perceber uma onda exatamente do mesmo tipo que foi emitida pela fonte.

v = λ f

Observador

Como a fonte está em mo-

Fonte em movimento - observador em repouso vimento, as frentes de onda não são mais esferas concêntricas. Quando a fonte emitir a segunda frente ela já não estará mais na mesma posição de quando emitiu uma primeira onda.

Seja T é o período da onda

que a fonte está emitindo. Como a fonte está se aproximando do observador ele irá perceber uma distância λ' entre as frentes de onda menor que um comprimento de onda λ original, como pode-se

Observador

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Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 10 depreender pela figura ao lado. Se em um tempo T (período) uma frente de onda viajou uma distância λ = v T (comprimento de onda original), como a fonte se aproximou do observador de vF T , o observador perceberá um comprimento de onda λ' diferente do original:

λ' = λ - vF T ou seja:

λ' = v T - vF T = (v - vF)/f Mas λ' = v / f' onde f' é a frequência que o observador vai perceber nas circunstâncias atuais. Portanto:

f v vf

Quando a fonte estiver se afastando do observador em repouso, teremos uma situação semelhante a essa descrita, e encontraremos que:

λ' = λ + vF T ou seja:

λ' = v T + vF T = (v + vF)/f logo:

Quando a fonte está em repouso em relação ao meio a propagação se dará de

Fonte em repouso - observador em movimento modo a formarem-se frentes de ondas esféricas concêntricas.

Como a frequência é uma medida do número de frentes de ondas por unidade de tempo que atingem o observador, neste caso chegam a si f = v / λ frentes de onda por unidade de tempo. Se a frequência for f = 1Hz o período T = 1s , e atingirá o observador uma frente de onda por segundo. Se f = 0,5Hz teremos T = 2s e portanto atingirá o observador uma frente de onda a cada 2s , que é metade do número do caso anterior.

Se o observador se aproxima da fonte com velocidade vo , ele irá de encontro às

frentes de onda, encontrando vo /λ mais frentes de onda por unidade de tempo que se estivesse em repouso. Desse modo, o número de frentes de onda por unidade de tempo f' que ele encontra será:

f v v f

Quando o observador estiver se afastando da fonte em repouso, teremos uma situ-

ação semelhante a essa descrita, e encontraremos que:

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Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 1 f v v f

Quando o observador estiver se afastando da fonte em repouso, teremos uma situação semelhante a essa descrita, e encontraremos que:

Fonte e observador em movimento

Quando fonte e observador estiverem em movimento teremos uma combinação dos resultados anteriores.

sedoafaseriorsinal seoaproximanderiorsinal v v f Fo tan:inf

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Solução de alguns problemas

Capítulo 18 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição a)Uma regra para encontrar a sua distância de um relâmpago é contar quantos segundos se passam, desde a visão do raio até ouvir o trovão e, então, dividir o número por cinco. O resultado é por suposição, a distância em milhas. Explique o funcionamento dessa regra e determine a porcentagem de erro a 200C .

vL = 3x108m/s = 300.0.0m/s vS = 343m/s = 767,291mi/h

Considerando a propagação do som do trovão, temos que:

RaioObservador

d = vS tS e considerando a propagação da luz do relâmpago, temos que:

d = vL tL

O observador percebe os dos fenômenos com uma diferença de tempo ∆t dada por:

LS LS v dtvdv dttt

Mas como vL >> vS , teremos:

SSL L v

Considerando a distância em milhas e a velocidade em milhas por hora, temos:

∆ d d d E b)Desenvolva uma regra semelhante para obter a distância em quilômetros. Considerando a distância em metros e o tempo em segundos, temos

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∆ d d d E

Capítulo 18 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

04Uma coluna de soldados, marchando a 120 passos/min , segue a música da banda à frente do pelotão. Observa-se que os soldados atrás da coluna avançam com o pé esquerdo, enquanto os músicos da banda avançam com o pé direito. Qual o tamanho da coluna, aproximadamente? f = 120passos/min = (120/60)passos/s ou seja:

f = 2Hz⇒ T = 0,5s

Os componentes da banda estão defasa-

BandaPelotão

dos de meio período em relação aos soldados que marcham no fim da coluna. A diferença de tempo ∆t é dada por:

∆t = T/2 = 0,25s O tamanho d do pelotão será, então:

onde vS = 343m/s é a velocidade do som no ar. Logo d = 85,75m

Capítulo 18 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

05Terremotos geram ondas sonoras na Terra. Ao contrário do que ocorre em um gás, podem ser geradas ondas longitudinais (P) e ondas transversais (S) em um sólido . A velocidade das ondas S é aproximadamente vS≅ 4,5km/s e as ondas P aproxima- damente vP ≅ 8,0km/s . Um sismógrafo registra as ondas S e as ondas P de um terremoto. As primeiras ondas P aparecem ∆t = 3min antes das primeiras ondas S.

Supondo que as ondas viajam em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto?

Vamos chamar de L a distância entre o ponto onde aconteceu o terremoto e a posição do observador; tS o tempo para uma onda S percorrer esta distância e tP o tempo para uma onda P percorrer esta distância.

vS = 4,5km/s vP = 8km/s ∆t = 3min = 180s

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Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 14 v L v Lttt v Lt v Lt km v v tL

Capítulo 18 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

06A velocidade do som em um certo metal é vM . Em uma extremidade de um longo tubo deste metal de comprimento L , se produz um som. Um ouvinte do outro lado do tubo ouve dois sons, um da onda que se propaga pelo tubo e outro que se propaga pelo ar.

a)Se vS é a velocidade do som no ar, que intervalo de tempo ∆t ocorre entre os dois sons?

L = vM tM = vS tS

MS MS v

LvLv Lttt b)Suponha que ∆t = 1s e que o metal é ferro, encontre o comprimento L .

∆t = 1s vS = 343m/s vM = 5.941m/s mL v v tL

Capítulo 18 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

07Uma pedra é jogada num poço. O som da pedra se chocando com a água é ouvido ∆t = 3s depois. Qual a profundidade do poço?

Vamos considerar que h é a profundidade do poço, tP é o tempo gasto para a pedra chocar com a água no fundo do poço e tS é o tempo necessário para o som da colisão subir até a boca do poço. Logo temos que ∆t = tP + tS . Por outro lado:

logo

() () P SSPS SSP t gvg tv t v tv

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Cap 18 w.fisica.ufpb.br/~romero 15 tv t vt SPS P

Resolvendo, temos que:

Como o temo é positivo, escolhemos a primeira solução tP = 2,88s . Desse modo, temos que:

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