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o b j e t i v o s

Pré-requisito

Meta da aula

Função de onda e Equação de Schrödinger

Introduzir a função de onda e a Equação de Schrödinger.

• obter informação sobre um sistema microscópico, a partir da função de onda.

Para uma melhor compreensão desta aula, é preciso que você reveja o conceito de equações em derivadas parciais, tais como a equação de ondas, vista na Aula 1 de Física 2B.

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Introdução à Mecânica Quântica | Função de onda e Equação de Schrödinger

Vimos, nas aulas do Módulo 1 desta disciplina, que as partículas microscópicas, como os elétrons, não se movem seguindo as leis clássicas do movimento, dadas pela Mecânica Newtoniana. Essas partículas, porém, seguem outras leis que parecem ser mais apropriadas para a propagação de ondas. Isso ficou claro, de forma qualitativa, na Aula 2, na qual vimos surgir um padrão de interferência, quando um feixe de elétrons passa através de uma fenda dupla. Neste módulo, iniciaremos um estudo quantitativo da dinâmica das partículas quânticas, por meio de seus postulados e de sua formulação matemática precisa. Afinal, quais são as leis que regem o movimento das partículas microscópicas?

Vamos considerar uma partícula microscópica (por exemplo, um elétron) que se movimenta em três dimensões. Vamos aceitar, como postulado, que o estado dessa partícula, em um instante de tempo t, é completamente definido por uma quantidade complexa chamada função de onda, e indicada pelo símbolo Ψ(x,y,z,t), em que (x,y,z) são as coordenadas espaciais.

O que queremos dizer com a expressão “estado de uma partícula”? Na mecânica clássica, o estado de uma partícula é conhecido por meio de sua posição e de sua velocidade em um determinado instante. Este conhecimento, somado ao conhecimento da força (ou, se preferirem, da energia potencial) que atua sobre esta partícula, permite a descrição completa da sua trajetória subsequente através da integração da 2ª Lei de Newton. Já um movimento ondulatório, como vimos no Módulo 1, será totalmente conhecido, se soubermos a dependência espacial e temporal da função de onda. Por exemplo, no caso de ondas na superfície da água, vimos que uma função de onda apropriada era a altura do nível da água. Note que, no caso das partículas quânticas, a descrição matemática é muito mais parecida com a das ondas do que com a das partículas clássicas.

Como vimos na Aula 1 de Física 2B, no caso de ondas clássicas, a função de onda é a solução de uma equação em derivadas parciais conhecida como equação da onda. Então, é razoável supor que a função de onda de uma partícula quântica deve também satisfazer a uma equação de onda. Que equação é esta? Veremos a seguir.

Suponha que a partícula quântica tenha massa m e se mova sob a influência de uma energia potencial V(x,y,z,t). Postula-se, então, que a função de onda satisfaça à seguinte equação em derivadas parciais:

(4.1) i m x y z

V x,y,z,th

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em que, sendo h a constante de Planck.

Esta é a famosa Equação de Schrödinger, proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger (Figura 4.1), em 1926. Note que essa equação parece um pouco mais complicada que a equação da onda clássica que conhecemos. Mas não se preocupe, em breve você estará bastante familiarizado com ela.

Figura 4.1: O físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961), que, por seu trabalho de 1926, no qual propôs a equação que ganhou seu nome para a descrição da dinâmica das partículas quânticas, foi agraciado, juntamente com o físico inglês Paul Dirac, com o Prêmio Nobel de Física de 1933.

Notem que estamos postulando que o estudo de um sistema microscópico consiste em encontrar a função de onda ψ, a qual satisfaz a Equação de Schrödinger. A única justificativa para a descrição da Física Quântica ser baseada nessas suposições é que elas funcionam. Em outras palavras, a Física Quântica baseada nessas suposições descreve corretamente todos os fenômenos aos quais tem sido aplicada. Existem, na literatura, apresentações da Equação de Schrödinger como sendo derivada da equação de onda, fazendo, com isso, diversas considerações que tentam mostrar a sua plausibilidade. Nós preferimos, entretanto, tratá-la como de fato ela é: um postulado. Não é possível chegar à Física Quântica a partir da Física Clássica apenas por uma argumentação lógica!

A partir de agora, vamos nos restringir ao caso unidimensional, em que x é a única coordenada. Além de levar a uma maior simplicidade, esse caso será suficiente para estudar a maioria das aplicações que consideraremos neste curso. No caso unidimensional, a Equação (4.1) se escreve:

(4.2)

Vemos imediatamente que, pelo fato de ser solução de uma equação complexa em derivadas parciais, a função de onda será necessariamente uma função complexa. Este fato será discutido no próximo item. A função de onda Ψ(x,t) é uma função contínua e, sempre que o potencial V(x,t) for finito, com derivada também contínua.

i x,t t m x,t

V x,t x,th

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Antes de começarmos a resolver a Equação de Schrödinger em situações específicas, o que será feito nas próximas aulas, vamos entender melhor o significado da função de onda. Até o momento, ela parece apenas como uma quantidade abstrata. Será mesmo assim? Bem, vemos que, pelo fato de a função de onda ser uma quantidade complexa, ela não pode ser medida diretamente por nenhum instrumento físico. Isso significa que não há um sentido físico imediato para essa função! Portanto, vamos deixar bem estabelecido que, de fato, a função de onda de um sistema nada mais é do que uma representação matemática abstrata do estado do sistema. Ela somente tem significado no contexto da teoria quântica. Então, de que nos serve esta função? Podemos utilizá-la, de alguma forma, para descrever o mundo físico?

Max Born, em 1926, postulou que a densidade de probabilidade p(x,t) de se encontrar a partícula na posição x, no instante t, poderia ser obtida a partir da função de onda pela relação:

,(4.3)
uma regiãono instante t é dada por:
(4.4)

de modo que a probabilidade de encontrarmos a partícula em

é garantido pelo fato de queé real e positivo.

Note que esta é apenas uma versão matematicamente mais precisa do que encontramos em nossos experimentos de fenda dupla descritos na Aula 2. Esse resultado é conhecido como “interpretação probabilística da função de onda”. Como toda probabilidade que se preza, P[a,b] deve ser real e positiva, qualquer que seja o intervalo considerado. Isto Lembre-se: é o módulo ao quadrado de um número complexo! Além disso, a probabilidade deve ser normalizada, ou seja, a probabilidade de se encontrar a partícula em qualquer região do espaço, num dado instante de tempo, deve ser igual a 1:

Figura 4.2: O físico alemão Max Born (1882-1970), que formulou a interpretação probabilística da função de onda e, por isso, foi agraciado com o Prêmio Nobel de Física de 1954.

P a,b x,t dx a

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normalizada. Em três dimensões, a relação correspondente é

Esta condição é conhecida como “normalização da função de onda”. Toda função de onda que se preza deve estar devidamente

Figura 4.3: Energia potencial e função de onda em t = 0 do estado de mais baixa energia do poço infi nito.

1. Vamos exercitar alguns conceitos associados à interpretação probabilística da função de onda? A Figura 4.3 mostra, em t = 0, a função de onda do chamado estado fundamental (o estado de energia mais baixa) do poço de potencial infi nito. O poço infi nito é aquele em que a energia potencial é zero numa certa região (no caso mostrado na Figura 4.3, em –a /2 < x < a / 2) e infi nita em todo o resto do espaço. Trata-se de uma idealização, mas é muito útil para estudar os poços de potencial encontrados na natureza. Veremos, nas próximas aulas, como resolver a Equação de Schrödinger para o poço infi nito, mas este não é o nosso foco no momento. Conhecemos a solução e vamos trabalhar um pouco com ela.

A função de onda do estado fundamental é a seguinte:

em que E é a energia da partícula no referido estado e A é um número real chamado de “constante de normalização”, a ser determinado.

dx dy dz x,y,z,t e a x ax

axa2 ou 2

– a/2a/2 x

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Introdução à Mecânica Quântica | Função de onda e Equação de Schrödinger a. Usando o postulado de Born, obtenha a densidade de probabilidade p(x,t) de se encontrar a partícula em um ponto qualquer do eixo x, no instante t. Verifique que esta densidade é real e positiva.

c. Ache a probabilidade de se encontrar a partícula na metade direita do poço (x > 0).

a. Para calcular a densidade de probabilidade, basta usar o postulado de Born. Assim, obtemos

Como um cosseno ao quadrado é sempre real e positivo, a densidade de probabilidade também é real e positiva. Note ainda que a densidade é máxima na origem.

b. A condição de normalização é imposta da seguinte forma:

Assim, podemos obter a constante A:

c. A probabilidade de encontrarmos a partícula na metade direita do poço é dada pela Equação (4.5):

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