Biomecanica basica para fisioterapeutas

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Bertolo BIOFÍSICA PARA FISIOTERAPIA 1

CAPÍTULO 2

APLICAÇÕES DA MECÂNICA CLÁSSICA NO CORPO HUMANO: Forças, Equilíbrio e Leis de Newton.

2.1 Vetores

Algumas grandezas físicas exigem, para a sua perfeita caracterização, apenas um valor numérico acompanhado de uma unidade (u). Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Assim, grandezas físicas, como massa, comprimento, tempo, temperatura, densidade e muitas outras, são classificadas como grandezas escalares.

Por outro lado, existem grandezas físicas que, para a sua perfeita caracterização, exigem, além do valor numérico acompanhado da unidade, uma direção e sentido. Tais grandezas recebem o nome de grandezas vetoriais. Como exemplo de grandezas vetoriais podemos citar: força, impulso, quantidade de movimento, velocidade, aceleração e muitas outras.

2.1. 1 Vetores

As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático denominado vetor. Um vetor reúne, em si, o módulo, representando o valor numérico ou intensidade da grandeza, e a direção e sentido, representando a orientação da grandeza.

É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: um conjunto de retas paralelas têm a mesma direção

Retas horizontais
reta horizontal para a direita
reta horizontal para a esquerda

e a cada direção, podemos associar uma orientação ou sentido

A B
módulo: representado pelo comprimento do segmento AB
vetor adireção: reta determinada pelos pontos A e B

A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento de reta orientado (direção e sentido) com uma determinada medida (módulo). a sentido: de A para B (orientação da reta AB).

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AB

Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas abaixo a ou AB a origem extremidade

Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das seguintes notações:

assim, a indica o vetor ae a indica o módulo do vetor a.

a ou a

2. 1. 2 Vetores Iguais e Vetores Opostos

ab
a = b (módulos iguais)
a = ba e b são paralelos (mesma direção)
a e b possuem o mesmo sentido

Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

a

Dois vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e sentidos contrários b

a = b (módulos iguais)
a = - ba e b são paralelos (mesma direção)
a e b possuem sentidos contrários

2. 1. 3. Representação de Grandezas Vetoriais

Na prática, a representação de grandezas vetoriais é feita por meio de vetores desenhados em escala, Assim, para representarmos vetorialmente a velocidade de uma partícula que se desloca horizontalmente para a direita a 80 km/h, utilizamos um segmento de reta por exemplo, com 4- cm de comprimento, onde cada centímetro corresponde a 20 km/h.

escala 1,0 cm: 20 km/h

2.1. 4 Adição de Vetores

Para a adição de vetores, vamos, inicialmente, definir vetor resultante:

“Vetor resultante ou vetor soma, de dois ou mais vetores, é o vetor único que produz o mesmo efeito que os vetores somados”.

Para a determinação do vetor resultante, ou seja, para efetuarmos a adição vetorial de dois ou mais vetores, podemos utilizar três métodos, denominados:

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b) regra do paralelogramo

a) regra do polígono c) regra das componentes vetoriais

A - Regra do Polígono

Para efetuarmos a adição de vetores pela regra do polígono, escolhemos, arbitrariamente, um dos vetores como ponto de partida e traçamos os vetores seguintes, colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a extremidade do 1º e assim sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O vetor soma (S) ou resultante (R) é determinado pela origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor traçado As figuras abaixo representam a adição dos vetores a, b, c dados a b c θ

a
Rb
c

O vetor resultante θ

Na determinação do vetor resultante R acima, iniciamos a adição vetorial pelo vetor a, em seguida traçamos o vetor b, e finalmente, o vetor c O vetor R foi determinado pela origem do vetor a e pela extremidade do vetor c. A s figuras a seguir nos mostram que, qualquer que seja a ordem adotada: a + b + c; b + c + a ou a + c + b; o vetor resultante será o mesmo.

Rb R
Ba

c c a Para as três figuras acima, temos:

R = a + b + c

Exemplo 1 Dados três vetores a, b e c, sendo:

a = 40 u, horizontal para a direita b = 30 u, vertical para baixo e, c = 80 u, horizontal para a esquerda.

Determine o vetor resultante:

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Resolução

Rb
θc

Traçamos os vetores a, b e c pela regra do polígono a θ Para determinarmos o módulo do vetor R e o ângulo θ, aplicamos:

R2 = 402 + 302 tg θ= (30/40) ⇒θ= arc tg (3/4) = 37º R = 50 u

Portanto, o vetor resultante possui módulo de 50 u e se encontra no 3º quadrante a 37º com a horizontal. B - Regra do Paralelogramo

Esta regra é utilizada para a adição de dois vetores. Assim, dados dois vetores a e b, em módulo, direção e sentido, conforme a figura abaixo:

aβ
αb

a determinação do vetor soma ou resultante é obtida do seguinte modo:

• traçamos os vetores a e b com as origens coincidindo no mesmo ponto; • pela extremidade do vetor a, traçamos no segmento pontilhado paralelo ao vetor b pela extremidade do vetor b, um segmento pontilhado paralelo ao vetor a; • vetor resultante tem origem coincidente com as origens dos vetores a e b e extremidade no ponto de cruzamento dos segmentos pontilhados.

θR

Casos Particulares

a b

1º) Os vetores a e b possuem mesma direção e sentido (θ = 0º) R

2º ) Os vetores a e b possuem mesma direção e sentidos contrários (θ = 180º) a b

O módulo do vetor R é dado por: R2 = a2 + b2 + 2. a . b. cos θ sendo θ o ângulo entre os vetores a e b

Bertolo BIOFÍSICA PARA FISIOTERAPIA 5 R 3º) Os vetores a e b são perpendiculares entre si (θ = 90º)

aR R2 = a2 + b2

O valor máximo para a adição de dois vetores é obtido quando os dois vetores possuem a mesma direção e sentido,

Rmáx = a + b E o valor mínimo, quando os dois vetores possuem a mesma direção e sentidos contrários,

Rmín = a – b

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