funções, Notas de estudo de Engenharia Florestal

Baixe funções e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Florestal, somente na Docsity! FUNÇÕES Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso hotmail.com Matemática | Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL: Conceito, domínio, funções crescentes e decrescentes, pontos de máximo e mínimo, estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações. Funções lineares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. EMENTA Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Exemplo Ao considerar uma função, o próximo número obtido ao adicionar 4 ao quadrado do número anterior. Qual número desta função esta associado a 3 ??? O número associado ao 3  32 + 4 ou 13 Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Variáveis Ao escrever uma formula matemática é comum representar número conhecido por x e o número “novo” por y e estabelece uma equação que relaciona x e y. y = x2 + 4 x = variável independentey = variável dependente Notação Escolhemos uma letra por exemplo f para representar a função e chamamos de f(x) ao invés de y, o valor que associa a x. Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem Desporto favorito (f) Carlos Rau Pedro Beatriz Carla Juc a Tênis Voleibol Xadrez Cartas Futebol pesca Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Proporcionalidade Aplicação: Solução Quando fatores ambientais impõem um limite superior ao seu tamanho, a população cresce a uma taxa que é simultaneamente proporcional ao seu tamanho atual e à diferença entre o seu tamanho atual e esse limite superior. Expresse a taxa de crescimento populacional em função do tamanho da população. p = Tamanho da população R(p) = Taxa correspondente de crescimento populacional b = Limite superior imposto à população pelo ambiente R(p) = kp(b – p) k = constante de proporcionalidade Diferença entre população e limite = b – p 0 b p R(p) Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem Determine: Custo total de produção de um saco de ração (s) é dado pela seguinte função: C(s) = 1/10 s3 – 3s2 + 50s + 20 a) Calcule o custo de produção de 10 sacos de ração; b) Calcule o custo de produção da 9º saco de ração. Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem Definir o domínio a) f(x) = 1/(x – 3)  Todos valores reais maior ou igual a 2  Qualquer valor real exceto o 3. b) g(x) = Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem Se f(x) se 5/(x – 2) + 4(x – 2)3, encontre g(u) e h(x) tais que f(x) = g[h(x)] g(u) = 5/u + 4u3 Onde a expressão x – 2. Por exemplo, f(x) = g[h(x)], onde e h(x) = x - 2 Obs: Há infinitos pares de funções g(u) e h(x) que se combinam para produzir g[h(x)] = f(x) f (x) = 5/ + 4( )3 Ex: g(u) = 5/u + 1 + 4(u + 1)3 e h(x) = x + 3 Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem Um estudo ambiental de uma certa comunidade sugere que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será c(p) = 0,5p + 1 partes por milhão (ppm) quando a população é p mil. É estimado que t anos a partir de agora a população da comunidade será de p(t) = 10 + 0,1t 2 mil. b) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 6,8 ppm? a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo. Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Domínio Imagem a) c[p(t)] = c(10 + 0,1t 2) c[p(t)] = 0,5(10 + 0,1t 2) + 1 c[p(t)] = 6 + 0,05t2 b) c[p(t)] igual a 6,8 ppm e resolva para t. c(p) = 0,5p + 1 e p(t) = 10 + 0,1t 2 6 + 0,05t2 = 6,8 0,05t2 = 0,8 t2 = 0,8/0,05  t = 4 esta é a função que expressa o nível de monóxido de carbono no ar com uma função da variável t Obs. 4 anos a partir de agora o monóxido de carbono será 6,8ppm Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL PONTOS EXTREMOS Os extremos de uma função são os pontos onde a imagem de um objeto pode ser maior ou menor em relação a outros pontos da função. Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL PONTOS DE MÁXIMO PONTOS EXTREMOS Máximo absoluto: É a variável de imagem mais elevada de uma função; Máximo relativo: É o ponto mais elevado de uma reta, que pode ser máximo absoluto ou não. Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL PONTOS EXTREMOS Mínimo absoluto: É a variável de imagem mais pequena de uma função; Mínimo relativo: É o ponto localizado mais abaixo numa reta. PONTOS DE MÍNIMO Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LINEARES Na prática, freqüentemente a taxa segundo a qual uma quantidade varia em relação a outra é constante. Exemplo: Análise de regressão Em geral, denomina-se função linear aquela cujo o valor se modifica a uma taxa constante em relação à sua variável independente. Isso ocorre porque o gráfico da função linear é uma reta, ou seja, f(x) = a0 + a1x Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FORMA INCLINAÇÃO-INTERSEÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA f(x) = ax + b  y = mx + b y = variável dependente m = coeficiente angular da reta b = constante COEFICIENTE ANGULAR É dado pela razão entre variação de y e x , ou seja, m = ∆y / ∆x Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FORMA INCLINAÇÃO-INTERSEÇÃO DA EQUAÇÃO DA RETA Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LINEARES COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA Taxa de variação = coeficiente angular da tangente Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LINEARES COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA Tangente à curva y = f(x) Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 Faltas N o ta fi n a l FUNÇÕES LINEARES FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA Modificação sofrida pela ordenada y de um ponto pertencente à reta, quando a abscissa x sofre o acréscimo de uma unidade. m = –3,924 e b = 105,667 Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I Pode-se escrever a equação de uma reta como y = mx + b, onde m é a inclinação da reta e b, o intercepto y. Assim, a reta de regressão é: A inclinação m é: E o intercepto y é: Uma equação que descreva a relação entre as variáveis x e y. Essa equação chama-se reta de regressão ou reta do ajuste ótimo. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I 180 190 200 210 220 230 240 250 260 1,5 2,0 2,5 3,0 Investimento em publicidade = um resíduo (xi,yi) = um ponto de dados R e c e it a = um ponto na reta com o mesmo valor de x é um mínimo FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 Faltas N o ta fi n a l m = –3,924 e b = 105,667 A reta de regressão é: Note que o ponto = (8,143, 73,714) está na reta. 3,924 105,667 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES POLINOMIAL Dois polinômios são ditos idênticos se os coeficientes das parcelas de mesma potência são todos iguais. m + n = 2m 3n = - 6 4p = - 4 Determine os valores de m, n e p para que os polinômios: A(x) = (m + n)x2 + 3nx – 4 e Q(x) = 2mx2 – 6x + 4p Identidades de Polinômios Solução: m = - 2 n = - 2 p = - 1 solução verificar Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES POLINOMIAL O polinômio identicamente nulo é aquele no qual todos os coeficientes são nulos, ou seja, a = 0. Polinômios Identidades Nulo Para todo x pertencente IR. y = f(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 = 0 Obs: O domínio de toda função polinomial é IR Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES POLINOMIAL O polinômio identicamente nulo é aquele no qual todos os coeficientes são nulos, ou seja, a = 0. Polinômios Identidades Nulo Para todo x pertencente IR. y = f(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x3 + 0x2 + 0x + 0 = 0 Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES EXPONENCIAIS Expoente racional fracionário Sendo a um número real positivo (a > 0 ) e m e n números inteiros e positivos, define-se: REVISÃO DE POTENCIAÇÃO Resolva: 32/3; 102/3; (-3 : 4)3/2; (5)-3/4; (1,5) -3/4 Convenciona-se que a0 = 1, com a ≠ 0 Expoente zero Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES EXPONENCIAIS REVISÃO DE POTENCIAÇÃO Propriedade Regra am . an = am + n Repete-se a base e soma-se os expoentes. am / an = am – n Repete-se a base e subtraem-se os expoentes. (am )n = am . N Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes. (a . b)n = an + bn Eleva-se cada fator ao expoente comum. (a / b)n = an / bn Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente comum. Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES EXPONENCIAIS •Característica •D = IR •Im = IR * + •f é crescente •A curva passa pelo ponto (0, 1) •Característica •D = IR •Im = IR * + •f é decrescente •A curva passa pelo ponto (0, 1) x Y -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 x Y -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 f(x) = 2x ou 2x f(x) = (1/2)x ou (1/2)x Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Consideramos função logarítmica f(x) = log 1/2x: x Y 8 -3 4 -2 2 -1 x Y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 x Y 1 0 2 1 4 2 8 3 x Y 1 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 Consideramos função logarítmica f(x) = log 2x:  x > 0 Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LOGARÍTMICAS De acordo com gráficos Prof. Nerio Ap. Cardoso e-mail: neriocardoso@hotmail.com Matemática I FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Sentido da desigualdade se conserva Sentido da desigualdade se inverte