Funções Trigonométricas e Inversas

Funções Trigonométricas e Inversas

(Parte 1 de 2)

Funções Trigonométricas: Arcos e Ângulos:

Definição: Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes, chamadas arco de circunferência.

Se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é o ponto, chamado arco nulo, e o outro é a própria circunferência, denominado arco de uma volta.

Medidas de Arcos:

Para medirmos dois arcos AB e CD usamos duas unidades: o grau e o radiano.

Grau (símbolo o ): Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte mede 1o . Ou seja, um arco de medida 1o equivale a um arco unitário

1 da circunferência.

Radiano (símbolo rad): é um arco unitário que tem comprimento igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Ou seja, dizer que um arco AB que mede 1 rad, é equivalente a dizer que “esticando” o arco sua medida é igual a medida do raio da circunferência que o contém.

Ciclo Trigonométrico:

Definição: Consideremos um sistema cartesiano ortogonal uOv, e uma circunferência de raio r =1, com origem no ponto A(1,0), e cujo sentido positivo, é o sentido anti-horário, a partir de A. Essa circunferência é denominada ciclo trigonométrico. Como o comprimento de uma circunferência qualquer é dado por r2C, temos que o comprimento dessa circunferência é igual a 2rad, que equivale a 2, já que rad1r.

Vamos definir uma aplicação de IR sobre , de tal forma que, a cada número real x associemos um único ponto P da circunferência , da seguinte maneira:

Se x = 0, então P coincide com A(1,0);

Se x > 0, então realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marcamos P como ponto final do percurso.

Se x < 0, então realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento |x|, no sentido horário, e marcamos P como ponto final do percurso.

Desta forma, temos que a cada número real x, é possível associar a sua imagem P no ciclo trigonométrico . Assim, temos:

é BA imagem de 2

A imagem de 2 é B

A imagem de é AA imagem de é A

Notemos ainda que, se P é a imagem do número 0x, então P é também a imagem dos números:

,4x,2x,4x,2x,x00000 etc. De uma forma geral , P é a imagem dos elementos do conjunto:

Funções Circulares: Considerando ZZk, temos:

Se x pertence ao 1º quadrante, então k22 xk20;

Se x pertence ao 2º quadrante, então k2xk22 ;

Se x pertence ao 3º quadrante, então k2 2

Se x pertence ao 4º quadrante, então k22xk2 2

Observação: No que segue, utilizaremos a notação 1OP e 2OP, para representar, respectivamente, a ordenada e a abscissa de um ponto P, na circunferência trigonométrica.

Seno e Cosseno de um número real:

Dado um número real x, seja P a sua imagem no ciclo , como mostra a figura:

Definição: Denominamos seno de x, e indicamos por )xsen(, a ordenada 1OP.

Definição: Denominamos cosseno de x, e indicamos por )xcos(, a abscissa 2OP.

Função Seno:

A função IRIR:f, que associa a cada número real x, o também real 1OPxsen, representada por f(x)=sen(x), denomina-se função seno. O quadro abaixo mostra algumas características dessa função:

Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco

Sinal + + – – Variação 10 01 10 01 crescente decrescente decrescente crescente

Gráfico: O gráfico dessa função é uma curva denominada senóide.

Propriedades:

Em relação à função f(x)= sen(x), temos que: 1)O D(f) = IR e Im(f) = [–1,1].

2)Sempre que somamos 2 a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, dizemos que o seu período é 2, ou seja, .ZZke)f(Dx,)x(f)k2x(f

3)A função f é ímpar, visto que sen(–x) = –sen(x) .

u x

4)f é contínua em seu domínio. Função Cosseno:

A função IRIR:f, que associa a cada número real x, o também real 2OP)xcos(, representada por f(x)=cos(x), denomina-se função cosseno. O quadro abaixo mostra algumas características dessa função:

Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco

Sinal + – – + Variação 01 10 01 10 decrescente decrescente crescente crescente

Gráfico: O gráfico dessa função é uma curva denominada cossenóide.

Propriedades:

Em relação a função f(x)= cosx, temos que: 1)O D(f) = IR e Im(f) = [–1,1]. 2)A função f é periódica e seu período P é 2. 3)A função f é par, visto que cosx = cos(–x). 4)f é contínua em seu domínio.

Relação entre o seno e o cosseno:

Para todo x real , vale a relação: 1)x(cos)x(sen22 .

Prova:

a) Se 2 k x, ZZk , a imagem de x é distinta de A, B, A e B. Então existe o triângulo retângulo OP2P. Portanto, x P1 v B

A u

OPOPOP, ou seja, 1)x(cos)x(sen22 .

b) Se 2 k x, ZZk, então:

x sen(x) cos(x) sen2(x) + cos2(x) 0 0 1 1

Função Tangente:

Definição: Dado um número real x, k2 x, ZZk , seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x, e indicamos por tg(x), a medida algébrica do segmento AT, conforme mostra a figura ao lado.

A função IRD:f que associa a cada número real x, k2 x, o real AT)x(tg, é denominada função tangente, e representada por f(x)= tg(x).

Notemos que , para k2 x, P está sobre B ou B , e então, a reta OP fica paralela ao eixo das tangentes, logo, não existe o ponto T. Neste caso a tg(x) não é definida.

Em relação a função f(x)= tg(x) , temos:

Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco

Sinal + – + – Variação 0 0 0 0 crescente crescente crescente crescente

Gráfico: O gráfico dessa função é uma curva denominada tangentóide.

P2 u v t

B x

Propriedades:

2)A função tangente é periódica , e seu período é . 3)A função tangente é ímpar, já que tg(–x)= –tg(x). 4)f é contínua em seu domínio.

Relação entre tangente, seno e cosseno:

Para todo x real, k2 x, ZZk, vale a relação: )xcos(

Prova:

a)Se ZZk,kx, a imagem de x é distinta de A, B, A e B. Então, temos:

2(1)

Analisando o sinal , temos:

Quadrante Sinal de tg(x) Sinal de

De (1) e (2) concluímos que )xcos( b) Se ZZk,kx, temos: )xcos(

Função Cotangente:

Definição: Dado um número real x, kx, ZZk , seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja H sua intersecção com o eixo das cotangentes. Denominamos cotangente de x, e indicamos por cotg(x), a medida algébrica do segmento BH, conforme mostra a figura ao lado.

P2 u v t x A

P2 u v c x A

A função IRD:f que associa a cada número real x, kx, o real coBHtgx, é denominada função cotangente, e representada por f(x)= cotg(x).

Notemos que , para kx, P está em A ou Ae então, a reta OP fica paralela ao eixo das cotangentes, logo, não existe o ponto H. Neste caso, a cotg(x) não é definida. Em relação a função f(x)=cotg(x) , temos:

Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco

Sinal + – + – Variação 0 0 0 0 decrescente decrescente decrescente decrescente

Gráfico:

Propriedades: 1) ZZk,kx;IRx)f(D e Im(f)=IR.

2)A função cotangente é periódica , e seu período é . 3)A função cotangente é ímpar e contínua em seu domínio.

Relação entre cotangente, seno e cosseno:

Para todo x real vale a relação: )xsen(

Prova:

a)Se k2 x, a imagem de x é distinta de A, B, A e B.Então,

Analisando o sinal, temos:

P2 u v c x A

Quadrante Sinal de cotg(x) Sinal de

Por (1) e (2), concluímos que : )xsen( b) Se k2 x, temos: )xsen(

Função Secante:

Definição: Dado um número real x, ZZk,k2 x. Seja P a sua imagem no ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere S a interseção da reta s com o eixo dos cossenos. Denominamos secante de x, e indicamos, sec(x), a abscissa OS do ponto S.

A função IRD:f que associa a cada número real x, k2 x, o real OS)xsec(, é denominada função secante, e representada por f(x)= sec(x).

Notemos que , para k2 x, P está em B ou Be então, a reta s fica paralela ao eixo dos

cossenosNeste caso, não existe o ponto S e a sec(x) não é definida.

Em relação a função f(x)=sec(x) , temos:

Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco

Sinal + – – + Variação 1 1 1 1 crescente crescente decrescente decrescente

Propriedades:

2)A função secante é periódica , e seu período é 2. 3)A função f é par e contínua em seu domínio.

P2 u s A x A

Gráfico:

Relação entre sec(x) e cos(x):

Para todo x real, ZZk,k2 x, vale a relação : )xcos(

)xsec(

Prova: a)Se kx, a imagem de x é distinta de A, B, A e B.Então,

Analisando o sinal, temos:

Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x) 1º + + 2º – – 3º – – 4º + +

Por (1) e (2), concluímos que : )xcos( b) Se kx, então: )xcos(

1 1)xsec(, se k for par ou

1 1)xsec(, se k for ímpar.

Função Cossecante:

Definição: Dado um número real x, ZZk,kx. Seja P a sua imagem no ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere C a interseção da reta s com o eixo dos senos. Denominamos cossecante de x, e indicamos, cossec(x), a ordenada OC do ponto C.

A função IRD:f que associa a cada número real x, kx, o real OC)xsec(cos, é denominada função cossecante, e representada por f(x)= cossec(x).

Notemos que , para kx, P está em A ou Ae então, a reta s fica paralela ao eixo dos senos.

Neste caso, não existe o ponto C e a cossec(x) não é definida. Em relação a função f(x)=cossec(x) , temos:

Quadrante 1º 2º 3º 4º Arco

Sinal + + – – Variação 1 1 1 1 decrescente crescente crescente decrescente

Gráfico:

2)A função cossecante é periódica , e seu período é 2. 3)A função f é ímpar e contínua em seu domínio.

P1 u s A x A

Relação entre cossec(x) e sen(x):

Para todo x real, ZZk,kx, vale a relação : )xsen(

)xsec(cos

a)Se k2 x, então a imagem de x é distinta de A, B, A e B.Logo,

1(1)

POP~OPC 1

Analisando o sinal, temos:

Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x) 1º + + 2º + + 3º – – 4º – –

Por (1) e (2), concluímos que : )xsen( b)Se k2 x, então: )xsen(

1 1)xsec(cos, se k for par ou

1 1)xsec(cos, se k for ímpar.

Outras relações entre as funções trigonométricas:

Para todo x real, 2 k x, valem as relações:

)x(gcotb))x(sec1)x(tg22 c))x(seccos)x(gcot122

c) )x(seccos

Funções Trigonométricas Inversas:

Função Inversa:

Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função injetora , se, para todo 21xx em D, temos )x(f)x(f21 em R.

Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função sobrejetora , se, para todo Ry , existe um Dx tal que y = f(x).

Definição: Uma função f com domínio D e contradomínio R é uma função bijetora , se é injetora e sobrejetora, isto é, se, para todo Ry , existe um único Dx tal que y = f(x).

Exemplos:

a)f(x)= x2 não é bijetora, visto que, f(2) = f(–2) e 2, por exemplo. b)f (x) = x3 é uma função bijetora.

Graficamente, temos que, se qualquer reta horizontal interceptar o gráfico da função f em mais de um ponto , então f não é bijetora.

Se f é uma função bijetora com domínio D e contradomínio R, então, para cada número y em R, existe exatamente um número x em D tal que y = f(x). Como x é único, podemos definir uma função g de R em D tal que x = g(y), como mostra a figura.

Definição: Seja f uma função bijetora com domínio D e contradomínio R. Uma função g com domínio R e contradomínio D é a função inversa de f, desde que a seguinte condição seja satisfeita:

y = f(x) se, e somente se, x = g(y).

Se uma função g é a função inversa de f então são válidas: a) g(f(x)) = x , para todo x em D; b) f(g(y)) = y , para todo y em R.

Uma função bijetora f só pode ter uma função inversa. Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g. Dizemos que f e g são funções inversas uma da outra. Costumamos representar g por 1f. O –1 usado nessa notação não é expoente, isto é, )x(f temos:

domínio de 1f = contradomínio de f. ; contradomínio de 1f = domínio de f ; x))x(f(f1 para todo x no domínio de f; x))x(f(f1 para todo x no domínio de 1f.

Há uma relação interessante entre os gráficos de duas funções inversas. Notemos que, b=f(a) equivale a )b(fa1. Assim, o ponto (a,b) pertence ao gráfico de f, enquanto que, (b,a) pertence ao

reta y = xIsto é característica de toda função f que tem uma função inversa 1f. A figura abaixo

gráfico de 1f. Com isso, temos que os gráficos de f e 1f são reflexões um do outro em relação à mostra os gráficos de duas funções inversas:

Teorema: Se f é contínua e crescente em [a,b], então f admite uma função inversa 1f que é contínua e crescente em [f(a), f(b)]. (O mesmo vale substituindo crescente por decrescente ).

Funções Trigonométricas Inversas:

Como as funções trigonométricas não são bijetoras, não admitem funções inversas. Mas, restringindo convenientemente os seus domínios, podemos obter funções bijetoras que tenham os mesmos valores das funções trigonométricas e que tenham funções inversas nesses domínios restritos.

A inversa da Função Seno:

Sabemos que o domínio da função seno é o conjunto IR e o conjunto imagem é o intervalo [–1,1] .

Mas essa função não é bijetora, visto que , uma reta como 2

1 y intercepta o gráfico em mais de um ponto. Restringindo o seu domínio a 2,2, como mostra a parte sólida do gráfico, obtemos uma função crescente que toma cada valor da função seno somente uma vez. Esta nova função, com domínio 2,2 e contradomínio [–1,1], é contínua e crescente, logo, admite uma função inversa, que também é contínua e crescente.

Esta função inversa tem domínio [–1, 1] e contradomínio 2,2.

Definição: A função inversa do seno, denotada arcsen , ou 1sené definida como: y = arcsen(x) se, e somente se, x = sen y, para 2y2e1x1.

Gráfico:

Assim, temos:

Se 2

1 arcseny, então ysen e 2y2 . Logo, 6

Se 2

1 arcseny, então ysen e 2y2 . Logo, 6

Propriedades do arcsen(x):

Das relações x))x(f(f1 e x))x(f(f1, válidas para qualquer função inversa 1f, decorrem as seguintes propriedades:

1) sen(arcsenx)=x , se 1x12) arcsen(senx)=x , se 2x2

Exemplos:

2 arcsensen, pois 1

b) 6 senarcsen , pois 262 ;

3 arcsen

4 senarcsen, pois

não está entre 2e2 , logo, não podemos usar a propriedade 2 acima.

A inversa da Função Cosseno:

Restringindo o domínio da função cosseno ao intervalo ,0, obteremos uma função contínua decrescente que tem uma função inversa contínua e decrescente. Observe a parte sólida do gráfico abaixo.

Definição: A função inversa do cosseno, denotada arccos, ou cos-1 , é definida como: y = arccos(x) se, e somente se, x = cos y, para y0e1x1.

O domínio da função arco cosseno é [–1,1] e o contradomínio é o intervalo ,0. Gráfico:

Assim, temos:

Se 2

3 arccosy, então ycos e y0. Logo, 6 y.

Se 2

1 arccosy, então

1 ycos e y0. Logo,

Propriedades do arccos(x): Sendo cos e arccos funções inversas uma da outra, valem as seguintes propriedades:

1) cos(arccosx)=x , se 1x12) arccos(cosx)=x , se x0.

Exemplos:

2 arccoscos, pois 1

5 cosarccos , pois

arccos3 cosarccos, pois 3 não está entre e0, logo, não podemos usar a

propriedade acima.

A inversa da Função Tangente:

Restringindo o domínio da função tangente ao intervalo 2,2 , obteremos uma função contínua crescente que tem uma função inversa contínua e crescente.

Definição: A função inversa da tangente, denotada arctg, ou tg-1 , é definida como:

y = arctg(x) se, e somente se, x = tg y, para todo x e2y2.

O domínio da função arco tangente é IR e o contradomínio é o intervalo aberto 2,2 .

Gráfico:

Propriedades do arctg(x): São válidas as seguintes propriedades:

1) tg(arctgx)=x , para todo x2) arctg(tgx)=x , se 2x2

Exemplos:

3 tgarctg .

A inversa da Função Secante:

Existem muitas maneiras de restringir o domínio da função secante, de forma a obter uma função bijetora que tome os valores da função secante. Vamos restringir x aos intervalos 23,e2,0, conforme mostra a parte sólida do gráfico, por tornar a fórmula de diferenciação da função inversa da secante mais simples.

Definição: A função arco secante, denotada por arcsec (ou sec–1 ), é definida como: y = arcsec x se, e somente se, x = sec y para 1x e y em 23,emou2,0.

Gráfico:

1) sec(arcsecx)=x , se 1x2) arcsec(secx)=x , se

Propriedades do arcsec(x): 2

Exemplos: a)2)2sec(arcsec, pois | 2 |= 2 > 1.

7 secsecarc , pois

2 secsecarc.

Observação: As funções inversas da cotangente e cossecante, representadas por arccotg e arccossec, respectivamente, podem se definidas de maneira análoga, bastando restringir os domínios da seguinte forma:

o domínio da função cotangente ao intervalo ,0; o domínio da função cossecante ao intervalo 2 ,0,2

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