tensores e eletrodinâmica relativística

tensores e eletrodinâmica relativística

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Eletrodinâmica Relativística

Leandro Sodre Barreto*

Universidade Federal da Bahia *leosbarreto@yahoo.com

1I ntrodução

No desenvolvimento de uma descrição clássica de sistemas mecânicos, é comum se utilizar da equação de movimento de Newton, F = ma e desenvolve-la extraindo suas consequências. Como a discussão se torna mais detalhada na tentativa de descrever efeitos a altas velocidades, é necessário considerar as modificações fundamentais exigidas pela teoria da relatividade. Estas indicam que a equação de Newton é aproximadamente correta. Se uma descrição exata da mecânica é desejada, o uso explícito do formalismo relativístico é necessário.

Na descrição da mecânica clássica, em suas diversas formulações (Lagrange,

Newton, Hamilton) mostrou-se uma descrição bem sucedida do mundo macroscópico, seja uma descrição do movimento das partículas, ou uma descrição do movimento de ondas mecânicas. As equações que descrevem a mecânica são invariantes frente a uma conjunto de equações, conhecidas como transformações de Galileu, que no caso unidimensional

onde x representa a posição, v representa a velocidade e t representa o tempo. Estas equações indicam que uma mudança do sistema de referência que obedeça estas equações descrevem igualmente o sistema físico.

Com o surgimento e descrição dos fenômenos elétricos e magnéticos, e sua posterior unificação com a teoria eletromagnética, verificou-se que as transformações de Galileu, ou grupo de Galileu, não representavam adequadamente uma mudança para um outro referencial inercial. Na abordagem da mecânica clássica, tratamos com a condição que v ¿ c, onde negligenciamos a existência do termo relativístico na equação e, usualmente não é indicado que a equação de movimento é uma equação, de um modo geral, aproximadamente correta.

As equações de Maxwell e a equação da força de Lorentz são, de fato, equações corretas. A observação que a eletrodinâmica clássica é relativisti- camente correta é certamente, uma feliz circustância , na qual as muitas consequências desenvolvidas por Maxwell e seus seguidores, não exigem modificações para serem consistentes com a teoria da relatividade. No final do século XIX , diversos experimentos foram realizados a fimd et estarac onsistência das equações de Maxwell em sistemas de referência em movimento. O mais famoso foi o experimento de Michelson-Morley [1]. Este experimento indicou que não existe sistema de referência privilegiado para as equações de Maxwell. Neste contexto, a teoria da relatividade restrita foi desenvolvida especificamente para considerar este efeito.

Embora o formalismo da teoria da relatividade restrita tenha sido construído anteriormente por Poincaré, Lorentz e outros, foi Einstein que, em 1905, deu ênfase através de uma embasada descrição unificada da mecânica e da eletrodinâmica [1] com apenas dois postulados: (a) que todas as leis físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais; (b) que a velocidade da luz, no espaço livre, é uma constante universal e independe da velocidade da fonte. Usando estes postulados, Einstein foi capaz de construir uma bela teoria, que é um modelo de precisão lógica.

Para construirmos esta elegante unificação, será necessário usar elementos de análise vetorial em um espaço quadri-dimensional; operações com tensores são utilizadas para obter os resultados das equações do campo eletromagnético de maneira mais compacta e elegante, tornando as expressões mais simples de serem manipuladas. Além disso, utilizaremos cálculo variacional para obter as equações de campo a partir de uma formulação lagragiana do campo.

Desta forma, orientaremos o trabalho na seguinte sequência. Inicialmente faremos uma introdução ao cálculo tensorial [2], e posteriormente a descrição da eletrodinâmica relativística, onde tratremos as transformações de Galileu, Lorentz, e os aspectos pertinentes à eletrodinâmica relativística [3].

2 Introduçãoa oC álculo Tensorial

O entendimento da notação tensorial é um ponto fundamental para o para o tratamento relativístico da eletrodinâmica. Desta forma faremos uma introdução ao cálculo tensorial abordando aspectos gerais desta álgebra. Para tanto, nesta parte do trabalho faremos um estudo, em primeiro momento, sobre espaços vetoriais, suas propriedades, espaços euclidianos e suas propriedades. No segundo momento um tratamento sobre tensores, álgebra tensorial e suas propriedades e operações.

2.1 Conceito de um Espaço Vetorial 2.1.1 Definição de um Espaço Vetorial

Considere dois elementos x e y, e as seguintes propriedades sobre estes: i− o elemento adição tem as seguintes propriedades: a) x+y = y+x b) x+(y+z)= (x+y)+ z c) existe um elemento nulo tal que x + 0 = x d) Para todo elemento x existe um elemento negativo −x,t al que i− A multiplicação do elemento x por um escalar α tem as seguintes propriedades: a’ ) 1.x = x b’ ) α(βx)= (αβ)x c’ ) (α +β).x =αx+βx d’ ) α(x+y)= αx+αy Consideremos agora, um conjunto geral E de elementos arbitrários x,y,z,... que obedeçam as seguintes regras: 1- A cada par x,y, corresponde um elemento x + y tendo as propriedades a, b, ced . 2- A cada combinação de um elemento x e um elemento número real α, tendo as propriedades a’, b’, c’, e d’.

Dizemos entào que E é um espaço vetorial sobre o campo dos reais e que x,y,z,etc são vetores em E. Se ao invés de termos uma combinação de x com um número real, essa combinação for com um número complexo, dizemos que E é um espaço vetorial sobre o campo dos complexos. Vejamos um exemplo:

Considere o conjunto dos números complexos Z = a + ib, onde a e b são reais. A adição de dois complexos obedecem às propriedades a, b, c, d. Vemos também que a multiplicação de Z por um número real α obedece às propriedades a’, b’, c’, d’. Desta forma dizemos que os números complexos constituem um espaço vetorial sobre o campo dos reais

2.1.2 Subespaços Vetoriais

Definition 1 Um subespaço de um espaço vetorial E é qualquer parte, V, de E,t al que:

i− Se x,y ∈ V, e α é qualquer número real, então os vetores x + y e αx pertencem a V i− As propriedades comutativa, associativa e distributiva, aplicadas a E, também se aplicam a V. i− On úmero real α,p odes er zero,l ogo, V deve conter oe lementon ulo. iv− Se x ∈ V, temos que (−1)x = −x ∈ V. Assim, todo vetor tem um negativo em V.

Vemos então que V por si só é também um espaço vetorial. Vejamos um exemplo.

Ex.: O conjunto de vetores coplanares com dois dados vetores constitui um subespaço do espaço vetorial da geometria elementar.

2.2 Espaços Vetoriais n-Dimensionais 2.2.1 Based eu mE spaçoV etorial

Sejam x1,x2,...,xp,p vetores não nulos em um espaço vetorial E. estes vetores são ditos formar um sistema linearmente independente de ordem p,s e é impossível encontrar p números α1,α2,...,αp não nulos, tais que

α1x1 + α2x2 ++ αpxp =0 , (1)

Caso contrário o sistema de p vetores é dito linearmente dependente. De acordo com a eq.(1) é impossível escrever um destes p vetores como combinação linear dos p vetores.

Considere agora o conjunto de todos os sistemas de vetores linearmente independentes em E. Existem duas possibilidades: 1- Existem sistemas linearmente independentes de ordem arbitrariamente grande; 2- A ordem destes sistemas é limitada. No caso 2, é dito que o espaço tem dimensão finita. Chamaremos de base do espaço vetorial E qualquer sistema linearmente independente de máxima ordem

Seja x um vetor em E. Desejamos que o sistema seja linearmente dependente, logo, devemos ser capazes de screver algo do tipo

λx+α1e1 + α2e2 ++ αnen. =0 (2)

Para que isto conteça, devemos ter λ 6=0 . Assim, o sistema ei éu ms istema linearmente independente, já que não é possível escrever para os ei ae q.(1). Podemos ainda a partir da eq.(2), escrever

x =x1e1 + x2e2 ++ xnen,

isto é o vetor x escrito como combinação linear dos vetores ei, sendo esta combinção única pelos valores de λ e α,ou seja,

Theorem 2 Dada uma base de E, qualquer vetor x ∈ E pode ser escrito como combinação linear dos elementos dos vetores desta base.

Os números (x1,x2,...,xn) são chamados de componentes do vetor x na base

(e1,e2,...,en). On úmero n éd itos er ad imensão doe spaço vetorial em questão. A partir deste ponto, utilizaremos o termo En para denotar um espaço vetorial n-dimensional. Vejamos um exemplo:

No espaço vetorial usual, de 3 dimensões, uma base é formada por três vetores não coplanares de modo que um vetor x =(3,4,5) pode ser escrito em termos dos elementos desta base,

2.2.2 Mudança de Base

Ao estudarmos diferentes vetores em um espaço vetorial, estes diferirão uns dos outros pelas suas componentes em uma determinada base. Se, durante o processo, for necessário realizar uma mudança de base, devemos saber como as componentes se transformarão.

Para isto, considere duas bases distintas de um espaço vetorial En,

(e1, e2,, en) e (e10, e20, ..., en0).

Se podemos expressar um vetor qualquer em termos da base, podemos expressar os elementos de uma base como uma combinação linear da outra. Assim para o espaço plano de três dimensões

Onde os termos Ai j0 são os coeficientes de ej0 na base ei. Isto pode ser escrito na forma matricial, onde os termos Ai j0 representam os elementos de uma matriz.

Assim ⎡

ou ainda, de maneira mais compacta, ser representado na forma de um somatório,

Ai j0ei; e ei = onde Ai j0 são as componentes de ej0 na base ei; e Aj0i ac omponentes de ei na

Considere agora, um vetor x em En, com componentes xi na base ei ec om componentes xj0 na base ej0. Assim, escrevendo em termos das bases temos

x= nX i=1 xiei = como

Ai j0ei, ficamos com

x= nX

i=1 xiei =

Ai j0ei = xj0Ai j0ei, comparando a primeira soma com a última, temos xi = nX

Se escrevermos ei em temos de ej0, temos

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