tensores e eletrodinâmica relativística, Notas de estudo de Química Industrial

Baixe tensores e eletrodinâmica relativística e outras Notas de estudo em PDF para Química Industrial, somente na Docsity! Eletrodinâmica Relativística Leandro Sodre Barreto* Universidade Federal da Bahia *leosbarreto@yahoo.com March 19, 2010 1 Introdução No desenvolvimento de uma descrição clássica de sistemas mecânicos, é co- mum se utilizar da equação de movimento de Newton, F = ma e desenvolve-la extraindo suas consequências. Como a discussão se torna mais detalhada na tentativa de descrever efeitos a altas velocidades, é necessário considerar as modificações fundamentais exigidas pela teoria da relatividade. Estas indicam que a equação de Newton é aproximadamente correta. Se uma descrição exata da mecânica é desejada, o uso explícito do formalismo relativístico é necessário. Na descrição da mecânica clássica, em suas diversas formulações (Lagrange, Newton, Hamilton) mostrou-se uma descrição bem sucedida do mundo macros- cópico, seja uma descrição do movimento das partículas, ou uma descrição do movimento de ondas mecânicas. As equações que descrevem a mecânica são invariantes frente a uma conjunto de equações, conhecidas como transformações de Galileu, que no caso unidimensional x0 = x− vt t0 = t, onde x representa a posição, v representa a velocidade e t representa o tempo. Estas equações indicam que uma mudança do sistema de referência que obedeça estas equações descrevem igualmente o sistema físico. Com o surgimento e descrição dos fenômenos elétricos e magnéticos, e sua posterior unificação com a teoria eletromagnética, verificou-se que as transfor- mações de Galileu, ou grupo de Galileu, não representavam adequadamente uma mudança para um outro referencial inercial. Na abordagem da mecânica clás- sica, tratamos com a condição que v ¿ c, onde negligenciamos a existência do termo relativístico na equação e, usualmente não é indicado que a equação de movimento é uma equação, de um modo geral, aproximadamente correta. As equações de Maxwell e a equação da força de Lorentz são, de fato, equações corretas. A observação que a eletrodinâmica clássica é relativisti- 1 camente correta é certamente, uma feliz circustância , na qual as muitas con- sequências desenvolvidas por Maxwell e seus seguidores, não exigem modifi- cações para serem consistentes com a teoria da relatividade. No final do século XIX, diversos experimentos foram realizados a fim de testar a consistência das equações de Maxwell em sistemas de referência em movimento. O mais famoso foi o experimento de Michelson-Morley [1]. Este experimento indicou que não existe sistema de referência privilegiado para as equações de Maxwell. Neste contexto, a teoria da relatividade restrita foi desenvolvida especificamente para considerar este efeito. Embora o formalismo da teoria da relatividade restrita tenha sido construído anteriormente por Poincaré, Lorentz e outros, foi Einstein que, em 1905, deu ênfase através de uma embasada descrição unificada da mecânica e da eletro- dinâmica [1] com apenas dois postulados: (a) que todas as leis físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais; (b) que a velocidade da luz, no espaço livre, é uma constante universal e independe da velocidade da fonte. Usando estes postulados, Einstein foi capaz de construir uma bela teoria, que é um modelo de precisão lógica. Para construirmos esta elegante unificação, será necessário usar elementos de análise vetorial em um espaço quadri-dimensional; operações com tensores são utilizadas para obter os resultados das equações do campo eletromagnético de maneira mais compacta e elegante, tornando as expressões mais simples de serem manipuladas. Além disso, utilizaremos cálculo variacional para obter as equações de campo a partir de uma formulação lagragiana do campo. Desta forma, orientaremos o trabalho na seguinte sequência. Inicialmente faremos uma introdução ao cálculo tensorial [2], e posteriormente a descrição da eletrodinâmica relativística, onde tratremos as transformações de Galileu, Lorentz, e os aspectos pertinentes à eletrodinâmica relativística [3]. 2 Introdução ao Cálculo Tensorial O entendimento da notação tensorial é um ponto fundamental para o para o tratamento relativístico da eletrodinâmica. Desta forma faremos uma intro- dução ao cálculo tensorial abordando aspectos gerais desta álgebra. Para tanto, nesta parte do trabalho faremos um estudo, em primeiro momento, sobre es- paços vetoriais, suas propriedades, espaços euclidianos e suas propriedades. No segundo momento um tratamento sobre tensores, álgebra tensorial e suas pro- priedades e operações. 2.1 Conceito de um Espaço Vetorial 2.1.1 Definição de um Espaço Vetorial Considere dois elementos x e y, e as seguintes propriedades sobre estes: i− o elemento adição tem as seguintes propriedades: a) x+ y = y+ x b) x+ (y+ z) = (x+ y) + z 2 onde x1 = 3;x2 = 4 e x3 = 5. 2.2.2 Mudança de Base Ao estudarmos diferentes vetores em um espaço vetorial, estes diferirão uns dos outros pelas suas componentes em uma determinada base. Se, durante o processo, for necessário realizar uma mudança de base, devemos saber como as componentes se transformarão. Para isto, considere duas bases distintas de um espaço vetorial En, (e1, e2, ..., en) e (e10 , e20 , ..., en0). Se podemos expressar um vetor qualquer em termos da base, podemos expressar os elementos de uma base como uma combinação linear da outra. Assim para o espaço plano de três dimensões e10 = A 1 1e1 +A 2 1e2 +A 3 1e3, e20 = A 1 2e1 +A 2 2e2 +A 3 2e3, e30 = A 1 3e1 +A 2 3e2 +A 3 3e3. Onde os termos Aij0 são os coeficientes de ej0 na base ei. Isto pode ser escrito na forma matricial, onde os termos Aij0 representam os elementos de uma matriz. Assim ⎡⎣ e10e20 e30 ⎤⎦ = ⎡⎣ A11 A21 A31A12 A22 A32 A13 A 2 3 A 3 3 ⎤⎦ . ⎡⎣ e1e2 e3 ⎤⎦ , ou ainda, de maneira mais compacta, ser representado na forma de um so- matório, ej0 = nX i=1 Aij0ei; e ei = nX j0=1 Aj0i ej0 , onde Aij0 são as componentes de ej0 na base ei; e A j0 i a componentes de ei na base ej0 . Considere agora, um vetor x em En, com componentes xi na base ei e com componentes xj 0 na base ej0 . Assim, escrevendo em termos das bases temos x = nX i=1 xiei = nX j0=1 xj 0 ej0 , como ej0 = nX i=1 Aij0ei, ficamos com x = nX i=1 xiei = nX j0=1 xj 0 nX i=1 Aij0ei = nX i,j0=1 xj 0 Aij0ei, 5 comparando a primeira soma com a última, temos xi = nX ,j0=1 Aij0x j0 . Se escrevermos ei em temos de ej0 , temos xj 0 = nX i=1 Aj 0 i x i. 2.3 Dualidade 2.3.1 Formas Lineares (acrescentar exemplo) Seja En um espaço vetorial de n dimensões e suponha que a cada vetor x de En, corresponda uma quantidade F (x). Sendo x,y ∈ En, se eles obedecem às regras de composição F (x+ y) =F (x) + F (y) e F (αx) = αF (x) , onde α é um número real, dizemos que F (x) é uma forma linear definida em En. Se ei são elementos da base de En, um vetor qualquer pode ser escrito como x = nX i=1 xiei, teremos então F (x) = nX i=1 xiF (ei) , ou ainda F (x) = nX i=1 aix i, ai = F (ei) . 2.3.2 A Convenção do Somatório de Einstein A fim de facilitar e simplificar a representação das equações, Einstein introduziu uma convenção para representar o somatório sobre os índices. Definida como segue. Definition 3 Quando, em um mesmo termo, o mesmo índice aparecer duas vezes, uma como sobrescrito e outra como subscrito, implica em uma soma sobre todos os valores deste índice, a menos que algo contrário seja explicitado. 6 Desta forma, a regra para componentes de um vetor quando este é escrito em outra base, xi = nX i=1 Aijx j , fica escrito da seguinte forma: xi = Aijx j . A partir deste ponto, utilizaremos esta convenção para a soma. 2.3.3 Espaços Duais Considere o conjunto de formas lineares definidas em En, e as diferentes formas serão denotadas por y∗, z∗, .... Considere também duas regras de composição: i. Se y∗ (x) = y∗i x i e z∗ (x) = z∗i x i diremos que y∗ (x) + z∗ (x) = (y∗i + z ∗ i )x i; ii. Se α é um número real, então αy∗ (x) = (αy∗)xi. Vemos então, que estas regras estão de acordo com as condições para um espaço vetorial, ou seja, o conjunto de formas lineares definidas em En constituem um espaço vetorial. Definition 4 O espaço vetorial E∗n das formas lineares definidas em En é chamado de espaço dual a En. Note que cada forma linear pode ser expresa de uma única maneira como uma combinação linear de xi, ou seja, xi constitui uma base de E∗n. Vemos então, que a cada base definida em En (ei) , definimos automatica- mente uma base em E∗n, já que x = x iei. Assim , por uma mudança de base em En, ej = A i jei, temos uma correspondente mudança de base em E∗n, já que as componentes x i sobre uma mudança de base fica xi = Aijx j , assim, chamaremos xi de base dual de ei. 7 O produto escalar é dado por x.y = xiyjei.ej = gijx iyj (3) ou ainda x.y =xjy j . (4) Além disso, sabemos que yj = gijyi. Assim, x.y = xj ¡ gjiyi ¢ = gjixjyi. (5) Como xi = gijxj , podemos escrever x.y = xiyi = xjy j . desta forma, a norma do vetor ficar representada por Nx = xix j . Note que pelas eq.(3,5) , o produto escalar também pode ser escrito somente em termos das componentes contravariantes, ou covariantes. 2.5 Conceito de um Produto Tensorial 2.5.1 Produto Tensorial de Dois Espaços Consideremos dois espaços vetoriais En e Fp de n e p dimensões respectiva- mente. Associado a estes espaços vetoriais considere um espaço de dimensão np denotado por En ⊗ Fp. Se x e y pertencem a En e Fp respectivamente, podemos construir uma correspondência entre o par (x,y) e um elemento do espaço En ⊗ Fp. Elemento esse denotado por x⊗ y. Esta correspondência tem as seguintes propriedades: (a) Se x,x1,x2 pertencem a En e y,y1,y2 a Fp, então, vale a propriedade distributiva em relação à adição: x⊗ (y1 + y2) = x⊗ y1 + x⊗ y2, (x1 + x2)⊗y = x1⊗y + x2⊗y (b) Se α é um escalar arbitrário, vale a propriedade associativa: αx⊗ y = x⊗ αy =α (x⊗ y) . 10 (c) Se (x1,x2, ...,xn) e (y1,y2, ...,yn) são duas bases de Ene Fp respectiva- mente, os np elementos xi ⊗ yα, (i = 1, 2, ..., n; α = 1, 2, ..., p) de En ⊗ Fp formam uma base neste espaço. Quando estas condições são respeitadas dizemos que o espaço vetorial En⊗Fp é o produto tensorial dos espaço vetoriaisEn e Fp, e que os elementos x⊗ y é o produto tensorial dos vetores x e y. 2.5.2 Expressão Analítica para o Produto Tensorial de Dois Vetores Vejamos como as três propriedades dadas acima permitem a formulação de uma regra de composição para os dois vetores x e y. Considere três bases (ei) , (fα) e (²iα) nos espaços vetoriais En, Fp e En⊗Fp, (i = 1, 2, ..., n; α = 1, 2, ..., p) . De acordo com (c) é possível escrever ei⊗fα = ²iα. (6) Supondo que x = xiei, (7) y = yαfα, (8) são dois vetores arbitrários pertencendo respectivamente a En e Fp, e fazendo o produto tensorial do lado direito das eq.(7,8) e usando as propriedades (a) e (b) temos x⊗ y =xiei⊗yαfα = xiyαei⊗fα = xiyα²iα, (9) Isso implica que xiyα são as componentes do produto tensorial x⊗ y na base iα. Por outro lado, a composição definida pela eq.(9) satisfaz (c)? Para verificar isto considere (xi) , (yα) duas bases arbitrárias de En e Fp. Escrevendo o vetor ei na base (xi) temos ek = a i kxi, analogamente fβ = b α βyα. Cada elemento T de En ⊗ Fp pode ser escrito como T =tiα²iα = t iαei⊗fα (10) como o índice sobre a soma é mudo, temos T = tkβek⊗fβ = tkβaikxi⊗bαβyα = tkβaikb α β (xi⊗yα) . Portanto, T pode ser escrito como combinação linear dos elementos (xi⊗yα) . Se T =0, a eq.(10) implica que tiα = 0, e o sistema de np elementos xi⊗yα é linearmente independente, o que mostra que (c) fica satisfeita. Expressando de maneira formal, temos: 11 Theorem 6 Se os espaços En, Fp, En⊗Fp são referidos a certas bases de acordo com a eq(6), então a única regra de composição que satisfaça a seção 1.5.1. é aquela na qual, um vetor x com componentes xi e um vetor y com componentes yα tem uma correspondência com o elemento de En⊗Fp com com- ponentes xiyα. 2.5.3 Produtos Tensoriais de Vários Espaços. Tensores. Considere três espaços vetoriais En, Fp,Gqcom dimensões n, p, q respectiva- mente. Se x ∈En, y ∈Fp e z ∈Gq, então o elemento x⊗ y de En⊗Fp pode ser multiplicado tensorialmente com o elemento z ∈Gq. O elemento(x⊗ y)⊗z de um espaço vetorial H é assim obtido. Assumindo que o mesmo elemento de H é obtido tomando o produto tensorial de x com y⊗ z, ou seja, (x⊗ y)⊗z = x⊗ (y⊗ z) (11) que representa a propriedade associativa do produto tensorial. Representamos o valor comum dos dois lados da eq.(11) por x⊗ y⊗ z e o espaço vetorial H será representado por En⊗Fp⊗Gq. Dado um número finito de r vetores dos espaços vetoriais En, Fp, Gq, ..., a definição dos seus produtos tensoriais segue imediatamente. Como cada ele- mento de En⊗Fp⊗Gq⊗... não é necessariamente o produto tensorial de r vetores pertencentes respectivamente à En, Fp, Gq, ..., formula-se a seguinte definição: Definition 7 Cada elemento do espaço vetorial En⊗Fp⊗Gq⊗... construído a partir dos espaços En, Fp, Gq, ..., é chamado um tensor. 2.6 Tensores Afins 2.6.1 Tensores Afins a um Referido Espaço Vetorial Dado um espaço n−dimensional En, é possível construir um produto tensorial de q espaços idênticos a En. O espaço vetorial obtido, terá nq dimensões e será denotado por E(q)n e representará a q− ésima potência tensorial de En. Sendo ei a base do espaço En, e ¡ ²i1i2...iq ¢ a base de E(q)n , adotamos a seguinte convenção que generaliza a eq.(6) , ei1 ⊗ ei2 ⊗ ei3 ...⊗ eiq = ²i1i2...iq . Se x(1),x(2), ...,x(q) representa quaisquer q vetores de En, com componentes xi1(1), x i2 (2), ..., x iq (q), temos então, x(1) ⊗ x(2) ⊗ ...⊗ x(q) = xi1(1)x i2 (2)...x iq (q)²i1i2...iq . (12) Considere agora, o espaço vetorial E∗n, com base x i, dual ao espaço En, com base ei. Partindo destes dois espaços podemos desenvolver a operação: realizar 12 Estas regras de transformações podem ser interpretadas tratando os espaços En e E (q) n nas suas respectivas bases ei, ¡ ei1 ⊗ ei2 ⊗ ...⊗ eiq ¢ e considerando um sistema de nq quantidades ti1i2...iq que se transforma de acordo com as eq.(23,24) ao passar de uma base ei, ¡ ei1 ⊗ ei2 ⊗ ...⊗ eiq ¢ , para uma base ej ,¡ ej1 ⊗ ej2 ⊗ ...⊗ ejq⊗ ¢ . Theorem 9 A fim de que as nq quantidades ti1i2...iq associadas à base dada¡ ei1 ⊗ ei2 ⊗ ...⊗ eiq ¢ do espaço E(q)n possam ser consideradas como componentes de um tensor contravariante é necessário e suficiente que o sistema se trans- forme de acordo com as eq.(23,24) sob uma mudança de base. Uma afirmação equivalente vale para as componentes de um tensor misto de qualquer tipo. 2.6.4 Um Padrão de Caráter Tensorial Mostraremos a partir dos resultados precedentes, um padrão de natureza ten- sorial que é de grande uso prático. Consideraremos, agora, o caso de um tensor puramente covariante. Theorem 10 Uma condição necessária e suficiente para um sistema de nq quantidades t i1...iq em relação à base ¡ xi1 ⊗ ...⊗ xiq ¢ do espaço E∗(q)n serem componentes de um tensor covariante é que para quaisquer vetores contravari- antes £ x(1),x(2), ...,x(q) ¤ com componentes xi(j), a quantidade t i1i2...iqx i1 (1)x i2 (2)...x iq (q) permaneça invariante sob uma mudança de base. Se t i1i2...iq são as componentes de um tensor covariante, elas se transfor- mam de acordo com a eq.(25). As componentes de q vetores contravariantes se transformam de acordo com as seguintes expressões xi1(1) = A i1 k1 xk1(1); ...;x iq (q) = A iq kq x kq (q). A partir daí deduzimos t i1i2...iqx i1 (1)x i2 (2)...x iq (q) = A j1 i1 ...A jq iq tj1...jqA i1 k1 xk1(1)...A iq kq x kq (q) = Aj1i1A i1 k1 ...A jq iq A iq kq tj1...jqx k1 (1)...x kq (q) = Aj1i1A i1 k1 ...tj1...jqx k1 (1)...x kq (q). Desde que Aj1i1A i1 k1 representam as componentes de ek em relação à ej , temos AjiA i k = δ j k = ½ 0, se j 6= k 1, se j = k. (27) O que representa uma diagonalização da matriz e a ortogonalização dos elemen- tos da base. Disto segue que t i1i2...iqx i1 (1)x i2 (2)...x iq (q) = tj1...jqx j1 (1)...x jq (q). (28) 15 2.6.5 Álgebra tensorial Vejamos algumas operações que permitem a formação de novos tensores a partir de outros já conhecidos. (a) Adição Tensorial. Dados dois tensores de mesma ordem e de mesmo tipo, sendo ambos perten- centes a E(q−2)n ⊗E∗(2)n , a adição gera um terceiro tensor de ordem q, e do mesmo tipo. Se dois tensores tem como componentes ti1i2...iq−2 iq−1iq e u i1i2...iq−2 iq−1iq , sua soma tem as componentes si1i2...iq−2 iq−1iq = t i1i2...iq−2 iq−1iq + u i1i2...iq−2 iq−1iq . (b) Multiplicação Tensorial Dados dois tensores de ordem q e q0 que são de qualquer tipo, seu produto gera um tensor de ordem q + q0. Se, por exemplo, dois tensores tem as compo- nentes ti1i2...iq−1 iq e uiq+1 iq+2...iq+q0 , então seu produto tem componentes pi1i2...iq−1 iqiq+1 iq+2...iq+q0 = ti1i2...iq−1 iq .uiq+1 iq+2...iq+q0 . 2.6.6 Contração de Índices Adicionalmente às duas operações indicadas acima, existe uma terceira, a con- tração de índices, que permite a derivação de novos tensores de ordem (q − 2) a partir de tensores de ordem q. Vejamos como proceder. Considere, primeiramente, um tensor misto de ordem 2 tendo como com- ponentes ti j . Mostraremos agora, que a quantidade ti i, obtida da soma de componentes com índices covariante e contravariante idênticos, é invariante em relação à mudança de base. Por uma mudança de base teremos ti i = Ahi A i kth k. Novamente devemos ter Ahi A i k = δ h k = ½ 0, se h 6= k 1, se h = k, o que resulta em ti i = tk k. Considere em seguida, um tensor misto de ordem q e escolhendo um par de índices, um contravariante e um covariante. A fim de simplificar a notação, sejam os dois primeiros índices do tensor ti1 i2 i3...iq . Seja i1 e i2 igual a i e somemos sobre seus repetidos índices. Mostraremos que as quantidades ti i i3...iq 16 obtidas são as componentes de um tensor de ordem (q − 2). Seja £ x(3), ...,x(q) ¤ (q − 2) vetores contravariantes. Em virtude dos resulta- dos da seção 2.6.4, as quantidades ti1 i2 i3...iqx i3 (3), ...,x iq (q) são componentes de um tensor misto de segunda ordem. Isto implica que para quaisquer vetores £ x(3), ...,x(q) ¤ a quantidade ti i i3...iqx i3 (3), ...,x iq (q) é invariante em relação a uma mudança de base, que demomstra o caráter tensorial de ti i i3...iq . A operação que consiste em igualar dois índices, um contravariante e outro covariante, e somar sobre seu valor comum, é chamada contração. A contração de dois índices em um tensor de ordem q dá origem a um tensor de ordem (q − 2) . 2.6.7 Multiplicação Contraída. Um Padrão Geral de Caráter Ten- sorial Frequentemente encontram-se produtos tensoriais onde os índices contraídos pertencem a diferentes fatores do produto. Chamaremos isto de multiplicação contraída. A contração pode, além disso, ser repetidas diversas vezes em tais circunstâncias. Se tijkl e umnr são componentes de dois tensores, seu produto tem como componentes pijkl mnr = tijkl.u mnr, e o tensor pijkl klr = tijkl.u klr é um de seus produtos contraídos, obtido pela contração dos índices m, k e n, l. O conceito da multiplicação contraída pode ser usado para especificar um padrão de caráter tensorial que generaliza o da seção 2.6.4. Isto pode ser melhor explicado usando um exemplo particular: A fim de que as quantidades tijkl em relação à base (ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el) sejam componentes de um tensor contravariante é necessário e suficiente que, para qualquer tensor covariante skl as quantidades tijklskl sejam componentes de um tensor contravariante. 2.6.8 Tensores Simétricos e Antisimétricos Um tensor contravariante de segunda ordem, cujas componentes em relação a uma dada base são tij , é dito simétrico em seus dois índices se tij = tji 17 O elemento de comprimento nos dois sistemas é dado por ds2 = X j dx2j = X j dx02j = ds02 (30) As equações de Newton nos dois sistemas são Fj = m .. xj = m .. x 0 j = F 0 j , j = 1, 2, 3 (31) Assim, a forma da equação de movimento é invariante sob uma transformação de Galileu. Como os termos individuais se transformam sob o mesmo esquema eles são ditos covariantes. Ebora as equações de Newton sejam covariantes sob as transformações de Galileu, as equações de Maxwell não são. Por exemplo, considere e equação de onda escalar para ondas eletromagnéticas: ∇2Ψ− 1 c2 ∂2Ψ ∂t2 = 0. (32) Por uma transformação de Galileu teríamos por diferenciação ∂2 ∂x21 = ∂2 ∂x021 ; ∂2 ∂x22 = ∂2 ∂x022 ; (33) ∂2 ∂t2 = ∂2 ∂t02 . no entanto dx3 = dx 0 3 + vdt o que leva em ∂ ∂x3 = ∂ ∂x03 + 1 v ∂ ∂t0 ou ainda para uma segunda derivada ∂2 ∂x23 = ∂2 ∂x 02 3 + 1 v2 ∂2 ∂t02 + 2 v ∂2 ∂x03∂t (34) assim,a eq(32) se transformam de acordo com as eq.(33,34)o que leva em ∇02Ψ− 1 c2 ∂2Ψ ∂t02 + 1 v2 ∂2Ψ ∂t02 + 2 v ∂2Ψ ∂t0∂x03 = 0, (35) 20 o que não descreve a propagação de uma onda eletromagnética da maneira prevista por Einstein. Assim, a eletrodinâmica não é consostente com a invar- iância de Galileu. As equações de Maxwell são covariantes somente sob uma particular transformação chamada de transformação de Lorentz. Vejamos esta transformação. 3.2 A transformação de Lorentz Historicamente a transformação de Lorentz foi introduzida antes do desenvolvi- mento da teoria da relatividade de Einstein. As equações, entretanto, podem ser obtidas com base em dois postulados fundamentias da relatividade. Se um pulso de luzé emitido de uma origem comum de dois sistems em movimento K e K0 quando eles são coincidentes, então de acordo com o segundo postulado, as frentes de onda observadas nos dois sistemas devem ser descritas porP3 j=1 x 2 j − c2t2 = 0P3 j=1 x 02 j − c2t2 = 0 ) (36) Se definirmos uma nova coordenada em cada sistema, x4 ≡ ict e x04 ≡ ict0 usando a notação para o somatório de Einstein com μ = 1, 2, 3, 4 podemos escrever a eq.(36) como xμx μ = 0 x0μx 0μ = 0 ¾ . (37) A partir destas relações, vemos que as duas somas devem ser proporcionais, e desde que o movimento seja simétrico entre os dois sistemas, a constante de proporcionalidade deve ser a unidade. Assim, xμx μ = x0μx 0μ. (38) Esta relação é análoga ao caso tridimensional, onde a distância se preserva nos sistemas por uma rotação ortogonal. Isto indica que a transofrmação que procu- ramos corresponde a uma rotação em um espaço quadridimensional (espaço de Minkowski). Portanto as transformações de Lorentz são transformações ortog- onais no espaço de Minkowski. Isto é x0μ = λ υ μxυ (39) onde λυμ são os elementos da matriz de transformação de Lorentz e obedecem à relação de ortogonalidade λυμλ σ υ = δ σ υ = ½ 1, μ = σ 0, μ 6= σ . (40) Teremos então a matriz λ de ordem quatro, da seguinte forma λ = ⎡⎢⎢⎣ λ11 λ 2 1 λ 3 1 λ 4 1 λ12 λ 2 2 λ 3 2 λ 4 2 λ13 λ 2 3 λ 3 3 λ 4 3 λ14 λ 2 4 λ 3 4 λ 4 4 ⎤⎥⎥⎦ (41) 21 Podemos montar então a equação matricial⎡⎢⎢⎣ x01 x02 x03 x04 ⎤⎥⎥⎦ = ⎡⎢⎢⎣ λ11 λ 2 1 λ 3 1 λ 4 1 λ12 λ 2 2 λ 3 2 λ 4 2 λ13 λ 2 3 λ 3 3 λ 4 3 λ14 λ 2 4 λ 3 4 λ 4 4 ⎤⎥⎥⎦ . ⎡⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤⎥⎥⎦ Analisemos os elementos de matriz. Temos então para a coordenada x01 usando a eq.(39) x01 = λ 1 1x1 + λ 2 1x2 + λ 3 1x3 + λ 4 1x4 como devemos ter x01 = x1 temos os elementos½ λ11 = 1 λ21 = λ 3 1 = λ 4 1 = 0 . De maneira análoga para a coordenda x02, encontramos½ λ22 = 1 λ12 = λ 3 2 = λ 4 2 = 0 para a coordenada x03 temos x03 = λ 1 3x1 + λ 2 3x2 + λ 3 3x3 + λ 4 3x4 como a coordenada x03 independe de x1 e x2, temos λ13 = λ 2 3 = 0. Ficamos então com a matriz λ = ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 λ33 λ 4 3 0 0 λ34 λ 4 4 ⎤⎥⎥⎦ (42) Analisando a relação de ortogonalidade λνμλ σ ν = δ σ μ temos, explicitamente λ1μλ σ 1 + λ 2 μλ σ 2 + λ 3 μλ σ 3 + λ 4 μλ σ 4 = δ σ μ fazenda μ = 1, temos λ11λ σ 1 + λ 2 1λ σ 2 + λ 3 1λ σ 3 + λ 4 1λ σ 4 = δ σ 1 utilizando a eq.(42) chegamos em λ1 2 1 = 1 que é um resultado já obtido. De maneira análoga chegamos em λ2 2 2 = 1 que também é um resultado já obtido. 22 Isto combinado com as eq.(48 e 50) resulta em λ43 = iβλ 3 3 = iβp 1− β2 = −λ34. (55) Podemos finalmente montar a transformação de Lorentz, dada pela matriz λ: λ = ⎡⎢⎢⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 γ iβγ 0 0 −iβγ γ ⎤⎥⎥⎦ , (56) onde, na notação usual, fazemos γ ≡ 1p 1− β2 . (57) Desta forma, as coordendas do espaço-tempo no sistema K0 são, utilizando as eq.(39,56) x01 = x1 x02 = x2 x03 = γ (x3 − vt) t0 = γ µ t− β c x3 ¶ . (58) Como desejado, estas equações se reduzem às equações de Galileu quando v → 0 (ou c→∞). 3.3 Velocidade, Momentum e Energia na Relatividade(joins) Para vetores tridimensionais, não é necessário distinguir componentes covari- antes de contravariantes, pois a métrica do espaço euclidiano possibilita isto. Como já dito, suas componentes serão representadas por índices latinos. Assim, pode-se simplificar a convenção do somatório de Einstein, considerando como soma sobre as componentes quando qualquer índice aparecer repetido no mesmo membro de uma equação No espaço quadri-dimensional, uma quantidade M é chamada um vetor (quadri-vetor) se ele é composto de quatro componentes Mμ, onde cada uma delas se transforma de acordo com a relação M 0 μ = λ ν μMν . (59) ou ainda M 0μ = λμνMν O vetor posição de um ponto no espaço de Minkowski é um vetor tal que X = (x1 , x2 , x3 , ict), 25 ou ainda X = (x, ict) (60) onde o termo x significa que as três componentes de X, são as componentes usuais do vetor posição x e a quarta componente é ict. De modo semelhante, o diferencial de X é um quadri-vetor dX =(dx, icdt) . (61) Assim, no espaço de Minkowski o elemento de comprimento quadridimensional é invariante, ou seja, seu valor não é afetado pelas transformações de Lorentz. ds = p dxμdxμ = q dxjdxj − c2dt2. (62) Além disso, a quantidade dτ = r dt2 − 1 c2 dxjdxj = i c p dxμdxμ (63) é invariante desde que ele é i c vezes o elemento de comprimento ds. A quantidade dτ é chamada o elemento de tempo próprio no espaço de Minkowski. A razão do quadrivetor dX com o invariante dτ é também um quadrivetor chamado quadri vetor velocidade U: U = dX dτ = µ dx dt , ic dt dτ ¶ . (64) Desta forma, as componentes da velocidade ordinária de uma particula são dadas por uj = dxj dt (65) de maneira que dτ pode ser expresso, usando a eq.(63) como dτ = dt r 1− 1 c2 dxjdx j dt2 = dt r 1− u 2 c2 . (66) Portanto U = ⎛⎜⎜⎝ ur 1− u 2 c2 , icr 1− u 2 c2 ⎞⎟⎟⎠ . (67) 26 Na mecânica Newtoniana o mementum de uma partícula é obtido pelo produto da massa com a velocidade. Podemos fazer a mesma relação em mecânica relativística, mas para que a "massa" da partícula seja de fato uma característica da partícula e não da velocidade em algum sistema de referência arbitrário, ela deve ser medida no sistema de referência de repouso, essa massa será chamada de massa de repouso da partícula e será denotada por mo. Desta forma, o quadrivetor momentum é P = ⎛⎜⎜⎝ mour 1− u 2 c2 , imocr 1− u 2 c2 ⎞⎟⎟⎠ . (68) Se definirmos m = mor 1− u 2 c2 (69) então as componentes de P são exatamente as mesmas do momentum p definido na mecânica Newtoniana pj = muj ; p4 = imc (70) Portanto, se desejamos interpretar o mementum da partícula de acordo com o senso comum, a massa não é invariante, como conhecemos na mecânica newto- niana, pois depende da velocidade do sistema de referência. Assim a formulação covariante do momentum leva imediatamente à variação da massa inercial com a velocidade, conforme indica a eq.(69) . Devemos, então analisar a equação de movimento, para isso tomaremos a derivada temporal do momentum. Assim F = d dt ⎛⎜⎜⎝ mour 1− u 2 c2 ⎞⎟⎟⎠ (71) onde F é o vetor força tridimensional. A relação relativística para energia pode ser encontrada observando que F.u é exatamente o trabalho realizado sobre a partícula que é igual a variação temporal da energia cinética. Logo, usando a eq.(71), F.u = dT dt = u. d dt ⎛⎜⎜⎝ mour 1− u 2 c2 ⎞⎟⎟⎠ , (72) 27 gradiente temos Grad ≡ ej ∂ ∂xj + e4 ∂ ∂x4 = ej ∂ ∂xj − i c e4 ∂ ∂t = eμ ∂ ∂xμ . (80) realizando o produto escalar do gradiente com ele mesmo, obtemos a versão quadridimensional do laplaciano, também conhecido como d’Alembertiano, de- notado por ¤2: ¤2 = ∂ 2 ∂xμ∂xμ (81) = ∂2 ∂xj∂xj − 1 c2 ∂2 ∂t2 = ∇2 − 1 c2 ∂2 ∂t2 . (82) Portanto, a equação de onda ∇2Ψ− 1 c2 ∂2Ψ ∂t2 = 0 (83) pode ser expressa por ¤2Ψ = 0 (84) A representação matemática do fato experimental de que a carga se conserva é dada pela equação de continuidade div j+ ∂ρ ∂t = 0 (85) Do ponto de vista relativístico, a densidade de corrente e densidade de carga não podem ser quantidades distintas e separáveis, desde que a distribuição de carga que é estática em um sistema de referência aparecerá como uma corrente de dis- tribuição em um referencial em movimento. Portanto agruparemos a densidade de corrente J e a densidade de carga ρ da seguinte maneira J = (j, icρ) . (86) Então, o produto escalar do operador gradiente quadridimensional e J é ∂Jμ ∂xμ = ∂Jj ∂xj + ∂ (icρ) ∂ (ict) = div j+ ∂ρ ∂t . 30 Assim, a equação de continuidade pode ser expressa na forma quadridimensional como Div J = 0 (87) Verifiquemos se J é um vetor quadirdimensional conforme estipulado na seção 3.3. No sistema de referência K, no qual a carga está em repouso, um elemento de carga dq é dado pelo produto da densidade de carga ρo e um elemento de volume dV : dq = ρodV Se a carga é conservada, então a carga dq vista do sistema K’, que está em movimento, permanecerá imutada, tal que dq = ρodV = ρdV 0 = dq0 (88) onde ρo e ρ são as densidades de carga nos sistemas K e K’ respectivamente. além disso, dV = dx1dx2dx3, em K dV 0 = dx01dx 0 2dx 0 3, em K’. se K’ se move ao longo do eixo x3 de K com velocidade v = (0, 0, v), com dx1 = dx 0 1, dx2 = dx 0 2, e de acordo com a eq.(58), dx 0 3 = dx3 p 1− β2. (a chamada contração de comprimento de FitzGerald-Lorentz) Portanto de acordo com a eq.(88), temos ρodV = ρdV 0 = ρdx1dx2dx3 q 1− β2 = ρdV q 1− β2 Assim ρ = ρop 1− β2 (89) Vemos então que a densidade de carga em um sistema em movimento se comporta de modo análogo à massa. Além disso vemos que a carga total se conserva na mudança entre os dois sistemas, e não a densidade de carga. como a densidade de corrente no caso não relativístico é dada por j =ρu, a quantidade J pode ser expressa por J = (j,icρ) = (ρu,icρ) = ρo à up 1− β2 , icp 1− β2 ! tal que J = ρoU. (90) 31 Desde que ρo seja um escalar invariante e U um quadrivetor, J possui as pro- priedades de transformação de U, logo J é um quadrivetor. Analisemos agora as propriedades do campo magnético através do potencial vetor. Sabemos que é bastante conveniente representar o vetor campo magnético B através do potencial vetor A. Sabemos que pelo fato de A não ser com- pletamente determinado pelo apenas pelo seu rotacional, temos a liberdade de escolher o valor de seu divergente, ou seja, um gauge para o potencial. Uma escolha é o gauge de Lorentz, no qual div A+ 1 c ∂Φ ∂t = 0. (91) Se definirmos Ă =(A, iΦ) (92) a condição de Lorentz fica expressa como Div Ă = 0. (93) No espaço livre, os potenciais A e Φ satisfazem à equação de onda não ho- mogênea: ∇2A− 1 c2 ∂2A ∂t2 = −4π c j (94) ∇2Φ− 1 c2 ∂2Φ ∂t2 = −4πρ. (95) Usando o quadrivetor potencial Ă e o quadrivetor densidade de corrente J fazemos ¤2Ă =¤2 (A, iΦ) , usando a eq.(81) temos ¤2Ă = ∙ ∂2A ∂x21 + ∂2A ∂x22 + ∂2A ∂x23 + ∂2A i2c2∂t2 , i µ ∂2Φ ∂x21 + ∂2Φ ∂x22 + ∂2Φ ∂x23 + ∂2Φ i2c2∂t2 ¶¸ = ∙ ∇2 − 1 c2 ∂2A ∂t2 , i µ ∇2 − 1 c2 ∂2Φ ∂t2 ¶¸ usando as eqs.(94, 95) temos ¤2Ă = µ −4π c j,− i4πρ ¶ = −4π c (j, icρ) ou, finalmente ¤2Ă = −4π c J. (96) Vemos então que Ă é de fato um quadrivetor, desde que J é um quadrivetor e o operador ¤2 é invariante sob as transformações de Lorentz. 32 Note que o segundo e terceiro termos do primeiro membro formam a componente 3 do rotacional de E.podemos então escrever (∇×E)3 + 1 c ∂B3 ∂t = 0. Assim, se fizermos algum dos índices λ, μ, ν igual a 4, então obtemos uma das componentes de ∇×E+ 1 c ∂B ∂t = 0. Portanto, encontramos que as duas equações homogêneas de Maxwell são rep- resentadas pela eq.(101). As duas equações não homogêneas podem ser obtidas a partir de ∂Fμν ∂xν = 4π c Jμ. (102) Considere μ = 1: 4π c J1 = ∂F1ν ∂xν = ∂F11 ∂x1 + ∂F12 ∂x2 + ∂F13 ∂x3 + ∂F14 ∂ (ict) = 0 + ∂B3 ∂x2 − ∂B2 ∂x3 − 1 c ∂E1 ∂t ou ainda 4π c J1 = (∇×B)1 − 1 c ∂E1 ∂t . Assim, generalizando temos (∇×B)− 1 c ∂E ∂t = 4π c J. Vejamos agora para μ = 4. 4π c J4 = ∂F4ν ∂xν = ∂F41 ∂x1 + ∂F42 ∂x2 + ∂F43 ∂x3 + ∂F44 ∂x4 = i ∂E1 ∂x1 + i ∂E2 ∂x2 + i ∂E3 ∂x3 + 0 = i µ ∂E1 ∂x1 + ∂E2 ∂x2 + ∂E3 ∂x3 ¶ ou ainda 4π ic J4 =∇.E usando a eq.(86) temos 4πρ =∇.E. Vemos então, que as quatro equações de Maxwell são reprsentadas por apenas duas equações envolvendo operações com as componentes do tensor de campo. 35 3.6 Radiação Emitida por uma Carga Acelerada Sabemos que a radiação produzida por cargas em movimento, somente pode ser produzida por cargas sob aceleração. Em particular a taxa de emissão de radi- ação para cargas movendo-se a baixas velocidades é proporcional ao quadrado da aceleração. Este resultado está mostrado na expressão para potência irradiada P = 2e2a2 3c3 , (103) onde e é a carga elétrica e a é a aceleração. Esta fórmula é válida apenas nos eventos em que a velocidades relativa entre carga e observador é pequena. Esta expressão é exata no sistema de referên- cia que está instantaneamente em repouso em relação à carga. Desde que a carga esteja acelerando, um referencial em repouso em relação à carga não é um referencial de Lorentz. 36 References [1] Lorentz, H. A. ; Einstein, A.; Minkowski, H.. O princípio da relatividade, 4a ed. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa 1989. [2] Lichnerowicz, A. Elements of Tensor Calculus. Methuen & Co Ltd. Londres, 1962. [3] Marion, J. B.. Classical Electromagnetic Radiation. 2nd ed. Harcourt College Pub, 1980. [4] Landau, L. D.; Lifshitz, E. M.. The classical Theory of Fields, 4th ed.. Elsevier Butterwoth-Heinemann, Londres, 1975 [5] Nussenzveig, H. M.. Curso de Física Básica,vol. 4.1a ed. Edgard Blucher, São Paulo, 1998. 37