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Calculo Avancado.

Tarcisio Praciano-Pereira Departamento de Matematica

Universidade Estadual Vale do Acarau

Sobral, 17 de junho de 2007 tarcisio@member.ams.org

O plano de trabalho.

Queremos sugerir-lhe um modo de usar este livro que se poderia se assemelhar ao de um hipertexto 1. A ultima parte do livro e um ındice remissivo alfabetico em que todas as palavras-chave do texto se encontram alı listadas com referencia as paginas em que elas se encontram. Verifique agora, por exemplo, Fourier, ou vetor, e voce vera a lista das paginas em que estas palavras se encontram pelo menos alguma vez com uma definicao adequada. Esta e forma que encontramos para algumas vezes lhe sugerir uma leitura la na frente, ilustrando algum conceito que ainda viria no futuro. Parece-nos uma forma menos brutal que a indicacao numerica. Faca uso intensivo do ındice remissivo como se voce se encontrasse na frente de um hipertexto e nos desculpe pela demora de acesso...e nao se esqueca de colocar um marcador de pagina para saber de onde saiu...

Uma sıntaxe se impoe nas comunicacoes, tentamos usar o italico com duas intencoes: palavras-chave que voce podera encontrar no ındice remissivo alfabetico, ou, palavras das quais voce deve desconfiar porque elas estao mal definidas ou apresentadas de modo intuitivo. O negrito se encontra reservado para as palavras tecnicas que tem uma definicao bem clara no texto. Esta regra, entretanto, ainda esta em construcao e podera falhar aqui ou alı, pelo menos nesta edicao experimental.

Um outro elemento sintatico e a letra pequena, ela indica que o texto escrito com ela pode ser ignorado numa primeira leitura, mas que nao precisa ser ignorado definitivamente, representam exemplos ou observacoes mais aprofundadas e que podem ser lidas como uma curiosidade teorica sem consequencias maiores para o resto do texto.

Este uso da enfase no texto, tem segundas intencoes, uma delas (das intencoes), de salientar uma bolha logica, nos vai permitir de falar de concei-

1que pretensao.. mas e mesmo assim! tos que nao podemos definir no momento sem criar um texto ilegıvel. E uma atitude propria de um livro didatico, nele se tem, como primeiro objetivo, a comunicacao com o estudante, a exposicao de Matematica para quem a quer aprender, e obviamente, nao se dirige a quem ja a domina. Assim, avancaremos alguns conceitos cuja definicao formal seria crıtica, mas sua apresentacao num estagio inicial completa uma visao global que o estudante ja deveria ate mesmo ter, nao fosse a fragilidade do nosso sistema educacional.

O uso de asterısco n’algum exercıcio, tem o sentido de que o mesmo pode ser mais difıcil ou que o mesmo se encontra fora do contexto. O objetivo nao deve ser o de desencorajar quem os tentem resolver. Afinal, difıcil, nao e um qualificativo absoluto, nem siquer relativamente a uma mesma pessoa ao longo do tempo. Este livro tem duas partes dentro das quais distribuiremos os assuntos:

1. Calculo Diferencial; 2. Calculo Integral.

uso da integral dentro da primeira partee muito uso da derivada na segunda

Mas observe que as departamentalizacoes sao autoritarias e artificiais. Elas sao feitas para atender uma necessidade pratica de disposicao de assuntos, com objetivo sistemico, mas nao se podem tornar camisas de forca nem sugerir que o conhecimento pode ser adquirido linearmente. Assim, voce ira encontrar muito parte apesar de que estas partes tem objetivos reversos, (na primeira parte estaremos derivada e na segunda a integral).

Vamos a uma rapida justificativa de nossa escolha de desenvolvimento do assunto que tambem servira de uma introducao.

A primeira razao das “coisas”e que pretendemos escrever uma colecao de pequenos livros cobrindo toda a matematica do que se chama Calculo Avancado e que em nossa opiniao deve ser estudado num segundo ano de graduacao por todos os estudantes de ciencias, sejam eles futuros engenheiros ou futuros professores da Escola Secundaria, ou futuros professores de Matematica da Universidade. Observe nossa posicao, intencional, de associar profissionais, queremos dizer, sim, que o professor da Escola Secundaria deve ter uma base matematica tao excelente quanto um professor da Universidade da mesma forma como os salarios deveriam ser iguais.

O conteudo de um tal curso deve estender as ideias do Calculo a uma variavel para um ambiente em que as funcoes sao multivariadas, deve usar com grande liberdade os conceitos de geometria e, portanto, de Algebra linear, que e a linguagem adequada para expressar este novo tipo de variavel, os vetores. Os elementos da Algebra Linear, sao variaveis multi-numericas. Uma consequencia deste fazer consiste numa formalizacao intensa da linguagem matematica e deve mostrar explicitamente que a Matematica e uma linguagem abstrata mas nao pode deixar de traduzir a realidade de outras ciencias, ou do “mundo real”.

Como a realidade das outras ciencias, com frequencia, se traduz sob forma de uma taxa de variacao, entao as equacoes diferenciais tem de ser pelo menos iniciadas com um maximo de seriedade o que implica mostrar ao estudante que sabemos pouco sobre elas, mas que sabemos alguma coisa e que uma certa variedade importante de equacoes diferenciais pode ser resolvida. Neste texto nao incluiremos equacoes diferenciais diretamente, mas pretendemos que o leitor se encontre preparado para um curso “moderno” de equacoes diferenciais ordinarias ao termina-lo, em que moderno significa centrado nas equacoes lineares, vistas como sistemas dinamicos2, e nas nao lineares como aproximacao das lineares. Consequentemente o conceito de aproximacao tem que estar presente de forma dominante.

E preciso declarar que temos uma clareza completa da falta de organizacao a que se chegou no ensino brasileiro, produto de anos sucessivos de descaso governamental com a educacao, descaso este que apenas continua, sem mostras de que um dia venha a se acabar. A consequencia disto e uma desorganizacao intelectual total. Apresentar Matematica seriamente numa situacao deste tipo apresenta dificuldades suplementares. Deve-se esperar que os estudantes do segundo ano venham com bolhas de conhecimento significativas porque os professores do ano anterior tiveram que se ocupar de discutir inclusive a materia da escola secundaria.

Parte do nosso objetivo, portanto, e fazer a ponte necessaria entre os conhecimentos rudimentares da matematica univariada a multivariada o que pode ser feito se, pelo menos admitirmos como verdadeiro, que o estudante ganhou alguma experiencia nos cursos do primeiro ano.

Queremos usar computacao como apoio para o aprendizado, neste sentido sugerimos que o estudante faca uso dos programas que escrevemos. Estes programas podem ser obtidos ou no disco que ecompanha este livro, ou em comunicacao com o autor, tarcisio at member.ams.org

Entre as muitas dificuldades que voce podera encontrar com a presenca de “computacao” neste livro e a simples dificuldade de usa-la por falta absoluta de meios. Primeiro que tudo nao se sinta intimidado ou humilhado, procure encontrar uma solucao para este problema. Seria desonesto de nossa parte omitir esta possibilidade, apenas porque vivemos num paıs em que o governo se encontra de costas para a nacao e com isto deixa as Escolas e Universidades sem os meios adequados para que elas cumpram a sua funcao.

Tarcisio, e-mail tarcisio at member.ams.org Sobral, 17 de junho de 2007

2moderno ? comecou com Poincare ha mais de um seculo...

Sumario

I Calculo Diferencial no espaco vetorial R3 9

1.1 Operacoes com vetores14
1.2 Exemplos de espacos vetoriais16

1 Numeros e geometria no R3 13

2.1 A derivada29
2.2 Diferenciabilidade51
2.3 Operacoes e derivadas57
2.4 A formula de Taylor61

2 Derivadas de funcoes bivariadas 29

3.1 A serie de Taylor67
3.1.1 O erro medio72
3.1.2 O erro integral74
3.2 Polinomios Trigonometricos7
3.3 Aproximacao polinomial classica89
3.3.1 Quadrados mınimos89
3.3.2 O metodo de Gram-Schmidt92
3.4 Series numericas98
3.4.1 Definicoes e exemplos98
3.4.2 Criterios de convergencia100
3.5 Series de funcoes107
3.5.1 Series de potencias108
3.6 Generalizacoes1
3.6.1 Espacos de funcoes1
3.6.2 Convergencia condicional112

3 Series e aproximacao de funcoes. 67

4.1 As series de Fourier119
4.2 Fenomenos vibratorios, a musica120
4.3 As comunicacoes121
4.4 Compactacao de dados122
4.5 Equacoes diferenciais123

I A integral no espaco vetorial R3 129

5.1 Equacoes parametricas de uma curva131
5.1.1 exemplos de curvas131
5.1.2 Notacao133
5.2 Famılia de curvas139
5.3 Dimensao e variedade139
5.3.1 Hiperplano e hipersuperfıcie no R4142
5.3.2 Um pouco sobre classificacao de variedades142
5.3.3 Conjunto aberto e fronteira de um conjunto145
5.4 Complementos sobre Integracao149
5.5 Complementos sobre Geometria e Derivada154
6.1 Integral multipla - Solucao165
6.2 O caso da fronteira curva174

6 Somas multiplas de Riemann 165

7.1 Integral de linha189
7.2 Derivadas Parciais194
7.3 Aplicacoes das derivadas202
7.3.1 Vetor normal e gradiente208
7.4 Derivadas de funcoes vetoriais216
7.5 Miscelanea de Exercıcios217

7 A integral de linha 189

8.1 Teorema de Green227
8.1.1 Campos vetoriais conservativos ou nao227
8.1.2 Forma trivial do Teorema de Green230
8.2 Rotacao e fluxo244

8 O teorema de Green 227

9.1 Superfıcie e area249
9.2 Aplicacoes261
10.1 Generalizacoes da integral267
1.1 Dois vetores somados geometricamente pela regra do paralelograma14

Lista de Figuras

1.2 No domınio de W f −→ R em volta de um ponto P ∈ W, ha muitas direcoes

para escolher e estudar a variacao15
1.3 Campo vetorial - aproximacao de curva27
2.1 A reta tangente ao grafico de f32
2.2 z = g(x,y) = x2 + y2 e plano tangente z = q(x,y)36
2.3 Disco de convergencia da serie de potencias42
3.1 Graficos simultaneos do polinomio de Taylor de grau 3 e da funcao f70
3.2 Graficos simultaneos do seno e de seu polinomio de Taylor de grau 171
3.3 Reta tangente ao grafico de f no ponto x = −274
3.4 Polinomios de grau 1 e 13 do seno desenvolvidos em x = 075
em R86
funcao dente de serrote em R87

3.5 polinomio trigonometrico com 5 termos: aproximacao da funcao dente de serrote 3.6 polinomio trigonometrico com 10 termos no intervalo [−15,15]: aproximacao da 3.7 Area associada a uma soma parcial-projecao para traz - projecao para frente. 102

4.1 grafico da parabola x 7→ 12 (x2 − x − 2) aproximada por um polinomio trigo-

nometrico, no intervalo [−pi, pi]123
5.1 Cıcloide desenhada a mao132
5.2 Arco de curva134
5.3 Curva parametrizada137
5.4 Um conjunto aberto Ω ∋ P e um ponto147
6.1 Cırculo de centro na origem coberto por uma malha uniforme166
6.2 O cırculo como domınio de integracao175
7.1 Uma curva e sua aproximacao poligonal191
7.2 Uma variedade linear e seu vetor normal196
7.3 Grafico aproximado da curva plana199
7.5 Uma superfıcie com ponto singular211

7.4 Uma malha retangular em Ω induz uma particao no conjunto de saıda W . 204 7

8.1 Os distintos caminhos entre P,Q no domınio Ω, ; α,β,γ233
8.2 A fronteira de um domınio inclue as fronteiras dos seus buracosa ori-
entacao da fronteira pode ser determinada por tangencia237
indicacao das setas239
8.5 A independencia de caminhos242
8.6 Isotermicas e linhas de fluxo245

7.6 Parametrizacao do quadrado Q de lado 1, com vertices (0,0),(1, 1). . . . . 219 8.3 A orientacao de uma curva pode ser incompatıvel com a orientacao da fronteira.238 8.4 A indepenencia de caminhos; as curvas sao percorridas de acordo com a 9.1 O princıpio do coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Parte I

Calculo Diferencial no espaco vetorial R 3

As tres tecnicas basicas do Calculo

Neste capıtulo vamos estudar as tres tecnicas basicas do Calculo, derivada, integral e limite, tendo o espaco tridimensional como o cenario de trabalho. Limite e o estudo do comportamento assintotico, usamos limite para definir a integral e a derivada. Que e a integral? voce vera depois que ha outras formas de se conceber a integral e que o proprio limite e um tipo de integral, mas esta visao ainda faz parte do futuro e nos queremos usar o que voce recentementre aprendeu. Para compreender o que era a integral, voce, considerou uma famılia de n retangulos sob o grafico de uma funcao e lhes calculou a area e depois lhe disseram que quando os ∆xi se aproximarem de zero a soma nP i=1 Ax se apro- ximara de um numero, este numero e a integral de f. Mas pode nao ser assim, neste caso a funcao nao e integravel, e isto que caracteriza um comportamento assintotico. O comportamento assintotico e a ideia central deste capıtulo.

Capıtulo 1

Numeros e geometria no R 3

Resumo.

Vamos estudar os elementos e as estruturas basicas para generalizar o Calculo Diferencial e Integral univariado.

Enquanto que no caso univariado tinhamos R ⊃ [a,b] f → R e queriamos estudar a taxa de variacao instantanea de f num determinado ponto x ∈ [a,b], nao havia muita escolha quanto a variacao de x, para frente ou para tras. Aqui as funcoes serao multivariadas quer dizer que num ponto P ∈ W de uma funcao W f −→ R, ha muitas direcoes em que se pode escolher para estudar a taxa de variacao, veja a (fig. 1.2), pagina 15.

Introducao: algebra e Vetores. O conceito de vetor surgiu na Fısica como muitas das nocoes da Matematica. O conceito fısico estava ligado a uma entidade geometrica, uma “seta”, porque tinha que ter direcao e intensidade. Esta visao geometrica e primitiva e tem que ser generalizada para ser melhor aplicada em distintas situacoes. Como sempre, e um processo algebrico, ou formal que produz a generalizacao adequada.

Os passos desta generalizacao seguem uma analise do conceito que se deseja generalizar. Com vetores, queriam os fısicos, estender o conceito de numero. Os numeros eram pobres, representam apenas a intensidade, era preciso associar-lhe direcao e sentido. Os tres conceitos se encontram sintetizados, geometricamente, num “segmento de reta orientado”, que tem modulo, direcao e sentido. Entretanto os dois ultimos conceitos se confundem uma vez que nao e possıvel falar de sentido sem direcao. De uma certa forma se pode dizer que existem apenas dois novos conceitos num “vetor”: intensidade (ou modulo) e angulo, desde que se tenha estabelecido um padrao adequado para medicao de angulos. Mas padrao para medir tambem e necessario quando se fala em intensidade. A representacao geometrica dos vetores conduziu naturalmente ao conceito geometrico de soma destes objetos: a regra do paralelograma, (fig. 1.1). As outras “coordenadas” contidas no conceito de vetor: intensidade, angulo, direcao, sentido, que de alguma forma se sobrepoem, todas surgiram da concepcao geometrica.

Os conceitos de angulo, comprimento ou modulo, ficam todos ge-neralizados pelo conceito de produto escalar. Em Geometria Analıtica se define o produto escalar de dois vetores, mas e na Algebra Linear que se estende convenientemente o conceito de numero incluindo os vetores.

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