Apostila de matemática: Sistemas de Coordenadas, Vetores

Apostila de matemática: Sistemas de Coordenadas, Vetores

Pontifícia Universidade Católica do Paraná

Notas de Aula de Geometria Analítica e Matemática aplicada

Prof: William John

Curitiba, 2009

Índice

Equações e Inequações 4

Equações 4

Fatoração 4

Inequações 5

Sistemas de coordenadas 5

Espaço bidimensional 5

1.SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 5

OPERAÇÕES E IGUALDADE (pares ordenados) 6

2.SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO 6

3.SISTEMA POLAR 6

4.Exercícios 7

Espaço tridimensional 7

5.SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 7

6.SISTEMA CILÍNDRICO 7

7.SISTEMA ESFÉRICO 7

8.EXERCÍCIOS 7

Vetores 9

Conceitos 9

1.RETA ORIENTADA 9

2.SEGMENTO ORIENTADO 9

3.MEDIDA DE UM SEGMENTO 9

4.DIREÇÃO E SENTIDO 9

5.SEGMENTOS EQUIPOLENTES 9

Vetores 9

1.NOTAÇÃO 9

2.VETORES IGUAIS 10

3.MÓDULO 10

4.VETOR NULO 10

5.VETOR UNITÁRIO 10

6.VETOR OPOSTO 10

7.VERSOR 10

8.VETORES COLINEARES 10

9.VETORES COPLANARES 10

10.OPERAÇÕES COM VETORES 10

Exercícios 11

Produto de vetores 13

1.PRODUTO ESCALAR (ou produto interno usual) 13

Notação: 13

Definição: 13

Interpretação geométrica: 13

Expressão cartesiana do produto escalar: 13

Módulo de um vetor: 13

Nulidade do produto escalar: 13

Ângulo de dois vetores: 13

Exemplos: 13

2.PRODUTO VETORIAL (ou produto externo) 14

Notação: 14

Definição: 14

Nulidade do produto vetorial: 14

Produto vetorial dos versores i, j e k 14

Expressão cartesiana do produto vetorial: 15

Interpretação geométrica: 15

Exemplos: 15

3.PRODUTO MISTO 16

Notação: 16

Definição: 16

Nulidade do produto misto: 16

Expressão cartesiana do produto misto: 16

Interpretação geométrica: 16

Propriedades do produto misto: 16

Exemplos: 17

Gabarito 18

Produto escalar 18

Produto Vetorial 18

Produto misto 18

BIBLIOGRAFIA 19

Equações e Inequações

Equações

Exercícios

  1. Resolva as equações

  2. Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxímetro. Sabendo que cada quilômetro rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilômetros foram percorridos.

  3. Se hoje um rapaz tem 24 anos e seu pai 42, há quantos anos a idade do pai foi o triplo da do filho?

Fatoração

Fatorar os polinômios em polinômios de 1º e 2º (quando for irredutível).

Possíveis raízes (por Girard) e o algoritmo de Briote-Ruffini para verificação das mesmas.

Exemplo: equação do quarto grau

Por Girard as possíveis raízes são os divisores do termo , aplicamos em seguida Briote-Ruffini, e podemos ter as seguintes fatorações:

Todas as raízes são reais

Duas raízes reais e duas complexas

Todas as raízes complexas.

Exercícios

  1. Fatore:

Inequações

Exercícios

  1. Resolva as inequações:

Sistemas de coordenadas

Espaço bidimensional

  1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

  • É constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre si e de mesma origem O;

  • A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas;

  • A reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas;

  • Os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em 4 partes ou quadrantes;

  • O ponto P fica determinado por suas coordenadas cartesianas:

OPERAÇÕES E IGUALDADE (pares ordenados)

  • Adição

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )

Exemplo:

(2, 5) + (1, - 3) =

  • Multiplicação por um número real k

k (x , y ) = (kx , ky )

Exemplo:

3(5, 1) =

  • Igualdade de dois pares ordenados

(x1 , y1 ) = (x2 , y2) →x1 =x2 e y1 = y2

Exemplo:

(x - 1, y + 3) = (1, 7)

  • Distância entre dois pontos

Exemplo:

P1(1, -3) e P2(4, 1)

  1. SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO

  • o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º.

  1. SISTEMA POLAR

  • Eixo polar do sistema – p

  • Pólo do sistema – O

O ponto P fica determinado por suas coordenadas polares:

  1. Exercícios

  1. Sendo A = (2, 3) e B = (1, 5), calcular as coordenadas cartesianas de .

  2. O segmento tem comprimento de 4 unidades. Conhecendo- se o ponto A=(-2, 1), achar a abscissa de B, cuja ordenada é 1.

  3. Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo eqüilátero de vértices A=(3, 3),B=(-3,-3) e C=(-3,3) .

  4. Dados os pontos A=(2, y), B =(-8, 4) e C = (5, 3), determinar y para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A.

  5. Encontre o ponto P=(x, y) eqüidistante dos pontos P1 =(0, - 5), P2 =(- 1, 2) e P3 =(6, 3).

  6. Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos pontos A=(1,)e B=(2, ).

  7. Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e (-5, 6). Determine a área do quadrado.

Espaço tridimensional

  1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

  • É constituído de três retas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no mesmo ponto O;

  • A reta orientada x é denominada eixo x ou eixo da abscissa;

  • A reta orientada y é denominada eixo y ou eixo da ordenada;

  • A reta orientada z é denominada eixo z ou eixo da cota

  • Os planos coordenados dividem o espaço em 8 regiões ou octantes;

  • O ponto P fica determinado por suas coordenadas cartesianas:

P=(x,y,z)

  • Distância entre dois pontos

  1. SISTEMA CILÍNDRICO

  2. SISTEMA ESFÉRICO

  3. EXERCÍCIOS

  1. Calcular a somadas arestas do tetraedro regular de vértices A=(, 0, 1), B=(-,0,1), C=(0,2 , 2) e D=(0, 0, 4).

  2. Provar que os pontos A=(2, 0, 1), B = (3, 1, 5), C = (4, 2, 9) são colineares.

  3. Achar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos A=(1, -1, 3) e B=(2, 2, 1).

  4. Verificar se os pontos A=(2, 1, 2), B = (1, 2,-1) e C=(-1, 0,-1) são vértices de algum triângulo retângulo.

Vetores

Conceitos

  1. RETA ORIENTADA

  1. SEGMENTO ORIENTADO

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos,o primeiro chamado Origem do segmento (A), o segundo de extremidade (B).

  1. MEDIDA DE UM SEGMENTO

Fixada uma unidade de medida, a cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo.

  1. DIREÇÃO E SENTIDO

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas.

  1. SEGMENTOS EQUIPOLENTES

Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Notação (AB~CD)

Vetores

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB.

  1. NOTAÇÃO

Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

    • Uma letra latina minúscula encimada por uma seta.

Exemplos: ...

    • Uma letra latina minúscula.

Exemplos: u,v,w...

    • Dois pontos que são a origem e a extremidade de um representante do vetor.

Exemplo:

A soma do ponto A com o vetor é o ponto B.

Onde A é a origem e B a extremidade. Notação (=AB)

  1. VETORES IGUAIS

Os vetores e são iguais se os segmentos forem eqüipolentes.

  1. MÓDULO

É o número não negativo que indica o comprimento do vetor.

  1. VETOR NULO

É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a ZERO . O vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas.

  1. VETOR UNITÁRIO

  1. VETOR OPOSTO

Seja o vetor temos que o vetor oposto é

  1. VERSOR

Versor de um vetor não nulo é um vetor unitário de mesma direção e sentido de .

  1. VETORES COLINEARES

Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção.

  1. VETORES COPLANARES

Se , e são coplanares se tiverem imagens geométricas paralelas ao mesmo plano.

(obs. Dois vetores são sempre coplanares)

  1. OPERAÇÕES COM VETORES

  • Adição

u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ), então u + v=(x1 +x2 ,y1 +y2 ,z1 +z2 ).

Propriedades

  1. Comutativa:

u+v=v+u

  1. Associativa:

( u + v )+ w=u+(v+w)

  1. Elemento neutro:

u + 0=0+u=u

  1. Elemento oposto:

u + (-u)=-u+u=0

  • Subtração de vetores

u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ), então u - v=(x1 - x2 ,y1 - y2 ,z1 - z2 ).

  • Multiplicação de um vetor por um escalar

mv =m(x ,y ,z ) = (mx ,my ,mz )

Propriedades

  1. Propriedade associativa em relação aos escalares.

m(nv) = n(mv) = (mn) v

  1. Propriedade distributiva em relação à adição de escalares.

(m+n) v= mv+nv

  1. Propriedade distributiva em relação à adição de vetores.

m(v+w)=mv+mw

  1. Identidade

1v=v

Exercícios

  1. Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar:

    1. 2u - v + 4w

    2. 3(u + v) -2(2v - w)

  1. Conhecidos A = (1, 3, 0), B = (5, 5, 2) e v = (1, 3, -2) calcular:

    1. A + v

    2. 2A - 3B - v

  1. Sendo A = (2, 0, 1), B = (0, 3, -2), C = (1, 2, 0), determinar D = (x, y, z ) tal que BD = AB + CB.

  2. Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3).

  3. Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u = (1, 2, 0) e v = (3, 0, 3), então w é igual a:

  1. Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5).

  2. Calcular P tal que AP=2/3 AB. Dados A=(-1, -1, 0) e B=(3, 5, 0).

  3. Sabendo-se que u e v são perpendiculares tais que | u | =5 e | v | = 12, calcular |u+v| e |u- v|.

Produto de vetores

  1. PRODUTO ESCALAR (ou produto interno usual)

Notação:

u.v

Definição:

O produto escalar de dois vetores u e v é o número (escalar) tal que

Interpretação geométrica:

ou ( medida algébrica da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u).

Expressão cartesiana do produto escalar:

u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ), então u.v=x1x2 +y1y2 +z1z2 .

Módulo de um vetor:

Nulidade do produto escalar:

      1. Um dos vetores for nulo

      2. Os dois vetores forem ortogonais

Ângulo de dois vetores:

,

Exemplos:

  1. Determinar,sabendo que =(1,-2) e=(4,2).

  2. Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular

  3. Dados os vetores =(1,-2,2) e=(4,3), calcular || e || .

  4. Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que || = 7.

  5. Determinar o valor de n para que o vetor seja unitário.

  6. Determinar os versores dos vetores = (0,-3,4) e v = (-1,1).

  7. Calcular os ângulos entre os vetores e, sendo:

i) =(1,2) e=(-1,2) ii) =(2,-1) e=(1,2) iii) =(0,2) e=(0,1)

iv) =(1,1,4) e=(-1,2,2) v) =(2,-1,2) e=(-1,2,2) vi) =(0,2,4) e=(0,1,2)

  1. Sabendo que o ângulo entre os vetores =(2,1,-1) e=(1,-1,m+2) é , calcular m.

  2. Dados os vetores =(1,-2,2) e=(4,m,-5), calcular m para que e sejam ortogonais.

  3. O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ?

  4. Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:

i) as componentes de ii) o módulo de iii) o versor de

  1. Dados os vetores ,e, determinar:

i) ii) iii)o ângulo entre e iv) o versor de

v) o valor de m para que o vetor seja ortogonal a -

  1. Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo:

i) u = (1,1) e v = (2,0) ii) u = (1,1,1) e v = (3,3,0)

  1. PRODUTO VETORIAL (ou produto externo)

Notação:

Definição:

O produto vetorial de dois vetores u e v , não paralelos entre si, é um terceiro vetor com as seguintes características quanto:

      1. À direção: o vetor é um vetor perpendicular aos vetores u e v;

      2. Ao sentido: =

      3. Ao módulo:

Nulidade do produto vetorial:

  1. Um dos vetores forem nulo;

  2. Os dois vetores forem paralelos.

Produto vetorial dos versores i, j e k

i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).

Obs: o vetor u=(x ,y ,z ) pode ser representado por

Expressão cartesiana do produto vetorial:

u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ).

Interpretação geométrica:

Área de um paralelogramo:

Área de um triângulo:

Exemplos:

  1. Determinarx,sabendo que =(1,-2,4) e=(4,2,-5).

  2. Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular

  3. Dados os vetores e, determinar:

i) x ii) x iii) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a - e + iv) o valor de m para que o vetor seja paralelo a x

  1. Dados os pontos A(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determinar:

i) a área do paralelogramo determinado pelos vetores e ;

ii) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores e relativa ao lado ;

iii) a área do triângulo de vértices A, B e C.

  1. PRODUTO MISTO

Notação:

Definição:

O produto misto entre três vetores u, v e w é o número (escalar)

Nulidade do produto misto:

      1. Um dos vetores forem nulo;

      2. Os vetores u e v forem paralelos.

      3. Os três vetores coplanares

Expressão cartesiana do produto misto:

u=(x1 ,y1 ,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ) e w=(x3 ,y3 ,z3 )

Interpretação geométrica:

volume de um paralelepípedo

volume de um tetraedro

Propriedades do produto misto:

Exemplos:

  1. Dados os vetores =(-2,1,2) , =(1,-1,1) e= (1,1,1) , calcular:

i) ( u,v,w) ii) (v,u,w) iii) (v,w,u)

  1. Verificar se são coplanares os vetores:

i) =(1,-1,0) , =(2,1,3) e= (3,2,1) ii) =(1,-1,-2) , =(3,-2,5) e= (5,-4,1)

  1. Qual deve ser o valor de n para que os vetores =(3,n,2) , =(4,0,1) e= (2,-1,-2) para que os vetores sejam coplanares ?

  2. Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão num mesmo plano.

  3. Dados os pontos A(1,1,-1), B(2,2,-1) , C(3,1,-1) e D(2,3,1), determinar:

i) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,e .

ii) a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores ,e relativa a face determinada por e .

iii) o volume do tetraedro cujos vértices são: A, B, C e D

  1. Dados os vetores =(x,5,0) , =(3,-2,1) e= (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por , eseja 24 u.v.

  2. Determinar o valor de para que:

i)(,3,-7)x(11,1,10)=(37,-87,-32) ii)(10,,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36

  1. Dados os vetores e, determinar (uxv ).( u-v).

  2. Dados os pontos A(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determinar:

i) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,e .

ii) a área do paralelogramo determinado pelos vetores e.

  1. Determine o valor de p e q para que

i)(p,5,q).(2,4,6) = 30 ii)(p,q,-7)x(11,1,10) = (37,-87,-32) iii)(10,q,10).[(1,2,3)x(4,5,6)] = 36

Gabarito

Produto escalar

a) 0 b) -1 c) 3 e 5 d) m = -3 ou m = 9 e) n = f) ; g) i) = arc cos(3/5) ii) 90o iii) 0o iv) 45o v) 90o vi) 0o h) m = -4 i) m = -3 j) SIM k) i) (-9,1,3) ii) iii) l) i) 21 ii) 30 iii) 45o iv) v) m = -18 m) i) (1,0) ii) (1,1,0)

Produto Vetorial

a) (2,21,10) b) (9,-7,1) c) i) (2,1,-5) ii) (-2,-1,5) iii) iv) m = -5 d) i) 13 ii) iii)

Produto misto

b) i) NÃO ii) SIM c) n = d) SIM e) i) 4 ii) 2 iii) f) x = 4 ou x = -44

g) i) = 1 ii) = 16 h) 0 i) i) 2 ii) 1 j) i) p = 5 – 3q ii) p = 1 e q = 3 iii) q = 16

BIBLIOGRAFIA

STEINBRUCH, Alfredo. Geometria analítica. 2. ed.; São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 5. ed.; Curitiba: Editora da UFPR, 1991.

Obs.: as notas de aula não dispensa o uso do livro

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