Apostila de matemática: aplicações geométricas

Apostila de matemática: aplicações geométricas

Pontifícia Universidade Católica do Paraná

Notas de Aula de Geometria Analítica e Matemática aplicada

Prof: William John

Curitiba, 2009

Índice

Aplicação geométrica clássica 4

Exemplos 4

A reta 5

1. Equação vetorial da Reta 5

Exemplo 5

2. Equação paramétrica da Reta 5

Exemplos 5

3. Equação simétrica da Reta 6

Exemplos 6

4. Equação reduzida da Reta 6

Exemplos 7

5. Reta definida por dois pontos 7

Exemplos 7

6. Manipulação vetorial das retas 7

Ângulo de duas retas 7

Exemplo 7

Condição de ortogonalidade de duas retas 7

Exemplo 8

Condição de paralelismo de duas retas 8

Exemplo 8

Condição de coplanaridade de duas retas 8

Exemplo 8

Reta ortogonal a duas retas 8

Exemplo 8

7. EXERCÍCIOS 9

Teorema de Tales 10

Exercícios 10

Triângulo Retângulo 11

Relações métricas 12

Resumo 12

Teorema de Pitágoras 13

Exercícios 13

Áreas de polígonos 16

1. Retângulo 16

2. Quadrado 16

3. Paralelogramo 16

4. Triângulo 16

5. Trapézio 17

6. Losango 17

Exercícios 18

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 20

Elementos 20

Comprimento da Circunferência 20

Área do Círculo 20

Exemplos: 21

PRISMA e CILINDROS 21

Áreas e Volume 21

Prisma 21

Cilindros 22

Exemplos: 22

Trabalho: 24

Razão e Proporção 26

1. Razão 26

2. Proporção 26

3. Números diretamente proporcionais 27

4. Números inversamente proporcionais 27

5. Regra de três 27

Exercícios 28

BIBLIOGRAFIA 27

Aplicação geométrica clássica

Decompor uma força aplicada a um bloco

Objetivo: Determinar o vetor v1, obtido com a projeção com a projeção do vetor v sobre o vetor u.

Precisamos encontrar a medida algébrica da projeção do vetor v sobre a direção do vetor u. E encontrar o versor do vetor u.

Logo

E

Exemplos

  1. Dados os vetores u=(1,-1,0) e v=(2,-1,2), calcular v1 e v2, conforme a figura:

  1. Sendo u=(5, 2, 5) e v = (2, -1, 2), calcular u1=vetor projvu

  2. Dados u=(5, 2, 5) e v = (2, -1, 2), determinar v1=vetor projuv

A reta

  1. Equação vetorial da Reta

Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo v.

P=A+tv

Onde P é um ponto que pertence à reta r.

Exemplo

    1. Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem direção do vetor v=(2,2,-1). E verifique se o ponto P =(7,4,-7) pertence a reta.

  1. Equação paramétrica da Reta

Da equação vetorial P=A+tv temos:

Onde P=(x,y,z), A=(x1,y1,z1) e v=(a,b,c).

Exemplos

    1. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem direção do vetor v=(2,2,-1).

    2. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,1).

    3. Dada a equação paramétrica obter o vetor diretor e um ponto.

  1. Equação simétrica da Reta

Da equação paramétrica, podemos isolar t nas três equações, logo:

Onde P=(x,y,z), A=(x1,y1,z1) e v=(a,b,c).

Exemplos

    1. Determine a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem direção do vetor v=(2,2,-1).

    2. Determine a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,1).

    3. Determine a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,2,5) e tem direção do vetor v=(1,2,-3).

    4. Determine a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,-1,-1) e tem direção do vetor v=(1,2,0).

    5. Dada a equação simétrica obter o vetor diretor e um ponto.

  1. Equação reduzida da Reta

Da equação simétrica, isolando as variáveis y e z e expressando-as em função de x:

Obs.: podemos encontrar um ponto P0(0,n,q) pertencente a reta e um vetor diretor v=(1,m,p).

Exemplos

    1. Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem direção do vetor v=(2,2,-1).

    2. Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,1).

  1. Reta definida por dois pontos

A reta definida pelos pontos A=(x1 ,y1 ,z1 ) e B=(x2 ,y2 ,z2 ), é uma reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direção do vetor v=AB.

Exemplos

    1. Determine a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(3,0,-5) e B(7,4,-7).

    2. Determine a equação paramétrica da reta r que passa pelos pontos A(1,-2,-3) e B(3,1,-4).

  1. Manipulação vetorial das retas

Ângulo de duas retas

Sejam as retas r1 que tem direção de um vetor v1 =(a1 ,b1 ,c1 ) e r2 que tem direção de um vetor v2 =(a2 ,b2 ,c2 ). Logo ângulo entre os vetores, a partir do produto escalar, é:

,

Obs.: utilizamos o , para encontrarmos o menor ângulo formado pelas retas.

Exemplo

    1. Calcular o ângulo entre as retas r: e s:

Condição de ortogonalidade de duas retas

Sejam as retas r1 que tem direção de um vetor v1 =(a1 ,b1 ,c1 ) e r2 que tem direção de um vetor v2 =(a2 ,b2 ,c2 ), elas serão ortogonais se o produto escalar entre os vetores diretores for zero.

Exemplo

  1. As retas r1: e r2:são ortogonais.

Condição de paralelismo de duas retas

Sejam as retas r1 que tem direção de um vetor v1 =(a1 ,b1 ,c1 ) e r2 que tem direção de um vetor v2 =(a2 ,b2 ,c2 ), elas serão paralelas se o produto vetorial entre os vetores diretores for zero.

Exemplo

  1. A reta r1, que passa pelos pontos A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4), e a reta r2, que passa pelos pontos A2(-1,2,-3) e B2(-5,5,-4), são paralelas.

Condição de coplanaridade de duas retas

A reta r1 que passa pelo ponto A1(x1 ,y1 ,z1 ) e tem a direção de um vetor v1 =(a1 ,b1 ,c1 ) e a reta r2, que passa pelo ponto A2(x2 ,y2 ,z2 ) e que tem a direção de um vetor v2 =(a2 ,b2 ,c2 ), são coplanares se o produto misto (v1,v2,A1A2)=0.

Obs.: se o produto for diferente de zero, temos que as retas são reversas.

Exemplo

  1. As retas r1: e r2:são coplanares.

Reta ortogonal a duas retas

Sejam as retas r1 que tem direção de um vetor v1 =(a1 ,b1 ,c1 ) e r2 que tem direção de um vetor v2 =(a2 ,b2 ,c2 ), para encontrarmos uma reta r, simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, temos que o vetor diretor de r é paralelo ou igual ao produto vetorial entre r1 e r2, isto é, v=v1xv2.

Exemplo

  1. Determinar a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é ortogonal comum às retas:

.

  1. EXERCÍCIOS

  1. Achar as equações reduzidas da reta

  2. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(1, 3, 0) e é paralela ao vetor v=(3,4,-1).

  3. Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A=(1, 3, 2) e B=(5, 2, 2).

  4. A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) e tem a direção do vetor v=(3,1,-1). Determinar as equações reduzidas de r (com variável independente x).

  5. Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P=(0, - 4, - 5) e Q=(1, - 2, - 2).

  6. São dadas as equações paramétricas de Obter as equações simétricas de r.

  7. Verificar se os pontos P=(4, 2, 0) e Q=(1, 0, -1) pertencem à

  8. O ponto A = (0, x, y) pertence à reta determinada pelos pontos P=(1, 2, 0) e Q=(2, 3, 1). Achar A.

  1. Equação da reta que passa por P=(1, 2, 0) e é paralela à reta .

  2. Determinar as equações simétricas da reta r sabendo-se que passa pelo ponto P=(3, 5, 2) e é concomitantemente ortogonal ao eixo x e

  3. Calcular k para que as retas r e s sejam ortogonais. Dadas: e .

  4. Provar que as retas r e s são coplanares. Dadas: e .

  5. Calcular m para que as retas r e s sejam coplanares. Dadas: e

Teorema de Tales

Exercícios

  1. Encontre o valor de x na figura.

T

  1. Calcule x e y no triângulo ABC

Triângulo Retângulo

Relações métricas

a : hipotenusa

b, c : catetos

h : altura relativa à hipotenusa

m, n : projeções dos catetos

Triângulo 1 e 2

bm = ch

bh = cn

h2 = mn

Triângulo 1 e 3

bm = ch

bc = ah

h2 = am

Triângulo 2 e 3

cn = bh

bc = ah

b2 = an

Resumo

b.m = c.h

b2 = a.n

c.n = b.h

c2 = a.m

h2 = m.n

b.c = a.h

Teorema de Pitágoras

a2=b2 +c2

Exercícios

  1. Encontre o valor de x na figura.

A

B

C

D

  1. Encontre as medidas indicadas

  1. Calcule o valor de x.

A

B

C

  1. Determine x e y:

  1. Determine o valor de x nos casos

    1. Retângulo

    1. Quadrado

    1. Trapézio isóscele

    1. Trapézio retângulo

    1. Losango

  1. Quantos metros de fio são necessários para “puxar luz” de um poste de 6m de altura até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8m da base do poste?

  1. Durante um incêndio num edifício de apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 10m para atingir a janela do apartamento sinistrado. A escada estava colocada a1 m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6 m do edifício. Qual é a altura do apartamento sinistrado em relação ao chão?

Áreas de polígonos

  1. Retângulo

  1. Quadrado

  1. Paralelogramo

  1. Triângulo

  1. Trapézio

  1. Losango

Exercícios

  1. Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.

A área do polígono é dada entre parêntese, em cada caso. Determine x.

    1. Quadrado (36 m2)

    1. Quadrado (50 m2)

    1. Retângulo (24 m2)

    1. Trapézio (10 m2)

    1. Trapézio (18 m2)

    1. Paralelogramo (32 m2)

  1. Determine a área do triângulo nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.

  1. Determine a área do trapézio nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

Elementos

  • Circunferência

  • Círculo

  • Corda, diâmetro e raio

Comprimento da Circunferência

Área do Círculo

Exemplos:

  1. Determine a área do círculo e o comprimento da circunferência nos casos

  2. Determine a área da coroa circular nos casos:

PRISMA e CILINDROS

Áreas e Volume

Prisma

  • Área de uma face lateral (Área de um paralelogramo)

  • Área lateral

  • Área da base

  • Área total

  • Volume

Cilindros

  • Área lateral

  • Área total

  • Volume

Exemplos:

  1. Determine a área total e o volume:

    1. Cubo

    1. paralelepípedo retângulo

    1. paralelepípedo retângulo

    1. prisma regular (hexagonal)

  1. Determine a área total e o volume:

    1. Cilindro equilátero

    1. Cilindro reto

    1. Semicilindro reto

Trabalho:

  1. Determine a área da região sombreada nos casos:

    1. Quadrado de lado 8 m

    1. Hexágono regular de lado 6 m

    1. Quadrado de lado 8 m

  1. Calcule a área da figura sombreada, sendo ABCD um quadrado.

  1. Calcule a área da parte sombreada, sabendo que o quadrilátero dado é um quadrado de lado 1 m.

  2. Calcule a área da superfície sombreada, sabendo que a medida a=1 m.

    1. Quadrado

    2. Retângulo

    3. Quadrado

  1. Determine a área lateral, área total e o volume:

    1. Cubo

    1. paralelepípedo retângulo

    1. paralelepípedo retângulo

  1. Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcule a área total do sólido, sabendo que a área lateral é de 12 cm2.

  2. Calcule o volume de um prisma reto de base triangular, de 3 cm, 4 cm e 5cm de lados, sabendo que a área lateral mede 72 cm2.

  3. Num cilindro reto de 10m de altura, a área lateral é igual à área da base. Calcule a área lateral.

  4. Um produto é embalado em latas cilíndricas. O raio da embalagem A é igual ao diâmetro de B e a altura de B é o dobro da altura de A. Assim,

    1. As embalagens são feitas do mesmo material (mesma chapa). Qual delas gasta mais material para ser montada.

    2. O preço do produto na embalagem A é R$780,00 e na embalagem B é de R$400,00. Qual das opções é a mais econômica para o consumidor, supondo-se as duas latas completamente cheias?

  5. Um reservatório de óleo em forma de cilindro circular reto tem 5m de raio e 8m de altura. Queremos colocar esse óleo em latas em forma de cilindro circular reto, com raio da base igual a 5 cm e altura igual a 30 cm. Quantas latas serão necessárias?

  6. Uma piscina retangular de 10m x 15m, de fundo horizontal, está com água até 1,5 m de altura. Um produto químico deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500L. Encontre o número de pacotes a serem usados: (obs.: 1m3=1000L)

Razão e Proporção

  1. Razão

A razão entre duas grandezas a e b (b≠0) é o quociente de a por b. Indica-se por

Ex: Um estagiário ganha R$ 120,00 para a execução de um determinado serviço, enquanto um profissional ganha R$ 600,00 para o mesmo serviço. Qual a relação entre estas duas grandezas?

, ou seja, para cada R$ 1,00 que o estagiário ganha o profissional recebe R$ 5,00

  1. Proporção

É a igualdade entre razões: Lê-se a está para b assim como c está para d.

Dada a proporção é possível estabelecer as seguintes transformações:

ou

ou

Exemplos:

  1. Calcule o valor de x sabendo-se que .

  2. Encontrar os valores de a e b sabendo-se que e .

Resp: a)x=30 b)a=30 e b=45

  1. Números diretamente proporcionais

Dadas duas sequências de grandezas, elas são proporcionais se:

Exemplo:

Suponha que seja preciso dividir R$ 2.400,00 entre três empregados A, B e C. O critério para divisão é o tempo de casa. A tem três anos de casa, B quatro anos e C cinco.

Resp: A=600, B=800 e C=1000

  1. Números inversamente proporcionais

Dadas duas sequências de grandezas, elas são inversamente proporcionais se:

Exemplo:

Suponha que seja preciso dividir R$ 2.600,00 entre três empregados A, B e C. O critério para divisão é o número de faltas de cada um. A teve quatro faltas, B teve duas e C três.

Resp: A=600, B=1200 e C=800

  1. Regra de três

Processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandeza diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplo:

  • Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto custarão 33 metros do mesmo tecido?

Resp: x=198

  • Em 180 dias 24 operários constroem uma casa. Quantos operários serão necessários para fazer uma casa igual em 120 dias?

Resp: x=36

  • Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calças. Em quantos dias 12 costureiras poderão fazer 600 calças iguais às primeiras?

Resp: x=10

Exercícios

  1. Calcular x e y sabendo-se que e .

  2. Calcular x e y sabendo-se que e .

  3. Calcular dois números sabendo-se que a soma deles é 44 e que a razão entre eles é igual a .

  4. A diferença entre dois números é 7. A razão entre eles é de 4 para 3. Calcule os números.

  5. A razão entre dois números é de 2 para 3. Calcule os números sabendo-se que a soma deles é 55.

  6. Dois números estão para si como 2 está para 3. Determine-os sabendo que a diferença entre eles é 7.

  7. Calcular x, y e z sabendo-se que e .

  8. Uma peça de tecido foi dividida em 3 partes diretamente proporcionais aos número 4, 6 e 8. Qual o comprimento de cada corte sabendo-se que a peça tinha 360m.

  9. Dividir R$ 600,00 entre 3 pessoas em parte diretamente proporcionais às suas idades que são: 5, 10 e 15.

  10. Dividir R$ 650,00 entre 3 pessoas em parte inversamente proporcionais às suas idades que são: 20, 30 e 40.

  11. Uma herança de R$ 200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordo com suas idades e de tal forma que o mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos receberam R$150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos, qual a idade do irmão mais novo?

  12. Três amigos, A, B e C, saíram para comer uma pizza. No final perceberam que A comeu ¼ da pizza, B comeu 1/3 e C comeu 1/5. O preço era de R$ 14,10. Calcule a parte da despesa de cada um de forma que seja diretamente proporcional ao que cada um comeu.

  13. Três pessoas, A, B e C, compraram juntas um bilhete de rifa que dá um prêmio de R$ 10.000,00. A pessoa A colaborou com R$ 10,00, a pessoa B com R$ 15,00 e a pessoa C com R$ 25,00; Caso o bilhete seja premiado, quanto receberá cada pessoa se o combinado foi que cada uma receberia uma quantia proporcional ao dinheiro gasto?

  14. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custarão 5 kg deste queijo?

  15. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30?

  16. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca serão necessários para produzir 300kg de arroz sem casca?

  17. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários para pintar o mesmo prédio?

  18. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas. Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade média de 80km/h?

  19. Uma roda-d´água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e meia?

  20. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estaca vertical de 1,5m projeta uma sombra de 0,5m?

  21. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

  22. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

  23. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

  24. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

  25. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

  26. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? 

  27. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

  28. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

gabarito

  1. x=16 e y=20

  2. x=9 e y=6

  3. 12 e 32

  4. 28 e 21

  5. 22 e 33

  6. -14 e -21

  7. x=10, y=15 e z=20

  8. 80, 120 e 160

  9. 100, 200 e 300

  10. 300, 200 e 150

  11. 10 anos

  12. R$ 4,50 , R$ 6,00 e R$ 3,60

  13. R$ 2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00

  14. R$41,00

  15. 6,5 kg

  16. 312,5 kg

  17. 5 dias

  18. 1,5 h = 1h 30min

  19. 2700 voltas

  20. 36 metros

  21. 25 caminhões

  22. 32 carrinhos

  23. 12 dias

  24. 6 horas.

  25. 35 dias.

  26. 15 dias.

  27. 10 horas por dia.

  28. 2025 metros.

BIBLIOGRAFIA

STEINBRUCH, Alfredo. Geometria analítica. 2. ed.; São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 5. ed.; Curitiba: Editora da UFPR, 1991.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9. São Paulo, SP: Atual, 1993.

Obs.: a notas de aula não dispensa o uso dos livros

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