Apostila de Álgebra linear III

Apostila de Álgebra linear III

(Parte 2 de 8)

Se r = 0 ent~ao temos a transforma c~ao nula. Se r = 1 temos a transforma c~ao identidade. Se 0 r < 1 ent~ao dizemos que T e uma contra c~ao. Se r > 1 ent~ao dizemos que T e uma dilata c~ao. A gura abaixo mostra a dilata c~ao T(x) = 2x.

Tx = 2x

Exemplo 7 A transforma c~ao T : R2 ! R2 dada por T(x) = x+(1;0) n~ao e linear. Para ver isto, basta notar que ela n~ao leva o vetor nulo no vetor nulo. Esta e uma transla c~ao de vetores no R2.

Exemplo 8 A transforma c~ao linear T : R2 ! R2 dada pela matriz

Como esta transforma c~ao e matricial, ent~ao ela e linear. Determinando a imagem de alguns vetores e representando em um gr a co estes vetores e suas imagens, podemos ver que esta transforma c~ao gira os vetores em torno da origem, no sentido anti-hor ario, de um angulo de 900. Isto e verdade. Estudaremos com maiores detalhes transforma c~oes lineares especiais, como a rota c~ao de um angulo , nas aulas 25 e 26.

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Transforma c~oes lineares M ODULO 3 - AULA 18 v T(u)

T(v)

Figura 3: Rota c~ao de um angulo de 900.

Exemplo 9

Seja Pn o espa co dos polinomios de grau menor ou igual a n. De nimos o operador deriva c~ao D: Pn → Pn−1 por

Isto e, D leva cada termo aktk em kaktk 1.

E f acil ver que este operador e uma transforma c~ao linear. Note que ele e a deriva c~ao de fun c~oes no sentido usual, restrito ao espe co dos polinomios. Sabemos que para a deriva c~ao vale con rmando que D e uma transforma c~ao linear.

Note que esta transforma c~ao e linear mas n~ao e matricial. N~ao h a uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda transforma c~ao linear entre espa cos de dimens~ao nita tem uma representa c~ao matricial. H a uma matriz A tal que se p e um polinomio e se [p]B e a representa c~ao deste polinomio em uma base B escolhida de Pn, ent~ao A[p]B e a representa c~ao de Dp nesta base.

Exemplo 10 Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada seu dinheiro entre as 4 op c~oes do banco. Representamos a carteira de um

xA xB xC xD investidos na op c~ao A, xB reais investidos na op c~ao B etc.

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Álgebra Linear 1 Transforma c~oes lineares

Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou em yB reais por real aplicado etc, ent~ao o resultado total de cada cliente ser a calculado pela transforma c~ao linear T : R4 → R, dada por

xA xB xC xD yA yB yC yD i = xAya + xByB + xCyC +xDyD :

Resumo

Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Algebra Linear, que e o de Transforma c~ao Linear.

Vimos, inicialmente, as transforma c~oes matriciais. Em seguida, de nimos transforma c~oes lineares.

Vimos diversos exemplos de transforma c~oes lineares, inclusive uma aplica c~ao a economia.

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Transforma c~oes lineares M ODULO 3 - AULA 18

# . Encontre a imagem de

2. Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para de nir uma aplica c~ao de R4 em R6 por T(x) = Ax.

3. Para os valores da matriz A e vetor b nos tens abaixo, encontre, se for poss vel, um vetor x tal que Tx = b.

(b)

4. Encontre todos os valores de x 2 R4 que s~ao levados no vetor nulo pela transforma c~ao x ! Ax, onde

5. Nos tens abaixo, use um sistema de coordenadas para representar gra- camente os vetores u = descri c~ao geom etrica do efeito da aplica c~ao de T nos vetores de R2.

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Álgebra Linear 1 Transforma c~oes lineares

(b) N~ao h a valor de x tal que Tx = b.

;1)g e levado no vetor nulo.

5. (a) Dilata c~ao por um fator de 3. (b) Contra c~ao por uma fator de 0;5. (c) Rota c~ao de 1800. (d) Proje c~ao sobre o eixo-y.

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Propriedades das Transforma c~oes Lineares M ODULO 3 - AULA 19

Aula 19 { Propriedades das Transforma c~oes Lineares

Objetivos

Reconhecer e aplicar as propriedades das transforma c~oes lineares.

Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de fun c~ao - as transforma c~oes lineares, que s~ao fun c~oes de nidas entre espa cos vetoriais e com caracter sticas que as tornam muito uteis, em uma gama imensa de problemas e situa c~oes da Matem atica, F sica, Engenharia e Computa c~ao, entre outras areas de estudo e trabalho.

Nesta aula veremos v arias propriedades das transforma c~oes lineares.

Em especial, veremos um fato muito importante, que e o seguinte: para determinar uma transforma c~ao linear T : V → W, basta conhecer seus valores em uma base qualquer de V .

Propriedades das transforma c~oes lineares

Sejam V e W espa cos vetoriais e T : V ! W uma transforma c~ao linear. Valem as seguintes propriedades:

(i) T(0V ) = 0W Em palavras: uma transforma c~ao linear leva o vetor nulo do dom nio ao vetor nulo do contra-dom nio. Esta propriedade j a foi demonstrada na aula 18.

Em palavras: A imagem do vetor oposto e o oposto da imagem do vetor.

Devemos mostrar que 0W 2 T(U) e que T(U) e fechado para soma de vetores e multiplica c~ao por escalar.

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