Apostila de Álgebra linear III

Apostila de Álgebra linear III

(Parte 3 de 8)

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Álgebra Linear 1 Propriedades das Transforma c~oes Lineares

Em palavras: A imagem de uma combina c~ao linear de vetores de V e uma combina c~ao linear das imagens desses vetores, com os mesmos coe cientes.

Esta propriedade j a foi apresentada na Aula 18. Vamos dar aqui uma demonstra c~ao usando indu c~ao sobre n.

O caso n = 1 segue diretamente da de ni c~ao de transforma c~ao linear,

Vamos provar que vale para n = k + 1 :

isto e, vale a propriedade para n = k+1, o que conclui a demonstra c~ao.

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Propriedades das Transforma c~oes Lineares M ODULO 3 - AULA 19

Demonstra c~ao. Seja fv1;v2;:::;vng um conjunto gerador de V . Seja w um vetor na imagem de T, isto e, existe v em V tal que w = T(v). Ent~ao

Demonstra c~ao. Seja a combina c~ao linear

Vamos aplicar a transforma c~ao T a ambos os lados dessa igualdade:

Exemplo 1 Sejam V um espa co vetorial e u 2 V . A aplica c~ao

propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplica c~ao e o operador identidade de V , que e linear.

Exemplo 12 A rec proca da propriedade (vi) n~ao e verdadeira, isto e, e poss vel termos um conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um

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Álgebra Linear 1 Propriedades das Transforma c~oes Lineares conjunto LD em W. Considere, por exemplo, o operador proje c~ao ortogonal sobre o eixo x, de nido em R2, isto e, a transforma c~ao linear tal que T(x;y) =

T(x,y)=(x,0)

Uma caracter stica importante das transforma c~os lineares e que elas cam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma base do dom nio. Isto e, dada uma transforma c~ao linear T : V ! W, se conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter a express~ao de T(v), para um vetor v gen erico de V . O exemplo a seguir mostra esse procedimento:

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Vamos ver como fazer no caso em que a base na qual a transforma c~ao linear e conhecida n~ao seja a canonica:

bi-dimensional, uma forma r apida de veri car que s~ao LI e calcular o determinante formado pelas suas coordenadas e constatar que e diferente de zero. Deixamos isso com voce, como exerc cio (!).

A seguir, escrevemos um vetor gen erico do espa co como uma combina c~ao linear dos vetores dessa base:

Resolvendo o sistema, obtemos a = y e b = x+y2 . Portanto,

Usando a linearidade de T, obtemos

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Resolvendo o sistema, obtemos

Exemplo 16 Dado um espa co vetorial V , um funcional linear de nido em V e uma trans- forma c~ao linear f : V ! R. Considere o funcional linear f de nido em R2 Note que o conjunto dos

Novamente, come camos conferindo que os vetores (1;1) e (2;1) formam uma base de R2. Escrevemos, ent~ao, um vetor gen erico (x;y), como

Exemplo 17 Em rela c~ao ao funcional linear de nido no exemplo acima, vamos procurar os vetores v de R2 tais que f(v) = 0. Isto e, queremos (x;y) tal que f(x;y) = x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x; x). Logo, h a in nitos vetores de R2 que s~ao levados ao zero, pelo funcional f - a saber, todo vetor do conjunto f(x; x)jx 2 Rg.

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Para nalizar, um exemplo no espa co dos polinomios:

Exemplo 18

A seguir, escrevemos o vetor gen erico de P3(R) nessa base:

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Resumo

Nesta aula estudamos as propriedades das transforma c~oes lineares. O fato mais relevante e que podemos determinar uma transforma c~ao linear a partir da sua aplica c~ao nos vetores de uma base, apenas. Assim, o n umero de informa c~oes necess arias a respeito de uma transforma c~ao linear, para que a conhe camos completamente, e igual a dimens~ao do espa co vetorial no qual ela e de nida. Isso e uma especi cidade das transforma c~oes lineares: nenhuma outra fun c~ao permite uma manipula c~ao t~ao simples. E por essa qualidade, em particular, que as transforma c~oes lineares s~ao, por excelencia, as fun c~oes usadas na Computa c~ao em geral.

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entre em contato com o tutor da disciplina. Evamos em frente!!

Voce dever a assimilar o signi cado de cada propriedade vista. A primeira delas e extremamente util para rapidamente identi car algumas transforma c~oes que n~ao s~ao lineares, por n~ao levarem o vetor nulo do dom nio ao vetor nulo do contra-dom nio. A transla c~ao e o exemplo mais importante disso. Al em disso, voce deve se familiarizar com a t ecnica de encontrar uma transforma c~ao linear a partir de seus valores nos vetores de uma base do dom nio. Veja que os exerc cios s~ao repetitivos: mudam o espa co e a base considerada, mas a estrutura se repete. Caso voce tenha alguma d uvida,

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Aula 20 { N ucleo e Imagem de uma Transforma c~ao Linear

Objetivos

Determinar o n ucleo e a imagem de uma transforma c~ao linear. Identi car o n ucleo de uma transforma c~ao linear como um subespa co do dom nio. Identi car a imagem de uma transforma c~ao linear como um subespa co do contra-dom nio.

Na aula 19 mencionamos a imagem de uma transforma c~ao linear. Nesta aula de niremos o n ucleo de uma transforma c~ao linear e mostraremos que, tanto o n ucleo, como a imagem, possuem estrutura de espa co vetorial.

N ucleo de uma transforma c~ao linear

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