Apostila de Álgebra linear III

Apostila de Álgebra linear III

(Parte 4 de 8)

Sejam V e W espa cos vetoriais e T : V → W uma transforma c~ao linear. Chamamos de n ucleo de T, representado por N(T), o seguinte conjunto:

Em palavras: o n ucleo de uma transforma c~ao linear e o subconjunto do

Alguns textos usam a nota c~ao ker(T), pois n ucleo, em ingles, e kernel.

dom nio formado pelos vetores que s~ao levados ao vetor nulo do contradom nio.

Dominio Nucleo

Imagem 0

Figura 1:

Exemplo 19 Seja T : V ! W a transforma c~ao linear nula, isto e, a transforma c~ao tal

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Álgebra Linear 1 N ucleo e Imagem de uma Transforma c~ao Linear

• O n ucleo da transforma c~ao identidade, de nida no espa co vetorial V , e o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de V .

A proje c~ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2, e uma transforma c~ao linear cujo n ucleo e o eixo dos y.

Exemplo 20 O n ucleo da transforma c~ao linear T : R2 ! R3 dada por

Exemplo 21 Seja T : R4 ! R3 a transforma c~ao linear dada por

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Imagem de uma transforma c~ao linear

Sejam V e W espa cos vetoriais e T : V → W uma transforma c~ao linear.

A imagem de T, representado por Im(T), e o conjunto de todos os vetores de W da forma T(v), para algum v 2 V , isto e

Exemplo 2 Se T : V ! W e a transforma c~ao linear nula, isto e, tal que T(v) =

0W;8v 2 V , sua imagem e o conjunto formado apenas pelo vetor nulo de W.

A imagem da transforma c~ao identidade, de nida no espa co vetorial V , e o espa co V .

A proje c~ao ortogonal sobre o eixo dos x, em R2 e uma transforma c~ao linear cuja imagem e o eixo dos x.

Exemplo 23 Vamos determinar a imagem da transforma c~ao linear T : R2 ! R3 dada por

tenha solu c~ao. Isso equivale a analisar as condi c~oes para que o sistema ><>:

admita solu c~ao. Escalonando, obtemos o seguinte sistema equivalente:8><>:

Note que a representa c~ao geom etrica de Im(T) e um plano passando pela origem. Voce se lembra? Os subespa cos de R3 s~ao as retas e os planos passando pela origem, al em do subespa co nulo e do pr oprio R3.

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Álgebra Linear 1 N ucleo e Imagem de uma Transforma c~ao Linear

Exemplo 24 Seja T : R4 → R3 a transforma c~ao linear dada por

Queremos determinar as condi c~oes para que um vetor (a;b;c), de R3 seja a imagem, por T, de algum vetor de R4. Como no exemplo anterior, queremos

admita solu c~ao. Escalonando, chegamos ao sistema equivalente8><>:

que e compat vel para quaisquer valores de a;b e c. Logo, todo vetor (a;b;c) 2 R3 pertence a imagem de T, ou seja, Im(T) = R3.

Voce j a deve ter se dado conta de que as transforma c~oes lineares possuem propriedades realmente especiais, que n~ao encontramos nas demais fun c~oes. O n ucleo e a imagem de uma transforma c~ao linear n~ao s~ao apenas conjuntos: ambos apresentam estrutura de espa co vetorial, como mostraremos nos resultados a seguir.

Teorema 1 Sejam V e W espa cos vetoriais e T : V ! W uma transforma c~ao linear. O n ucleo de T e subespa co vetorial de V .

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Teorema 2 Sejam V e W espa cos vetoriais e T : V → W uma transforma c~ao linear. A imagem de T e subespa co vetorial de W.

A imagem de T n~ao e vazia, pois 0W e a imagem de 0V .

Uma vez provado que o n ucleo e a imagem s~ao subespa cos vetoriais, o pr oximo passo e determinar a dimens~ao e obter uma base para cada um. E o que faremos nos exemplos seguintes.

Exemplo 25 Dada a transforma c~ao linear T : R3 ! R3 dada por determine uma base e a dimens~ao de seu n ucleo e de sua imagem.

Vamos determinar o n ucleo de T. Queremos encontrar os vetores (x;y;z) de R3 tais que

Essa igualdade leva a um sistema linear que, escalonado, fornece8><>:

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Álgebra Linear 1 N ucleo e Imagem de uma Transforma c~ao Linear

Os dois pr oximos exemplos \invertem"o processo: vamos determinar uma transforma c~ao linear (ela n~ao ser a unica) a partir do seu n ucleo ou de sua imagem.

Vimos, na aula passada, que uma transforma c~ao linear ca completamente determinada se a conhecemos nos vetores de uma base de seu dom nio. Consideremos, por simplicidade, a base canonica de R3 e vamos determinar as imagens dos vetores dessa base, por T:

Note que a escolha de T neste exemplo n~ao e de forma alguma unica.

Aqui, tamb em, vamos de nir uma transforma c~ao linear numa base de

R3, mas esta base deve conter os vetores dados. Isto e, vamos completar o conjunto f(1;2;3);(1;1;1)g para que se torne uma base de R3. Para isso, devemos escolher um vetor (x;y;z) tal que o conjunto f(1;2;3);(1;1;1);(x;y;z)g seja LI. Em outras palavras, basta que seja um vetor tal que o determinante formado pelas coordenadas dos 3 vetores do conjunto seja diferente de zero.

Isto e: ∣

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Podemos considerar, por exemplo, o vetor (1,0;0). Temos, ent~ao, uma base de R3 em cujos vetores iremos de nir a transforma c~ao:

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