Apostila de Álgebra linear III

Apostila de Álgebra linear III

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Se vale a propriedade acima, temos que

Assim, entre as tranforma c~oes lineares, as injetoras s~ao aquelas em que apenas o vetor nulo e levado no vetor nulo, isto e T e injetora quando N(T) = 0.

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Teorema do N ucleo e da Imagem M ODULO 3 - AULA 21

Resumindo, em termos dos subespa cos Im(T) e N(T), temos o seguinte:

Vamos agora provar uma conseq uencia muito interessante do teorema do n ucleo e da imagem.

Teorema 2 Uma transforma c~ao linear entre espa cos vetorias de mesma dimens~ao nita e injetora se, e somente se, e sobrejetora.

Isto e verdade porque, se T : V ! W e n = dimV = dimW, ent~ao, como pelo teorema do n ucleo e da imagem, n = dimN(T) + dimIm(T), temos

Em geral, se U e subespa co de W e dimU = dimW ent~ao U = W.

Uma caracter stica importante das transforma c~oes lineares bijetoras e que levam uma base em uma base. Mais precisamente:

Teorema 3 Seja T : V ! W uma transforma c~ao linear entre os espa cos V e W. Ent~ao T e bijetora se, e somente se, T leva uma base de V em uma base de W.

Suponha que T leve uma base de V em uma base de W. Seja n = dimV

Portanto, T e sobrejetora.

Pelo teorema anterior, como T e uma transforma c~ao linear sobrejetora entre espa cos de mesma dimens~ao, ent~ao T e bijetora.

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Álgebra Linear 1 Teorema do N ucleo e da Imagem

Suponha agora que T seja uma transforma c~ao linear bijetora. Seja

Como T e injetora ent~ao

Isomor smos e automor smos

Um isomor smo dos espa cos vetorias V em W e uma aplica c~ao linear

T : V ! W que e bijetora. Dizemos que dois espa cos vetoriais V e W s~ao isomorfos quando existe algum isomor smo T : V ! W.

Vimos, no Teorema 3, que, se T e um isomor smo entre V e W, ent~ao

T leva uma base de V em uma base de W. Conseq uentemente, V e W tem a mesma dimens~ao. Isto e, espa cos vetoriais isomorfos tem a mesma dimens~ao.

um isomor smo T : V ! V e chamado automor smo de V .

Exemplo 31 1. O operador identidade I: V ! V e um automor smo de V , para qualquer espa co vetorial V .

isomor smo de R2 no espa co P1(R) dos polinomios de grau menor ou igual a 1 e coe cientes reais.

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Teorema do N ucleo e da Imagem M ODULO 3 - AULA 21

Resumo

O resultado mais importante desta aula e o teorema do n ucleo e da imagem (Teorema 1).

Provamos, como conseq uencia do Teorema 1, que uma transforma c~ao entre espa cos de mesma dimens~ao e injetora se, e somente se, e sobrejetora.

Provamos tambem que as transforma c~oes lineares bijetoras s~ao caracterizadas pela propriedade de levarem base em base.

(a) Determine o n ucleo de T. (b) Determine a imagem de T.

(a) Determine o n ucleo de T. (b) Determine a imagem de T.

3. Mostre que a aplica c~ao linear T : R3 ! R3 dada por

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Álgebra Linear 1 Teorema do N ucleo e da Imagem

Portanto T e transforma c~ao linear injetora entre espa cos de mesma dimens~ao, o que implica que e bijetora.

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Representa c~ao Matricial de uma Transforma c~ao Linear M ODULO 3 - AULA 2

Aula 2 { Representa c~ao Matricial de uma Transforma c~ao Linear

Objetivos

Determinar a representa c~ao matricial de uma transforma c~ao linear; Determinar uma transforma c~ao linear a partir de sua representa c~ao matricial;

Na aula 18, vimos que toda transforma c~ao matricial e linear. Num sentido inverso, mostraremos agora que toda transforma c~ao linear entre Na aula 18 dissemos que far amos isso na aula 23, mas resolvemos adiantar esse t opico!! espa cos vetoriais de dimens~ao nita e matricial, isto e, pode ser representada por uma matriz, de modo que sua aplica c~ao a um vetor do dom nio se resuma a multiplicar essa matriz pelo vetor. Veremos que os elementos dessa matriz dependem das bases escolhidas, tanto para o dom nio quanto para o contradom nio, como obte-la e como aplic a-la em exerc cios.

Dados V e W, espa cos vetoriais, e T : V → W, linear, queremos determinar uma matriz M que nos possibilite escrever:

Sejam: V : espa co vetorial, de dimens~ao n; W: espa co vetorial, de dimens~ao m;

Primeiramente, como v 2 V , e A e base de V , podemos escrever v como combina c~ao linear dos vetores de A, isto e, existem escalares 1; 2;:::; n tais

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Álgebra Linear 1 Representa c~ao Matricial de uma Transforma c~ao Linear

Usando (1) e a linearidade de T, podemos escrever:

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