Exercícios Transformações Lineares

Exercícios Transformações Lineares

(Parte 1 de 3)

Exercícios Transformações lineares

  1. Mostre que cada uma das aplicações seguintes é uma transformação linear de R2 em R2. Descre­va geometricamente o que cada uma delas faz.

(a) (b) (c)

(d) (e)

  1. Seja L a transformação linear de R2em si mesmo definida por

L(x) =

Expresse x1, x2e L(x) em coordenadas polares. Descreva geometricamente o efeito dessa transformação linear.

  1. Seja a um vetor fixo não-nulo em R2. Uma aplicação da forma

L{x) = x + a

é chamada de translação. Mostre que uma translação não e uma transformação linear. Ilustre geometricamente o efeito de uma translação.

  1. Determine se as transformações de R3em R2a seguir são ou não lineares.

(a) (b)

(c) (d)

  1. Determine se as transformações de R2 em R3 a seguir são ou não lineares.

(a) (b)

(c) (d)

  1. Determine se as transformações de em a seguir são ou não lineares.

(a) L(A) = 2A (b) L(A) = AT

(c) L(A) = A + 1 (d) L(A) = A - AT

  1. Determine se as transformações de P2em P3 a seguir são ou não lineares.

(a) L(p(x))=xp(x)

(b)

(c)

  1. Para cada C[0, 1], defina L(f) = F, onde

Mostre que L éuma transformação linear de C[0, 1] em C[0, 1]. Depois, encontre e .

  1. Determine se as transformações de C[0, 1] em R1a seguir são ou não lineares.

(a) (b)

(c) (d)

  1. Se L é uma transformação linear de V em W, use indução matemática para provar que

=

  1. Seja {v1, ..., vn} uma base para um espaço vetorial V e sejam L1e L2 duas transformações line­ares de Vem um espaço vetorial W. Mostre que, se

para cada i = 1, ..., n, então L1 = L2[isto é, mostre que L1(v) = L2(v) para todo v V].

  1. Seja L, uma transformação linear de R1em R2 eseja a = L(1). Mostre que L(x) = ax para todo x R1.

  1. Seja L um operador linear de um espaço vetorial V nele mesmo. Defina, por recursão, o operador Ln, n 1 da seguinte maneira:

para todo v V

Mostre que Lnéum operador linear para todo n 1.

  1. Sejam e transformações lineares e seja L = i, o L, a transformação definida por

para u U. Mostre que L éuma transformação linear de U em W.

  1. Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares de R3 em R3.

(a)

(b)

(c)

  1. Seja S o subespaço de R3gerado por e1 e e2. Para cada um dos operadores lineares no Exercício 15, determine L(S).

  1. Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares de P3 em P3 dadas a seguir.

(a) L(p(x))= xp'(x)

(b) L(p(x)) = p(x) - p'(x)

(c) L(p(x)) = p(x) + p(l)

  1. Seja uma transformação linear e seja T um subespaço de W. A imagem inversa de T, denotada por ,é definida por

Mostre que é um subespaço de V.

  1. Uma transformação linear é dita injetora se L(v1) = L(v2) implica que v1 = v2 (isto é,dois vetores distintos v1 e v2 V não podem ser levados no mesmo vetor w W). Mostre que L e injetora se e somente se ker(L) = {0v}.

  1. Um operador linear édito sobrejetor se L(V) = W. Mostre que o operador definido por

é sobrejetor.

  1. Quais dos operadores no Exercício 15 são injetores? Quais são sobrejetores?

  1. Seja A uma matriz 2 X 2 e seja LAo operador definido por

LA(x) = Ax

Mostre que:

(a) LA leva R2no espaço coluna de A;

(b) se A éinvertível, então LAésobrejetora de R2em R2.

  1. Seja D ooperador derivada em P3e seja

Mostre que:

(a) D de P3em P2 é sobrejetora, mas não é injetora;

(b) é injetora, mas não e sobrejetora.

Exercícios Representação matricial de transformações lineares

(Parte 1 de 3)

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