Exercícios Álgebra Linear

Exercícios Álgebra Linear

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Exercícios de Álgebra Linear

1o Semestre 2006/2007 João Ferreira Alves

Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:

Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas de equações lineares:

Exercício 3 Considere o sistema de equações lineares

e calcule os vectores (b1,b2,b3) ∈ R3 para os quais o sistema é possível.

Exercício 4 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja:

Exercício 5 Sempre que possível calcule:

Exercício 6 Mostre que a inversa de uma matriz A ∈ Rn×n, quando existe, é única.

Exercício 7 Mostre que se as matrizes A e B ∈ Rn×n são invertíveis, então também AB é invertível, tendo-se ainda (AB)−1 = B−1A−1.

Exercício 8 Mostre que qualquer matriz invertível se pode decompor no produto de matrizes elementares.

Exercício 9 Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

Exercício 10 Utilizando o exercício anterior, resolva os sistemas de equações lineares:

Exercício 1 Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis

Exercício 12 Sabendo que ∣∣∣∣∣∣ a b c d e f calcule:

d e f g h i a b c a+d b+e c +f d e f g h i

Exercício 13 Sabendo que os valores reais γ e δ são tais que:∣∣∣∣∣∣

Exercício 14 Considere as matrizes

Exercício 16 Calcule o determinante da matriz

λ λ λλ
1 λ + 1 11
1 1 λ + 11

Exercício 18 Recorra à regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes:

Exercício 19 Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:

Exercício 20 Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares:

Soluções 1) a) Sistema possível e determinado: S = {(3,−1)}; b) Sistema indeterminado com uma in- cógnita livre: S = {( y,y) : y ∈ R} ; c) Sistema impossível S = ∅; d) Sistema impos-

sível: S = ∅; e) Sistema possível e determinado: S = {(−1,0,1)}; f) Sistema impossível: S = ∅; g) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(5z,−3z,z) : z ∈ R}; h) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(−2z,z,z) : z ∈ R}; i) Sistema indeterminado com duas incógnitas livres:

: x2,x4 ∈ R} ; j) Sistema indeterminado com duas in-

a) Se α = 1 o sistema é possível e determinado; se α = 1 e β = 20 o sistema é indeterminado; se α = 1 e β = 20 o sistema é impossível. b) Se α = 0 e α = 6 o sistema é possível e determinado; se α = 0 e β = −2/3 o sistema é indeterminado; se α = 0 e β = −2/3 o sistema é impossível; se α = 6 e β = −2/63 o sistema é indeterminado; se α = 6 e β = −2/63 o sistema é impossível.

] ; b) não é possível; c) não é possível; d) [4]; e) a) A matriz não é invertível; b) f) A matriz não é invertível; g) a)det

Espaços Lineares a) Mostre que o vector (−5,−5) é combinação linear dos vectores S. b) Mostre que o vector (1,0) não é combinação linear dos vectores S. c) O conjunto S gera R2? d) Determine a forma geral dos vectores (a,b) ∈ L(S).

a) Mostre que o vector (2,3,3) é combinação linear dos vectores S. b) Mostre que o vector (0,0,1) não é combinação linear dos vectores S. c) O conjunto S gera R3? d) Determine a forma geral dos vectores (a,b,c) ∈ L(S).

Exercício 23 Sendo A uma matriz com m linhas, mostre que as colunas de A geram Rm se e só se a característica de A é igual a m.

Exercício 24 Mostre, com base no exercício anterior, que em Rm qualquer conjunto com menos de m vectores não gera Rm.

Exercício 25 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3:

Exercício 26 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R4:

Exercício 27 Calcule o único valor de a que faz com que

Exercício 30 Mostre que os seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes:

Exercício 31 Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:

Exercício 32 Mostre que as colunas de uma matriz A são linearmente independentes se e só se a característica de A é igual ao número de colunas de A.

Exercício 3 Mostre, com base no exercício anterior, que em Rm qualquer conjunto com mais de m vectores é linearmente dependente.

Exercício 34 Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:

Exercício 35 Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de R4

Exercício 36 Considere em P2 (espaço dos polinómios com grau ≤ 2) o conjunto S = {1 + t,1 − t2}.

a) Mostre que o vector t + t2 é combinação linear dos vectores de S. b) Mostre que o vector t não é combinação linear dos vectores de S.

c) O conjunto S gera P2? d) Determine a forma geral dos vectores p(t) ∈ L(S).

Exercício 37 Mostre que os polinómios geram P2.

Exercício 38 Considere espaço vectorial das funções reais de variável real. Mostre que cada um dos seguintes conjuntos é linearmente dependente.

Exercício 39 No espaço vectorial das funções reais de variável real considere n vectores f1 : R → R,

f1 (t1) f2 (t1)fn (t1)
f1 (t2) f2 (t2)fn (t2)
f1 (tn) f2 (tn)fn (tn)

então os vectores f1, f2,..., fn são linearmente independentes.

Exercício 40 Mostre, recorrendo ao exercício anterior, que os conjuntos de vectores{ 1, t, et} e {sin(t), cos(t), t cos(t)} são linearmente independentes. Sugestão: no primeiro caso faça t1 = 0, t2 = 1, t3 = −1, no segundo faça t1 = 0, t2 = π/2, t3 = π.

a) Linearmente independentes; b) Linearmente independentes; c) Linearmente dependentes; d) Linearmente dependentes; e) Linearmente dependentes; f) Linearmente independentes; g) Linearmente independentes; h) Linearmente dependentes.

Bases e dimensão

Exercício 41 Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com m linhas constituem uma base de Rm se e só se A é uma matriz invertível.

Exercício 42 Mostre que em Rm quaisquer m vectores linearmente independentes constituem uma base de Rm. Mostre que em Rm quaisquer m geradores constituem uma base de Rm.

Exercício 43 Mostre que qualquer base de Rm tem m vectores. Exercício 4 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R2:

Exercício 45 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R3:

Exercício 46 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R4:

a) Qual é o vector de R2 que nesta base tem coordenadas (2,2)? b) Calcule as coordenadas do vector (3,5) nesta base. c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (a,b) ∈ R2 nesta base.

Exercício 48 Seja B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} a base de R3 constituída pelos vectores

a) Qual é o vector de R3 que nesta base tem coordenadas (0,3,5)? b) Calcule as coordenadas do vector (2,0,1) nesta base. c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (a,b,c) ∈ R3 nesta base.

a) Mostre que B é uma base de P2. b) Qual é o polinómio que nesta base tem coordenadas (1,3,−2)? c) Calcule as coordenadas do vector 2 + 2t − t2 nesta base. d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um polinómio a + bt + ct2 nesta base.

Exercício 50 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificando os que são subespaços lineares de R2:

Exercício 51 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificando os que são subespaços lineares de R3:

Exercício 52 Para cada uma das seguintes matrizes, calcule bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo. Calcule ainda a característica e a nulidade:

Exercício 53 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços lineares:

Exercício 54 Mostre que se U e V são subespaços de um espaço linear E, então também U ∩ V é um subespaço de E. Mostre ainda que U ∪ V é um subespaço de E se e só U ⊆ V ou V ⊆ U.

Exercício 5 Mostre que se U e V são subespaços de um espaço linear E, então subconjunto

é o menor subespaço de E que contém U ∪ V .

Exercício 56 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de R3:

Exercício 57 Considere o espaço linear P3 (polinómios com grau menor ou igual a 3) a) Mostre que o conjunto {p(t) ∈ P3 : p(0) = 0} é um subespaço linear de P3. Calcule uma base para este subespaço. b) Mostre que o conjunto {p(t) ∈ P3 : p(1) = 0} é um subespaço linear de P3. Calcule uma base para este subespaço. c) Mostre que o conjunto {p(t) ∈ P3 : p(1) = p(0)} é um subespaço linear de P3. Calcule uma base para este subespaço.

Exercício 58 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considere o subconjunto S = {f ∈ V : f′′ − 2f′ + f = 0}.

a) Mostre que S é um subespaço linear de V b) Mostre que o conjunto {et,tet} é uma base de S. Sugestão: mostre que se f ∈ S, então f(t)e−t é um polinómio com grau ≤ 1. c) Mostre que, dados a e b ∈ R, existe uma e uma só função f ∈ S tal que f(0) = a e f′(0) = b. Sugestão: tenha em conta que o conjunto {et,tet} é uma base de S.

a) É subespaço de R2; b) É subespaço de R2; c) É subespaço de R2; d) Não é subespaço de R2; e) Não é subespaço de R2.

a) É subespaço de R3; b) Não é subespaço de R3; c) É subespaço de R3; d) Não é subespaço de R3; e) Não é subespaço de R3; f) Não é subespaço de R3.

Tranformações Lineares

Exercício 59 Determine quais das seguintes transformações são lineares:

Exercício 60 Considere a transformação linear T : R2 → R2 definida por T(x,y) = (2x + y,x + 2y). Calcule a representação matricial de T na base B = {−→v 1,−→v 2} quando:

Exercício 61 Considere a transformação linear T : R3 → R3 definida por

Calcule a representação matricial de T na base B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} quando:

Exercício 62 Considere a transformação linear T : R3 → R2 definida por T(x,y,z) = (2x + y,z + 3y).

Exercício 63 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base canónica de R2 é representada

Calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada:

Exercício 64 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é representada por

calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada:

Exercício 65 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base canónica de R2 é representada

Calcule T (x,y).

representada por [ 3 2

Calcule T (x,y).

Exercício 67 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é representada por

Exercício 69 Calcule bases para o espaço nulo e para a imagem de cada uma das seguintes transformações lineares.

representada pela matriz [ 3 3

Calcule bases para o espaço nulo e para a imagem de T.

Exercício 71 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base

é representada pela matriz

Calcule bases para o espaço nulo e para a imagem de T.

Exercício 72 Seja T : Rn → Rm uma transformação linear e A a matriz que representa T nas bases canónicas de Rn e Rm. Comente as seguintes afirmações:

a) A dimensão do núcleo de T coincide com a nulidade de A; b) T é injectiva se e só se a nulidade de A é igual a zero; c) T é injectiva se e só se a característica de A coincide com o número de colunas de A; d) A dimensão da imagem de T coincide com a característica de A; e) T é sobrejectiva se e só a característica de A coincide com o número de linhas de A.

Exercício 73 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x,y,z) = (x + y,x + y − z).

a) Calcule a matriz que representa T na base canónica. b) Calcule uma base para o núcleo de T. A transformação T é injectiva? c) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva? d) Resolva a equação T(x,y,z) = (1,1) e) Existe algum vector (a,b) ∈ R2 para o qual a equação T(x,y,z) = (a,b) é impossível? f) Existe algum vector (a,b) ∈ R2 para o qual a equação T(x,y,z) = (a,b) é possível e determinada?

Exercício 74 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é representada pela matriz

a) Calcule uma base para o núcleo de T. T é injectiva? b) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva? c) Resolva a equação T(x,y,z) = (3,3,0) d) Existe algum vector (a,b,c) ∈ R3 para o qual a equação T(x,y,z) = (a,b,c) é impossível? e) Existe algum vector (a,b,c) ∈ R3 para o qual a equação T(x,y,z) = (a,b,c) é indeterminada?

representada por [ 2 4 a) Calcule uma base para o núcleo de T. T é injectiva? b) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva? c) Resolva a equação T(x,y) = (3,2) d) Existe algum vector (a,b) ∈ R2 para o qual a equação T(x,y) = (a,b) é impossível? e) Existe algum vector (a,b) ∈ R2 para o qual a equação T(x,y) = (a,b) é possível e determinada?

a) Calcule uma base para o núcleo de T. T é injectiva? b) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva? c) Mostre que equação T(x,y,z) = (2,4,0) não tem soluções. e) Existe algum vector (a,b,c) ∈ R3 para o qual a equação T(x,y,z) = (a,b,c) é indeterminada;

Exercício 7 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T (x,y) = (x + y,x + 2y).

a) Calcule a matriz que representa T na base canónica. b) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(x,y). c) Resolva a equação linear T(x,y) = (1,1).

Exercício 78 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T (x,y,z) = (x + y + z,x + 2y − 4z,z).

a) Calcule a matriz que representa T na base canónica. b) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(x,y,z). c) Resolva a equação linear T(x,y,z) = (1,1,2).

a) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(x,y,z). b) Resolva a equação linear T(x,y,z) = (1,2,1).

Exercício 80 Seja T : P2 → P2 a transformação linear definida por T(p(t)) = p′(t) − 2p(t).

a) Calcule a matriz que representa T na base {p1(t),p2(t),p3(t)} com b) Mostre que T é bijectiva, e calcule a matriz que representa T−1 na mesma

Exercício 81 Seja T : P2 → P2 a transformação linear definida por T(p(t)) = t2p′′(t) − 2p(t).

a) Calcule a matriz que representa T na base {p1(t),p2(t),p3(t)} com b) Calcule uma base para N(T) e conclua que T não é injectiva nem sobrejectiva.

Exercício 82 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considere a transformação linear T : V → V definida por T (f) = f′′ − 2f′ + f.

a) Recorra ao Exercício 58, para encontrar uma base para N (T). b) Sabendo que f(t) ≡ 1 é uma solução da equação linear T (f) = 1, calcule a única solução da mesma equação que verifica f(0) = f′ (0) = 0.

Soluções 60)

,1)} é base de N(T). Uma base para b) {(−1,1,0)} é base de N(T). A transformação T não é injectiva pois dimN(T) = 0.

e) Não existe porque T é sobrejectiva.

f) Como T é sobrejectiva e não injectiva, a equação T(x,y,z) = (a,b) é possível e indeterminada, para qualquer (a,b) ∈ R2.

d) e e) Como T é bijectiva a equação T(x,y,z) = (a,b,c) é possível e determinada para qualquer (a,b,c) ∈ R3.

d) e e) Como T é não injectiva nem sobrejectiva, a equação T(x,y) = (a,b) é impossível ou indeterminada para qualquer (a,b) ∈ R2.

d) e e) Como T é não injectiva nem sobrejectiva, a equação T(x,y,z) = (a,b,c) é impossível ou indeterminada, para qualquer (a,b,c) ∈ R2.

; c) O conjunto das soluções é {−12

Valores e vectores próprios

Exercício 83 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T(x,y) = (x + 2y,2x + y).

Considere os vectores −→v 1 = (2,1), −→v 2 = (−1,1), −→v 3 = (2,3) e −→v 4 = (4,4), e identifique os que são vectores próprios de T. Diga ainda quais são os valores próprios de T.

Exercício 84 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T(x,y,z) = (0,y + 3z,3y + z).

Exercício 86 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T(x,y) = (x + y,x + y).

Mostre que os vectores −→v 1 = (1,−1) e −→v 2 = (1,1) determinam uma base de R2 constituída por vectores próprios de T. Calcule a representação matricial de T nesta base.

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