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Exercícios de Álgebra Linear 1o Semestre 2006/2007 João Ferreira Alves Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares: a) { x+ 2y = 1 x+ 3y = 0 b) { 2x+ 3y = 1 4x+ 6y = 2 c) { 4x+ 5y = 1 12x+ 15y = 0 d)    x+ y = 1 3x− y = 2 x− y = 0 e)    2a+ 2b+ 3c = 1 a+ 2b+ c = 0 a− b+ c = 0 f)    x+ 2y + 3z = 1 4x+ 7y + 7z = 3 2x+ 3y + z = 0 g)    x+ 2y + z = 0 4x+ 10y + 10z = 0 x+ 3y + 4z = 0 h) { 2x+ 3y + z = 0 x+ y + z = 0 i) { 2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2x1 + x2 − x3 + x4 = 3 j)    2x+ 2y + 2z + 3w = 3 x+ y + z + w = 1 3x+ 3y + 3z + 2w = 2 k)    x+ z + 2w = 0 2x+ 3z + 3w = 0 y + 2w = 2 x+ 2z + w = 0 l)    y1 + y3 + 2y4 = 0 y1 + 2y2 + y3 + y4 = 1 y2 + 2y4 = 8 y1 + 2y3 + y4 = 0 Exercício 2 Discuta, em função dos parâmetros α e β, os seguintes sistemas de equações lineares: a)    x+ 4y + 3z = 10 2x+ 7y − 2z = 10 x+ 5y + αz = β b)    2x+ y + z = −6β αx+ 3y + 2z = 2β 2x+ y + (α+ 1) z = 4 . Exercício 3 Considere o sistema de equações lineares    x+ y + 3z = b1 2x+ 2y − z = b2 4x+ 4y + 5z = b3 , e calcule os vectores (b1, b2, b3) ∈ R3 para os quais o sistema é possível. 1 Exercício 4 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: a) S = {(1 + t, 1− t) : t ∈ R}; b) S = {(t, 1− 2t, 1) : t ∈ R}; c) S = {(3t, 2t, t) : s, t ∈ R}; d) S = {(3t, 2s, t− 1) : s, t ∈ R}; e) S = {(1− t, 2s, t) : s, t ∈ R}; Exercício 5 Sempre que possível calcule: a) 2 [ 1 0 2 1 ] + 3 [ 0 2 6 1 ] b) [ 1 2 ] + [ 0 2 ] c) [ 1 0 0 1 ]  2 3 1   d) [ 1 0 2 ]   2 3 1   e) [ 1 0 0 0 ] [ 0 1 1 0 ] f) [ 0 1 1 0 ] [ 1 0 0 0 ] g)   1 2 3 1 0 3   [ 1 0 1 2 1 0 ] h) [ 1 2 0 3 1 1 ]  1 0 1 0 1 0 1 0 1   i)   1 0 0 0 1 0 0 0 1     30 4 2 10 2 20   j)   0 0 1 0 1 0 1 0 0     30 4 2 10 2 20   k)   1 0 0 0 1 0 0 0 3     30 4 2 10 2 20   l)   1 0 0 0 1 0 2 0 1     30 4 2 10 2 20   Exercício 6 Mostre que a inversa de uma matriz A ∈ Rn×n, quando existe, é única. Exercício 7 Mostre que se as matrizes A e B ∈ Rn×n são invertíveis, então também AB é invertível, tendo-se ainda (AB)−1 = B−1A−1. Exercício 8 Mostre que qualquer matriz invertível se pode decompor no produto de matrizes ele- mentares. Exercício 9 Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes: a) [ 0 0 0 0 ] b) [ 1 0 0 1 ] c) [ 1 2 2 1 ] d)   1 0 0 1 1 0 1 1 1   e)   1 −1 0 1 1 −1 0 1 1   f)   1 0 1 0 1 0 3 3 3   g)    1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1    h)    1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 1 −1 1 0    2 Exercício 19 Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes ma- trizes: a)   0 1 2 2 4 1 1 2 0   b)   1 1 0 2 0 1 1 2 2   c)   1 0 0 1 3 0 1 1 1   . Exercício 20 Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares: a)    y + 2z = 1 2x+ 4y + z = 0 x+ 2y = 1 b)    x+ y = 1 2x+ z = 1 x+ 2y + 2z = −1 . Soluções 1) a) Sistema possível e determinado: S = {(3,−1)}; b) Sistema indeterminado com uma in- cógnita livre: S = {( 1 2 − 3 2 y, y ) : y ∈ R } ; c) Sistema impossível S = ∅; d) Sistema impos- sível: S = ∅; e) Sistema possível e determinado: S = {(−1, 0, 1)}; f) Sistema impossível: S = ∅; g) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(5z,−3z, z) : z ∈ R}; h) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(−2z, z, z) : z ∈ R}; i) Sistema indeterminado com duas incógnitas livres: S = {( 1− 1 2 x2 − 12x4, x2,−1, x4 ) : x2, x4 ∈ R } ; j) Sistema indeterminado com duas in- cógnitas livres: S = {(−y − z, y, z, 1) : y, z ∈ R}; k) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(−3w, 2− 2w,w,w) : w ∈ R}; l) Sistema possível e determinado S = {(−9, 2, 3, 3)}. 2) a) Se α = 11 o sistema é possível e determinado; se α = 11 e β = 20 o sistema é indeterminado; se α = 11 e β = 20 o sistema é impossível. b) Se α = 0 e α = 6 o sistema é possível e determinado; se α = 0 e β = −2/3 o sistema é indeterminado; se α = 0 e β = −2/3 o sistema é impossível; se α = 6 e β = −2/63 o sistema é indeterminado; se α = 6 e β = −2/63 o sistema é impossível. 3) b3 − 2b1 − b2 = 0. 4) a) x1 + x2 = 2; b) { 2x1 + x2 = 1 x3 = 1 ; c) { x1 − 3x3 = 0 x2 − 2x3 = 0 ; d) x1 + 0x2 − 3x3 = 3; e) x1 + 0x2 + x3 = 1 5) a) [ 2 6 22 5 ] ; b) não é possível; c) não é possível; d) [4]; e) [ 0 1 0 0 ] ; f) [ 0 0 1 0 ] ; 5 g)   5 2 1 5 1 3 6 3 0  ; h) [ 1 2 1 4 1 4 ] ; i)   30 4 2 10 2 20  ; j)   2 20 2 10 30 4  ; k)   30 4 2 10 6 60  ; l)   30 4 2 10 62 28  . 9) a) Amatriz não é invertível; b) [ 1 0 0 1 ] ; c) [ −1 3 2 3 2 3 −1 3 ] ; d)   1 0 0 −1 1 0 0 −1 1  ; e)   2 3 1 3 1 3 −1 3 1 3 1 3 1 3 −1 3 2 3  ; f) A matriz não é invertível; g)    1 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −2 0 0 0 1   ; h)    1 1 −1 1 1 0 0 −1 0 −1 1 −1 −1 1 0 1   . 10) a) (0, 0,−1); b) (4, 0,−3, 1) 11) a)det [ 1 2 2 1 ] = −3;b) det [ 1 1 1 1 ] = 0;c) det   1 0 3 0 3 1 0 0 3   = 9;d) det   1 0 0 1 1 0 1 1 1   = 1; e) det   3 0 0 0 1 −2 0 5 0   = 30; f) det   1 −1 1 1 1 3 0 1 1   = 0; g) det    1 12 22 31 0 3 11 16 0 0 1 10 0 0 0 1    = 3; h) det    1 0 0 3 1 1 0 3 0 3 1 1 0 2 2 2    = 0; i) det    1 0 0 2 0 1 2 3 0 2 1 2 3 3 0 1    = 18. Apenas as matrizes das alíneas b), f) e h) não são invertíveis. 12) a) 5; b) 10; c) 5; d) 10. 13) −δγ. 14) a) −54. b) b) −128; c) −2; d) 1. 16) λn. 18) a) −9; b) −5; c) 16; d) 6; e) 15; f) −45. 19) 6 a)   −2 1 0 4 −2 1 −7 4 −2  ; b)   −2 −3 4 −2 2 −1 1 −1 −2  ; c)   3 −1 −2 0 1 −1 0 0 3  . 20) a) (−9, 5,−2); b) (1, 0,−1). Espaços Lineares Exercício 21 Considere em R2 o conjunto S = {(1, 1) , (2, 2)}. a) Mostre que o vector (−5,−5) é combinação linear dos vectores S. b) Mostre que o vector (1, 0) não é combinação linear dos vectores S. c) O conjunto S gera R2? d) Determine a forma geral dos vectores (a, b) ∈ L(S). Exercício 22 Considere em R3 o conjunto S = {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (1, 2, 2)}. a) Mostre que o vector (2, 3, 3) é combinação linear dos vectores S. b) Mostre que o vector (0, 0, 1) não é combinação linear dos vectores S. c) O conjunto S gera R3? d) Determine a forma geral dos vectores (a, b, c) ∈ L(S). Exercício 23 Sendo A uma matriz com m linhas, mostre que as colunas de A geram Rm se e só se a característica de A é igual a m. Exercício 24 Mostre, com base no exercício anterior, que em Rm qualquer conjunto com menos de m vectores não gera Rm. Exercício 25 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R3: a) {(1, 3, 3) , (4, 6, 4) , (−2, 0, 2) , (3, 3, 1)}; b) {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)}; c) {(1, 4, 2) , (0, 0, 0) , (−1,−3,−1) , (0, 1, 1)}. d) {(26, 47, 29) , (123, 0, 498)}. Exercício 26 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R4: a) {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) , (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 1, 0) , (0, 1, 1,−1)}; b) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)}; c) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1)}; d) {(11,−12, 1, 1) , (45, 17, 1, 20) , (21, 3, 41, 122)}. Exercício 27 Calcule o único valor de a que faz com que S = {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (0, 2, 0) , (3, 2, a)} não seja um conjunto gerador de R3. 7 34) a) Linearmente independentes; b) Linearmente independentes; c) Linearmente depen- dentes; d) Linearmente dependentes; e) Linearmente dependentes; f) Linearmente inde- pendentes; g) Linearmente independentes; h) Linearmente dependentes. 35) a = 2. 36) c) S não gera P2; d) L(S) = {c− b+ bt+ ct2 : b, c ∈ R2}. Bases e dimensão Exercício 41 Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com m linhas constituem uma base de Rm se e só se A é uma matriz invertível. Exercício 42 Mostre que em Rm quaisquer m vectores linearmente independentes constituem uma base de Rm. Mostre que em Rm quaisquer m geradores constituem uma base de Rm. Exercício 43 Mostre que qualquer base de Rm tem m vectores. Exercício 44 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R2: a) {(1, 0) , (0, 1)}; b) {(1, 1) , (0, 3)}; c) {(1, 0) , (0, 3) , (2, 5)}; d) {(1, 2)}; e) {(1, 1) , (0, 0)}. Exercício 45 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R3: a) {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0)}; b) {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 2, 1)}; c) {(3, 0, 0) , (1, 1, 0) , (2, 2, 2) , (1, 3, 5)} d) {(1, 1, 1) , (2, 2, 0)}. Exercício 46 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R4: a) {(1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (2, 1,−1, 0)}; b) {(1, 3, 0, 0) , (1, 1, 3, 1) , (2, 2, 3, 2) , (2, 3, 3, 2) , (2, 4, 1, 2)}; c) {(2, 0, 0, 2) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 2, 3) , (1, 2, 1, 2)}; d) {(2, 0, 0, 2) , (1, 1, 0, 0) , (1, 2, 1, 2)}. Exercício 47 Seja B = {−→v 1,−→v 2} a base de R2 constituída pelos vectores −→v 1 = (1, 0) e −→v 2 = (1, 1). 10 a) Qual é o vector de R2 que nesta base tem coordenadas (2, 2)? b) Calcule as coordenadas do vector (3, 5) nesta base. c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (a, b) ∈ R2 nesta base. Exercício 48 Seja B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} a base de R3 constituída pelos vectores −→v 1 = (2, 0, 0),−→v 2 = (1, 1, 0) e −→v 3 = (1, 1, 1). a) Qual é o vector de R3 que nesta base tem coordenadas (0, 3, 5)? b) Calcule as coordenadas do vector (2, 0, 1) nesta base. c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector (a, b, c) ∈ R3 nesta base. Exercício 49 Seja B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} o subconjunto de P2 constituído pelos polinómios −→v 1 = 1 + t, −→v 2 = 1 + 2t e −→v 3 = t2 . a) Mostre que B é uma base de P2. b) Qual é o polinómio que nesta base tem coordenadas (1, 3,−2)? c) Calcule as coordenadas do vector 2 + 2t− t2 nesta base. d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um polinómio a+ bt+ ct2 nesta base. Exercício 50 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificando os que são subespaços lineares de R2: a) S = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} ; b) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} ; c) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0 e x− y = 0} ; d) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 1} ; e) S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}. Exercício 51 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificando os que são subespaços lineares de R3: a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0} ; b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 1} c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 e x− y + 2z = 0 } ; d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 1 e x− y + 2z = 0} ; e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1} ; f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0}. 11 Exercício 52 Para cada uma das seguintes matrizes, calcule bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo. Calcule ainda a característica e a nulidade: a) [ 1 0 ] b) [ 1 1 1 1 ] c) [ 1 2 1 1 1 2 ] d)   1 1 2 1 1 2   e)   1 0 0 1 1 0 1 1 1   f)   1 −1 1 1 1 3 0 1 1   g)   1 4 −2 3 3 6 0 3 3 4 2 1   h)    1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 0 1    i)    1 4 2 0 0 0 −1 −3 −1 0 1 1    . Exercício 53 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços lineares: a) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} ; b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + 2z = 0 } ; c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 e x+ y + 2z = 0 } ; d) S = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + z + w = 0 e x+ y + 2z = 0 } ; e) S = L {(1, 1) , (2, 1) , (1, 2)} ; f) S = L {(1,−1, 1) , (1, 1, 3) , (0, 1, 1)} ; g) S = L {(1, 4,−2, 3) , (3, 6, 0, 3) , (3, 4, 2, 1)}. Exercício 54 Mostre que se U e V são subespaços de um espaço linear E, então também U ∩ V é um subespaço de E. Mostre ainda que U ∪ V é um subespaço de E se e só U ⊆ V ou V ⊆ U . Exercício 55 Mostre que se U e V são subespaços de um espaço linear E, então subconjunto U + V def = {−→u +−→v : −→u ∈ U e −→v ∈ V } é o menor subespaço de E que contém U ∪ V . Exercício 56 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de R3: a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 } ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − 3z = 0 } ; b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 } ∩ L {(1, 1, 1) , (0, 1, 1)} ; c) S = L {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)} ∩ L {(1, 1, 1) , (0, 1, 1)} ; d) S = L {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}+ L {(1, 1, 1) , (0, 1, 1)} ; e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 }+ L {(1, 1, 1) , (0, 1, 1)} ; f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 }+ {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − 3z = 0 }. Exercício 57 Considere o espaço linear P3 (polinómios com grau menor ou igual a 3) 12 Exercício 62 Considere a transformação linear T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (2x+ y, z + 3y) . Calcule a representação matricial de T nas bases B1 = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e B2 = {−→v 1,−→v 2} quando: a) −→u 1 = (1, 0, 0), −→u 2 = (0, 1, 0), −→u 3 = (0, 0, 1), −→v 1 = (1, 0), −→v 2 = (0, 1); b) −→u 1 = (0, 2, 0), −→u 2 = (0, 0, 2), −→u 3 = (2, 0, 0), −→v 1 = (1, 0), −→v 2 = (0, 1); c) −→u 1 = (1, 0, 0), −→u 2 = (1, 1, 0), −→u 3 = (1, 1, 1), −→v 1 = (1, 1), −→v 2 = (1, 2); d) −→u 1 = (1, 0, 0), −→u 2 = (0, 1, 0), −→u 3 = (0, 0, 1), −→v 1 = (1, 1), −→v 2 = (1, 2). Exercício 63 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base canónica de R2 é representada por [ 2 1 1 2 ] . Calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada: a) a representação matricial de T na base −→v 1 = (0, 2), −→v 2 = (2, 0); b) a representação matricial de T na base −→v 1 = (1, 1), −→v 2 = (1, 2). Exercício 64 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é representada por   1 1 0 1 0 1 0 1 1   . calcule mediante uma matriz de mudança de base apropriada: a) a representação matricial de T na base −→v 1 = (0, 2, 0), −→v 2 = (0, 0, 2), −→v 3 = (2, 0, 0); b) a representação matricial de T na base −→v 1 = (1, 0, 0), −→v 2 = (1, 1, 0), −→v 3 = (1, 1, 1). Exercício 65 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base canónica de R2 é representada por [ 3 2 1 2 ] . Calcule T (x, y). Exercício 66 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base −→v 1 = (1, 1), −→v 2 = (1, 2) é representada por [ 3 2 1 2 ] . Calcule T (x, y). 15 Exercício 67 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é representada por   1 2 1 1 0 0 0 1 2   . Calcule T (x, y, z). Exercício 68 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que, na base −→v 1 = (1, 0, 0), −→v 2 = (1, 1, 0),−→v 3 = (1, 1, 1) é representada por   1 2 1 1 0 0 0 1 2   . Calcule T (x, y, z). Exercício 69 Calcule bases para o espaço nulo e para a imagem de cada uma das seguintes trans- formações lineares. a) T : R2 → R2, T (x, y) = (2x+ y, 2x+ y); b) T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, x− y); c) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y + z, 2x+ 2y + 2z, y − z); d) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ 2y − z, 2x+ 4y − 2z,−x− 2y + z); e) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x− z, x+ 2z, y + 3z); f) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x− z, y + z); g) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (2x+ y − 3z,−6x− 3y + 9z); h) T : R2 → R3, T (x, y) = (x+ y, x− y, x); i) T : R2 → R3, T (x, y) = (2x+ y, 4x+ 2y, 0); Exercício 70 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base −→v 1 = (1, 1),−→v 2 = (1,−1) é representada pela matriz [ 3 3 2 2 ] . Calcule bases para o espaço nulo e para a imagem de T . Exercício 71 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base −→v 1 = (−1, 1, 1),−→v 2 = (1,−1, 1),−→v 3 = (1, 1,−1) é representada pela matriz   1 2 1 0 2 0 1 2 1   . Calcule bases para o espaço nulo e para a imagem de T . 16 Exercício 72 Seja T : Rn → Rm uma transformação linear e A a matriz que representa T nas bases canónicas de Rn e Rm. Comente as seguintes afirmações: a) A dimensão do núcleo de T coincide com a nulidade de A; b) T é injectiva se e só se a nulidade de A é igual a zero; c) T é injectiva se e só se a característica de A coincide com o número de colunas de A; d) A dimensão da imagem de T coincide com a característica de A; e) T é sobrejectiva se e só a característica de A coincide com o número de linhas de A. Exercício 73 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x+ y, x+ y − z) . a) Calcule a matriz que representa T na base canónica. b) Calcule uma base para o núcleo de T . A transformação T é injectiva? c) Calcule uma base para a imagem de T . T é sobrejectiva? d) Resolva a equação T (x, y, z) = (1, 1) e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x, y, z) = (a, b) é impossível? f) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T (x, y, z) = (a, b) é possível e determinada? Exercício 74 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é representada pela matriz   1 2 2 2 1 4 0 0 2   a) Calcule uma base para o núcleo de T . T é injectiva? b) Calcule uma base para a imagem de T . T é sobrejectiva? c) Resolva a equação T (x, y, z) = (3, 3, 0) d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x, y, z) = (a, b, c) é impossível? e) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T (x, y, z) = (a, b, c) é indeterminada? Exercício 75 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base −→v 1 = (1, 1), −→v 2 = (1, 0) é representada por [ 2 4 1 2 ] . 17 64) a) B =   0 1 1 1 1 0 1 0 1  ; b) B =   0 1 0 1 0 0 0 1 2  . 65) T (x, y) = (3x+ 2y, x+ 2y). 66) T (x, y) = (4x, 4x+ y). 67) T (x, y, z) = (x+ 2y + z, x, y + 2z). 68) T (x, y, z) = (2x+ y, x+ z, y + z). 69) a) {(1,−2)} é base de N(T ) e {(1, 1)} é base de I(T ); b) Tem-se N (T ) = {0}, logo ∅ é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(1, 1) , (1,−1)}; c) Tem-se N (T ) = {(−2z, z, z) : z ∈ R}, logo {(−2, 1, 1)} é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(1, 2, 0) , (1, 2, 1)}; d) Tem-se N (T ) = {(−2y, y, 0) : z ∈ R}, logo {(−2, 1, 0)} é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(1, 2,−1) , (−1,−2,−1)}; e) Tem-se N (T ) = {0}, logo ∅ é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(1, 1, 0) , (0, 0, 1) , (−1, 2, 3)}; f) Tem-se N (T ) = {(z,−z, z) : z ∈ R}, logo {(1,−1, 1)} é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(1, 0) , (0, 1)}; g) Tem-seN (T ) = { (3 2 z − 1 2 y, y, z) : y, z ∈ R } , logo { (−1 2 , 1, 0), (3 2 , 0, 1) } é base deN (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(2,−6)}; h) Tem-se N (T ) = {0}, logo ∅ é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(1, 1, 1) , (1,−1, 0)}; i) Tem-se N (T ) = { (−1 2 y, y) : y ∈ R } , logo { (−1 2 , 1) } é base de N (T ). Uma base para I(T ) pode ser {(2, 4, 0)}. 70) {(0, 1)} é base de N (T ), e {(5, 1)} é base de I(T ). 71) {(−1, 0, 1)} é base de N (T ), {(1, 2, 1) , (0, 2, 0)} é base de I(T ). 73) a) [ 1 1 0 1 1 −1 ] . b) {(−1, 1, 0)} é base de N (T ). A transformação T não é injectiva pois dimN (T ) = 0. c) {(1, 1) , (0,−1)}é base de I(T ). A transformação T é sobrejectiva pois dimI(T ) = 2 = dimR2 d) O conjunto das soluções é N (T ) + (1, 0, 0) = {(1− y, y, 0) : y ∈ R} 20 e) Não existe porque T é sobrejectiva. f) Como T é sobrejectiva e não injectiva, a equação T (x, y, z) = (a, b) é possível e inde- terminada, para qualquer (a, b) ∈ R2. 74) a) Tem-se N (T ) = {(0, 0, 0)}, logo T é injectiva. b) Uma base para I(T ) é {(1, 2, 0) , (2, 1, 0) , (2, 4, 2)}, logo I(T ) = R3 pelo que T é sobrejectiva. c) A única solução da equação é (−2, 1, 3/2). d) e e) Como T é bijectiva a equação T (x, y, z) = (a, b, c) é possível e determinada para qualquer (a, b, c) ∈ R3. 75) a) {(1, 2)} é base de N (T ), logo T não é injectiva. b) Uma base para I(T ) é {(6, 4)}, pelo que T não é sobrejectiva. c) O conjunto das soluções é {(0,−1)}+N (T ). d) e e) Como T é não injectiva nem sobrejectiva, a equação T (x, y) = (a, b) é impossível ou indeterminada para qualquer (a, b) ∈ R2. 76) a) {(1, 1, 2)} é base de N (T ), logo T não é injectiva. b) Uma base para I(T ) é {(8, 6, 2) , (−2, 0, 0)}, pelo que T não é sobrejectiva. d) e e) Como T é não injectiva nem sobrejectiva, a equação T (x, y, z) = (a, b, c) é impos- sível ou indeterminada, para qualquer (a, b, c) ∈ R2. 77) a) [ 1 1 1 2 ] ; b) T−1 (x, y) = (2x− y,−x+ y); c) Como T é bijectiva, a única solução da equação é o vector (x, y) = T−1(1, 1) = (1, 0). 78) a)   1 1 1 1 2 −4 0 0 1  ; b) T−1 (x, y, z) = (2x− y − 6z,−x+ y + 5z, z); c) Como T é bijectiva, a única solução da equação é o vector (x, y, z) = T−1(1, 1, 2) = (−11, 10, 2). 79) a) T−1(x, y, z) = (−x+ 2y, y, z); b) A única solução da equação é (3, 2, 1). 80) a)   −2 1 0 0 −2 2 0 0 −2  ; b)   −1 2 −1 4 −1 4 0 −1 2 −1 2 0 0 −1 2  ; c) −1− t− 1 2 t2. 21 81) a)   −2 0 0 0 −2 0 0 0 0  ; c) O conjunto das soluções é { −1 2 + a3t 2 : a3 ∈ R } . Valores e vectores próprios Exercício 83 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T (x, y) = (x+ 2y, 2x+ y). Considere os vectores −→v 1 = (2, 1), −→v 2 = (−1, 1), −→v 3 = (2, 3) e −→v 4 = (4, 4), e identifique os que são vectores próprios de T . Diga ainda quais são os valores próprios de T . Exercício 84 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (0, y + 3z, 3y + z) . Considere ainda os vectores −→v 1 = (2, 1, 1), −→v 2 = (0,−1, 1), −→v 3 = (1, 0, 0), −→v 4 = (−1, 1, 3) e−→v 5 = (0, 3, 3), e identifique os que são vectores próprios de T . Diga quais são os valores próprios de T . Exercício 85 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x+ 2y + 2z, 2x+ y + 2z, 2x+ 2y + z) . Considere os vectores −→v 1 = (2, 1, 1), −→v 2 = (1, 1, 1), −→v 3 = (−2, 0, 2), −→v 4 = (−1, 1, 3) e −→v 5 = (−1, 1, 0), e identifique os que são vectores próprios de T . Quais são os valores próprios de T ? Exercício 86 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T (x, y) = (x+ y, x+ y). Mostre que os vectores −→v 1 = (1,−1) e −→v 2 = (1, 1) determinam uma base de R2 constituída por vectores próprios de T . Calcule a representação matricial de T nesta base. Exercício 87 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (y, y, y) . Mostre que os vectores −→v 1 = (1, 0, 0), −→v 2 = (1, 1, 1) e −→v 3 = (0, 0, 1) determinam uma base de R3 constituída por vectores próprios de T . Calcule a representação matricial de T nesta base. Exercício 88 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por T (x, y) = (x+ 2y, 3y). a) Calcule o polinómio característico de T ; b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T ; c) Determine uma base de R2 constituída por vectores próprios de T . Qual é a representação matricial de T nesta base? 22 Exercício 99 Considere uma matriz A ∈ R2×2 e designe por SA o conjunto das soluções do sistema A [ x1(t) x2(t) ] = [ x′ 1 (t) x′ 2 (t) ] . a) Mostre que SA com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar tem estrutura de espaço linear. b) Mostre que se D = [ λ1 0 0 λ2 ] , então os pares de funções (eλ1t, 0) e (0, eλ2t) constituem uma base para SD, e portanto SD = {( c1e λ1t, c2e λ2t ) : c1, c2 ∈ R } . Sugestão: mostre que se (x1(t), x2(t)) ∈ SD então x1(t)e−λ1t e x2(t)e−λ2t são funções constantes. c) Mostre que se J = [ λ 1 0 λ ] , então os pares de funções (eλt, 0) e (teλt, eλt) constituem uma base para SJ , e portanto SJ = {( c1e λt + c2te λt, c2e λt ) : c1, c2 ∈ R } . Sugestão: mostre que se (x1(t), x2(t)) ∈ SJ então x2(t)e−λt é uma função constante e x1(t)e −λt é um polinómio com grau ≤ 1. d) Mostre que se S é uma matriz de mudança de base e B = S−1AS, então tem-se: SA = { S [ y1(t) y2(t) ] : (y1(t), y2(t)) ∈ SB } . Exercício 100 Considere a matriz A = [ 2 1 1 2 ] . a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de base S tais que A = SDS−1. b) Resolva o sistema de equações diferenciais { 2x1(t) + x2 (t) = x ′ 1 (t) x1(t) + 2x2 (t) = x ′ 2 (t) Exercício 101 Considere a matriz A = [ 2 1 −2 5 ] . 25 a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de base S tais que A = SDS−1. b) Calcule a única solução do problema de valores iniciais { 2x1(t) + x2 (t) = x ′ 1 (t) −2x1(t) + 5x2 (t) = x′2(t) , x1(0) = 1, x2(0) = −1. Exercício 102 Considere a matriz A = [ 3 1 −1 5 ] . a) Mostre que A não é diagonalizável, identificando um bloco de Jordan J e uma matriz de mudança de base S tais que A = SJS−1. b) Resolva o sistema de equações diferenciais { 3x1(t) + x2 (t) = x ′ 1 (t) −x1(t) + 5x2 (t) = x′2(t) Exercício 103 Considere a matriz A = [ −1 9 −1 5 ] . a) Mostre que A não é diagonalizável, identificando um bloco de Jordan J e uma matriz de mudança de base S tais que A = SJS−1. b) Calcule a única solução do problema de valores iniciais { −x1(t) + 9x2 (t) = x′1(t) −x1(t) + 5x2 (t) = x′2(t) , x1(0) = 5, x2(0) = 2. Exercício 104 Classificar as seguintes matrizes simétricas, em definidas positivas, definidas nega- tivas, semidefinidas positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas: a) [ 1 1 1 1 ] b) [ 2 1 1 2 ] c) [ −3 1 1 −2 ] d) [ 3 2 2 0 ] e)   1 2 0 2 1 0 0 0 3   f)   2 0 1 0 −2 0 1 0 2   . Exercício 105 Classificar as seguintes formas quadráticas, em definidas positivas, definidas negati- vas, semidefinidas positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas: a) Q(x, y) = x2 + y2 + 2xy; b) Q(x, y) = 2x2 + 2y2 + 2xy; c) Q(x, y) = −3x2 + 2yx− 2y2; d) Q(x, y) = 3x2 + 4yx; e) Q(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + 4yx; f) Q(x, y, z) = 2x2 − 2y2 + 2z2 + 2zx. 26 Soluções 83) Temos T (2, 1) = (4, 5) = λ(2, 1), para qualquer λ ∈ R, logo −→v 1 não é vector próprio de T . Temos T (−1, 1) = (1,−1) = −1(−1, 1), logo −→v 2 é vector próprio de T associado ao valor próprio −1. Temos T (2, 3) = (8, 7) = λ(2, 3), para qualquer λ ∈ R, logo−→v 3 não é vector próprio de T . Temos T (4, 4) = (12, 12) = 3(4, 4), logo −→v 4 é vector próprio de T associado ao valor próprio 3. Os escalares −1 e 3 são os únicos valores próprios de T . 84) Os vectores −→v 2, −→v 3 e −→v 5 são vectores próprios de T . Os escalares −2, 0 e 4 são os únicos valores próprios de T . 85) Os vectores −→v 2, −→v 3 e −→v 5 são vectores próprios de T . Os escalares −1 e 5 são os únicos valores próprios de T . 86) [ 0 0 0 2 ] 87)   0 0 0 0 1 0 0 0 0  . 88) a) P (λ) = (1− λ) (3− λ); b) Os escalares 1 e 3 são os únicos valores próprios de T . Os subespaços próprios de T são: E (1) = {(x, 0) : x ∈ R} e E (3) = {(y, y) : y ∈ R}; c)[ 1 0 0 3 ] . 89) a) P (λ) = (2− λ)2 − 9; b) Os escalares −1 e 5 são os únicos valores próprios de T . Os subespaços próprios de T são : E (−1) = {(−y, y) : y ∈ R} e E (5) = {(y, y) : y ∈ R}; c) D = [ −1 0 0 5 ] e S = [ −1 1 1 1 ] . 90) a) P (λ) = (2− λ)2; b) O escalar 2 é o único valor próprio de T , eE (2) = {(x, 0) : x ∈ R} .c) Se existisse uma base de R2 constituída por vectores próprios de T , teríamos dimE (2) = dimR2 = 2, já que 2 é o único valor próprio de T . Mas isto não pode acontecer, porque pela alínea anterior temos dimE (2) = 1. 91) a) P (λ) = −λ [ (2− λ)2 − 1 ] ; b) Os escalares 0, 1 e 3 são os únicos valores próprios de T . Tem-seE (0) = {(x, 0, 0) : x ∈ R}, E (1) = {(0,−z, z) : z ∈ R} eE (3) = {(2z, 3z, 3z) : z ∈ R}; c) D =   0 0 0 0 1 0 0 0 3   e S =   1 0 2 0 −1 3 0 1 3  . 92) 27 Exercício 108 Considere em R2 o produto interno definido por 〈−→x ,−→y 〉 = 4x1y1 + 9x2y2. a) Calcule ‖−→x ‖, para um qualquer vector −→x = (x1, x2) ∈ R2; b) Calcule o ângulo determinado pelos vectores (1/2, 0) e (0, 1/3); c) Conclua pelas alíneas anteriores que os vectores −→v 1 = (1/2, 0) e −→v 2 = (0, 1/3) constituem uma base ortonormada de R2. Calcule as coordenadadas de um vector −→x = (x1, x2) ∈ R2 em relação a esta base. Exercício 109 Considere em R2 o produto interno definido por 〈−→x ,−→y 〉 = x1y1 − x2y1 − x1y2 + 2x2y2. a) Calcule ‖−→x ‖, para um qualquer vector −→x = (x1, x2) ∈ R2; b) Calcule o ângulo determinado pelos vectores (1, 0) e (1, 1); c) Conclua pelas alíneas anteriores que os vectores −→v 1 = (1, 0) e −→v 2 = (1, 1) constituem uma base ortonormada de R2. Calcule as coordenadadas de um vector −→x = (x1, x2) ∈ R2 em relação a esta base. Exercício 110 Considere em R3 o produto interno definido por 〈−→x ,−→y 〉 = [ x1 x2 x3 ]   1 1 0 1 2 0 0 0 1     y1 y2 y3   . a) Calcule ‖−→x ‖, para um qualquer vector −→x = (x1, x2, x3) ∈ R3; b) Considere os vectores −→v 1 = (1, 0, 0), −→v 2 = (−1, 1, 0) e −→v 3 = (0, 0, 1). Calcule os ângulos determinados pelos vectores: −→v 1e −→v 2; −→v 1e −→v 3; −→v 2e −→v 3. c) Conclua pelas alíneas anteriores que {−→v 1,−→v 2,−→v 3} é uma base ortonormada de R3. Calcule as coordenadadas de um vector −→x = (x1, x2, x3) ∈ R3 em relação a esta base. Exercício 111 Considere em R3 o produto interno definido por 〈−→x ,−→y 〉 = x1y1 + 4x2y2 + 2x3y2 + 2x2y3 + 5x3y3. a) Calcule ‖−→x ‖, para um qualquer vector −→x = (x1, x2, x3) ∈ R3; b) Considere os vectores −→v 1 = (1, 0, 0), −→v 2 = (0, 1/2, 0) e −→v 3 = (0,−1/4, 1/2). Calcule os ângulos determinados pelos vectores: −→v 1e −→v 2; −→v 1 e −→v 3; −→v 2 e −→v 3. c) Conclua pelas alíneas anteriores que {−→v 1,−→v 2,−→v 3} é uma base ortonormada de R3. Calcule as coordenadadas de um vector −→x = (x1, x2, x3) ∈ R3 em relação a esta base. Exercício 112 Considere a base de R2 constituída pelos vectores −→v 1 = (1, 0) e −→v 2 = (1, 1). Mostre que existe um e um só produto interno em R2 para o qual a base {−→v 1,−→v 2} é ortonormada. Calcule ‖−→x ‖, para um qualquer vector −→x = (x1, x2) ∈ R2. 30 Exercício 113 Mais geralmente, demonstre que se −→v 1, −→v 2, ...,−→v n é uma base de Rn, então existe um único produto interno em Rn para o qual esta base é ortonormada. Exercício 114 Considere em P2 o produto interno definido por 〈p(t), q(t)〉 = [ a0 a1 a2 ]   2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 2     b0 b1 b2   , com p(t) = a0 + a1t+ a2t 2 e q(t) = b0 + b1t+ b2t 2. a) Calcule ‖p (t)‖ para um qualquer polinómio p (t) ∈ P2; b) Considere os vectores p1(t) = 1+t, p2(t) = t e p3(t) = t+t2. Mostre que os vectores p1(t), p2(t) e p3(t) constituem uma base ortonormada de P2. Calcule as coordenadadas de um polinómio p (t) ∈ P2 em relação a esta base. Exercício 115 Considere em P2 o produto interno definido por: 〈p (t) , q (t)〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1). a) Calcule ‖p (t)‖ para um qualquer polinómio p (t) ∈ P2; b) Mostre que os polinómios p1(t) = 1− t2, p2(t) = 1 2 t+ 1 2 t2 e p3(t) = − 1 2 t+ 1 2 t2 constituem uma base ortonormada de P2. Calcule as coordenadadas do polinómio p (t) = 1 nesta base. Exercício 116 Considere em P2 o produto interno definido por: 〈p (t) , q (t)〉 = p (0) q (0) + p′ (0) q′ (0) + p′ (1) q′ (1) . a) Calcule ‖p (t)‖ para um qualquer polinómio p (t) ∈ P2; b) Calcule o ângulo determinado pelos polinómios p(t) = 1 e q(t) = 2 + t2. Exercício 117 Seja V um espaço euclideano com dimensão finita, e U um subespaço de V a) Mostre que se {−→u 1,−→u 2, ...,−→u n} é uma base de U então tem-se: −→x ∈ U⊥ se e só se 〈−→x ,−→u 1〉 = 〈−→x ,−→u 2〉 = · · · = 〈−→x ,−→u n〉 = 0. b) Mostre dim(U) + dim(U⊥) = dim(V ) c) Mostre ( U⊥ )⊥ = U . Exercício 118 Considerando o produto interno usual em R3, calcule bases para o complemento ortogonal de U quando: 31 a) U = L {(1, 1, 1) , (1, 0, 1)}; b) U = L {(1, 0, 2)}; c) U = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − z = 0 }; d) U = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = y + z = 0}. Exercício 119 Resolva as alíneas b) e c) do problema anterior, quando em R3 se considera o seguinte produto interno: 〈−→x ,−→y 〉 = [ x1 x2 x3 ]   1 0 1 0 1 0 1 0 2     y1 y2 y3   . Exercício 120 Considerando o produto interno usual em R4, calcule bases para o complemento ortogonal de U quando: a) U = L {(1, 0, 1, 1)}; b) U = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ 2y + z + 2w = x+ 2y − z = 0 }; Exercício 121 Resolva o problema anterior, quando em R4 se considera o seguinte produto interno: 〈−→x ,−→y 〉 = 2x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2 + x3y3 + x4y4. Exercício 122 Em R3, com o produto interno usual, considere o subespaço U = L {(1, 1, 1) , (1, 0, 0)} . a) Calcule a projecção ortogonal de (1, 0, 1) sobre U ; b) Qual é a distância de (1, 0, 1) a U? Exercício 123 Em R3, com o produto interno usual, considere o subespaço U = { (x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0 } . a) Calcule a projecção ortogonal de (1, 0, 0) sobre U ; b) Qual é a distância de (1, 0, 0) a U? Exercício 124 Resolva o Exercício 122, quando se considera em R3o seguinte produto interno 〈−→x ,−→y 〉 = [ x1 x2 x3 ]   1 1 0 1 2 −1 0 −1 2     y1 y2 y3   . Exercício 125 Em R4, com o produto interno usual, considere o subespaço U = L {(1, 1, 1, 1) , (1, 0, 1, 0)} . 32 Soluções 106) a) Define um produto interno; b) Não define um produto interno; c) Não define um produto interno; d) Define um produto interno; e) Não define um produto interno; f) Não define um produto interno; g) Não define um produto interno. 107) a) Define um produto interno; b) Não define um produto interno; c) Define um produto interno; d) Não define um produto interno; e) Não define um produto interno. 108) a) ‖(x1, x2)‖ = √ 4x2 1 + 9x2 2 ; b) α = π 2 ; c) (2x1, 3x2). 109) a) ‖(x1, x2)‖ = √ x2 1 − 2x1x2 + 2x22; b) α = π2 ; c) (x1 − x2, x2). 110) a) ‖(x1, x2, x3)‖ = √ x2 1 + x2 3 + 2x2 2 + 2x1x2; b) α = β = γ = π2 ; c) (x1 + x2, x2, x3). 111) a) ‖(x1, x2, x3)‖ = √ x2 1 + 4x2 2 + 5x2 3 + 4x2x3; b) α = β = γ = π2 ; c) (x1, 2x2 + x3, 2x3). 114) a) ‖a0 + a1t+ a2t2‖ = √ 2a2 0 + a2 1 + 2a2 2 − 2a0a1 + 2a0a2 − 2a1a2; c) As coordenadas de a0 + a1t+ a2t 2 nesta base são (a0, a1 − a0 − a2, a2). 115) a) ‖p (t)‖ = √ p(−1)2 + p(0)2 + p(1)2; c) (1, 1, 1). 116) a) ‖p (t)‖ = √ p (0)2 + p′ (0)2 + p′ (1)2; b) α = π 4 . 118) a) {(−1, 0, 1)}; b) {(−2, 0, 1) , (0, 1, 0)}; c) {(1, 1,−1)} d) {(1, 0, 1) , (0, 1, 1)}. 119) b) {(−5, 0, 3) , (0, 1, 0)}; c){(−3,−1, 2)}. 120) a) {(0, 1, 0, 0) , (−1, 0, 1, 0) , (−1, 0, 0, 1)}; b) {(1, 2, 1, 2) , (1, 2,−1, 0)} 121) a) {(−1, 2, 0, 0) , (−1, 0, 2, 0) , (−1, 0, 0, 2)}; b) {(−1, 2, 0, 0) , (1, 0, 0, 2)}. 122) a) ( 1, 1 2 , 1 2 ) ; b) √ 2 2 . 35 123) a) (1/2, 1/2, 0); b) √ 2 2 . 124) a) (0, 1, 1); b) 1. 125) a) {( 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ) , (1 2 ,−1 2 , 1 2 ,−1 2 ) } ; b) (0, 3 2 , 0, 3 2 ); c) 1 2 √ 2. 126) a) { (1 2 ,−1 2 , 1 2 ,−1 2 ) } ;b) (1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ); c) 1. 127) a) {( 0, √ 2 2 , √ 2 2 , 0 ) , √ 10 5 ( −1,−1 2 , 1 2 , 1 )} ; b) 1 5 (−1, 2, 3, 1); c) √ 10 5 . 128) a) t+ t2; b) 1. 129) a) P = (1, 1, 1) e S = L {(0, 1, 0)}; b) P = (1, 0, 2) e S = L {(1, 1, 0)}; c) P = (1, 3,−1) e S = L {(1, 0,−1)}; 130) a) { x = 1 z = 1 ; b) { −x+ y = −1 z = 2 ; c) { y = 3 x+ z = 0 . 131) a) P = (1, 1, 1) e S = L {(0, 1, 0) , (0, 1, 1)}; b) P = (1, 0, 2) e S = L {(1, 1, 0) , (1,−1, 0)}; c) P = (1, 3,−1) e S = L {(2, 0, 1) , (0, 1, 0)}; 132) a) x = 1; b) z = 2; c) −x+ 2z = −3. 133) r1 ∩ r2 = {(1, 5, 1)}. 134) r ∩ α = {(1, 1, 2)} 135) { x+ y + z = 3 x− 2y + z = 1 . 36