slide de álgebra

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ÁLGEBRA LINEAR

Vetores Geométricos

  • Introdução:

  • Considere o paralelogramo ABCD onde AD e BC são segmentos orientados:

  • Concluindo os elementos de um vetor são:

  • módulo,direção e sentido.

  • Vetores no plano R2

  • Em geral, todo vetor v do plano cartesiano

  • pode ser associado a um par ordenado (a,b)

  • onde a e b são números reais constituindo

  • as coordenadas do vetor v.

  • Cálculo das componentes:

  • Se v= AB onde A= (x,y) e B= (z,w) então:

  • v= B-A = (z-x, w-y)

  • ex: A =(1,-1) e B=(5,1)

  • Temos que: AB= B-A = (4,2)

  • :

  • Operações com vetores:

  • 1- Adição

  • Se u=(x,y) e v=(z,w) então:

  • u + v = (x+z, y + w)

  • Geometricamente: regra do paralelogramo

  • 2- Multiplicação por um escalar

  • Se k é um nº real e v=(x,y) então:

  • kv = (kx, ky)

  • Ex: Dados A=(11,-7), B(0,3) e C(-1,1) calcule o vetor:

  • 2AB + 5 BC – CA

  • Sol: AB= B-A=(0,3) – (11,-7) = (-11,10)

  • BC = C-B = (-1,1) – (0,3) = (-1,-2)

  • CA = A-C= (11,-7) – ( -1,1) =(12,-8)

  • logo: 2(-11,10) + 5(-1,-2) – (12,-8) = (-39,18)

  • Vetores no R3 = {(x,y,z) / x,y e z em R}

  • Representação geométrica:

  • Ex: Marque os pontos:

  • A(1,3,7), B( 4,-1,1), C(0,3,2), D(-2,1,3)

  • Cálculo das componentes:

  • Se A( a,b,c) e B( d,e,f) então:

  • AB = B –A = (d-a , e-b , f-c)

  • ex: Se A(1,2,-5) B( 4,-3,0) e C( 6,4,1) calcule:

  • 2AB +3BC-AC .

  • Sol: AB= (3,-5,5) BC= (2,7,1) AC= (5,2,6) logo:

  • 2(3,-5,5) +3 (2,7,1) –(5,2,6) = (7,9,7)

  • Paralelismo entre vetores:

  • no R2: Os vetores v= (x,y) e w= (z,t) são paralelos se:

  • x/z = y/t

  • no R3: Os vetores v = (x,y,z) e w = (u,h,t) são paralelos

  • se : x/u = y/h = z/t

  • Produto escalar de dois vetores:

  • no R2: Dados u = (x,y) e v =(z,w) então:

  • u.v = xz + yw

  • no R3: Dados u=(x,y,z) e v=(u,h,t) então:

  • u.v = xu + yh + zt

  • ex: (1,2) . (-3,4) = -3+8 = 5

  • (1,-2,-1) . (0,1,2) = 0-2-2= -4

  • Propriedades:

  • i) u .u = 0 se e somente se u = 0

  • ii) u.v = v .u

  • iii) u.(v + w) = u.v + u.w

  • iv) (ku) .v = u.(kv) k nº real

  • u.u = |u| 2

  • vi) | u + v| 2 = | u |2 + 2 u .v + | v | 2

  • vii) | u – v | 2 = | u |2 – 2 u.v + | v | 2

  • viii) ( u + v ) . ( u – v) = | u | 2-- | v | 2

  • Obs: Módulo de um vetor

  • se u =(x,y)  | u | =( x 2 + y 2 ) ½

  • se v =(x,y,z) | v | = ( x 2 + y 2 + z 2 ) ½

  • Versor de um vetor: Dado um vetor v , o versor de v é um vetor unitário(v’) na mesma direção de v ,dado por:

  • v’ = v / | v |

  • ex: Calcule o versor do vetor v= (3,-4).

  • sol: v’ = (3,-4) / ( 32 + (-4)2 ) ½

  • v’ = (3,-4) / 5  v’ = ( 3/5 , -4/5)

  • Ângulo entre dois vetores:

  • Sendo u e v vetores não nulos ,e  o ângulo entre eles, então:

  • u . v = | u| | v | cos  logo:

  • cos  = u . v / | u | | v |

  • Condição de ortogonalidade entre vetores:

  • u  v  u . v = 0

  • ex: Prove que os vetores u=(-2,3,-2) e v=(-1,2,4) são perpen-

  • diculares.

  • De fato ; u.v = 2 +6 –8 = 0

  • Produto Vetorial:

  • Def: Dados u= (a,b,c) e b=(d,e,f)  R3, então:

  • u x v =

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