Aula 11 - CEDERJ - Introdução à Quantica

Aula 11 - CEDERJ - Introdução à Quantica

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o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Meta da aula

A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula que incide sobre uma barreira de potencial, em que a energia potencial tem um valor 0 para x < 0 e para x > a, e um valor V0 > 0 para 0 < x < a.

Esperamos que, após esta aula, você seja capaz de:

• mostrar que, no caso de a energia E da partícula ser menor do que a altura da barreira, existe a possibilidade de a partícula atravessar a barreira (efeito túnel), em contraste com o comportamento de uma partícula clássica;

• comprovar que, no caso de a energia E da partícula ser maior do que a altura da barreira, existe a possibilidade de a partícula ser refletida, o que também está em contraste com as previsões clássicas;

Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise as Aulas 8 e 9 desta disciplina e, também, os conceitos de reflexão e transmissão de ondas na interface entre duas regiões com índices de refração diferentes (Aula 6 de Física 4A).

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Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

Barreiras de potencial são muito comuns no dia-a-dia. Pense em um carro de montanha-russa prestes a subir uma ladeira. Ele somente chegará ao cume se tiver energia cinética suficiente para vencer a barreira de energia potencial gravitacional imposta pela ladeira. Caso contrário, será refletido pela barreira, movimentando-se no sentido oposto ao inicial. Na Física Quântica, a transmissão e a reflexão de partículas por barreiras de potencial são também muito importantes, sendo responsáveis por diversos fenômenos interessantes e aplicações práticas.

Trataremos o caso de uma partícula quântica de massa m que incide sobre uma barreira, definida pelo seguinte perfil de energia potencial:

(1.1)

em que o valor de V0 é positivo. Esta barreira está mostrada na Figura

1.1. A energia potencial V0 define a altura da barreira e a distância a define sua largura. Trata-se de um modelo bastante simplificado para as barreiras reais, conhecido como “barreira retangular”. No entanto, veremos que é possível extrair deste modelo simples todos os comportamentos físicos mais relevantes, e que são comuns a todas as barreiras de potencial existentes na natureza, com a vantagem de que a barreira retangular apresenta uma simplicidade matemática muito maior.

Figura 1.1: Uma partícula quântica de massa m que incide sobre uma barreira de potencial. A figura mostra os dois casos possíveis: E < V0 (energia menor que a altura da barreira) e E > V0 (energia maior que a altura da barreira).

V x x V x V x a

V x x a

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Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

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SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER NAS REGIÕES x < 0 E x > a

Pelos mesmos argumentos utilizados para a partícula livre e para o degrau de potencial, sabemos que não existe solução se a energia total da partícula for negativa. Portanto, podemos considerar apenas a situação em que E > 0. Nas regiões x < 0 e x > a, a partícula se movimenta livremente, de modo que a solução geral da equação de Schrödinger nessas duas regiões é dada por:

forma que nas Aulas 8 e 9, o vetor de onda é

em que A, B, C e D são constantes, em geral complexas, e, da mesma

Também como nas Aulas 8 e 9, vamos considerar a situação em que a partícula incide sobre a barreira de potencial pelo lado esquerdo, como indicado na Figura 1.1. Nesse caso, do lado direito, não teremos uma onda se propagando para a esquerda, e portanto D = 0 na Equação (1.2). Como no caso do degrau de potencial, o coeficiente A representa a amplitude da onda de probabilidade incidente, B a da refletida e C a da transmitida, todas com o mesmo valor do vetor de onda k e, portanto, o mesmo valor do comprimento de onda de de Broglie.

A densidade de corrente de probabilidade j será constante, como em todos os casos estacionários, e terá como valor:

em que, como definido anteriormente,é a velocidade da

(1.3) partícula, ou velocidade de grupo. De forma análoga ao caso do degrau de potencial, podemos definir os coeficientes de reflexão R e de transmissão T como:

em que foi utilizado o fato de vg ser a mesma do lado direito e do esquerdo da barreira, diferentemente do que aconteceu no estudo do degrau de potencial.

v k mg = h / ψψ ( ) , ( ) , x Ae Be x x Ce De x a ikx ikx

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Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

Até agora, estudamos a solução da equação de Schrödinger nas regiões x < 0 e x > a, e tudo que dissemos é válido tanto para o caso da energia total da partícula ser menor do que a altura da barreira,

E < V0 , ou maior do que a mesma, E > V0

. Para completar nosso estudo, teremos de buscar as soluções também na região interna à barreira, 0 < x < a. Para tanto, será necessário considerar separadamente os casos

E < V0 e E > V0

Antes de iniciarmos, vamos lembrar mais uma vez o que acontece no domínio da Física Clássica, ou seja, para sistemas macroscópicos. No primeiro caso (energia menor que a barreira), a partícula clássica deveria ser simplesmente refletida pela barreira. Já no segundo caso (energia maior que a barreira), a partícula clássica passaria sem ser refletida, diminuindo sua energia cinética quando estivesse na região da barreira, mas recuperando sua velocidade inicial depois de atravessá-la. Mais uma vez, veremos que a Física Quântica nos leva a resultados diferentes dos previstos classicamente.

SOLUÇÃO COMPLETA NO CASO 0 < E < V0

Lembrando que em 0 < x < a a energia potencial vale V(x) =

e definindo, como na Aula 8,, escrevemos a

V0 solução da equação de Schrödinger na região da barreira:

Combinando as Equações (1.2) e (1.5), podemos relacionar as constantes A, B, C, F e G pelas condições de continuidade de ψ(x) e de sua derivada nos pontos x = 0 e x = a. Para x = 0, encontramos:

ik(A – B) = K(F – G)(1.6)

Já para x = a, temos:

Ceika = FeKa + Ge–Ka ikCeika = K(FeKa – Ge–Ka) . (1.7)

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Podemos eliminar F e G das Equações (1.6) e (1.7) e calcular as relações B/A e C/A. O resultado, cuja obtenção sugerimos como uma exercício opcional, nos leva aos seguintes coefi cientes de refl exão e transmissão:

(1.8)

k K k K Ka k K senh ssenh2

1. Verifi que, a partir da Equação (1.8), que R + T = 1.

Note que as expressões para R e T são da formae
em que, nesse caso em particular,e

Efetuando a soma de R e T, temos:

se simplifi ca:

2. Mostre que, no limite em que Ka >> 1, o coeficiente de transmissão ab ba b a b a a b

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