Aula 11 - CEDERJ - Introdução à Quantica

Aula 11 - CEDERJ - Introdução à Quantica

(Parte 2 de 3)

T k K

12 CEDERJ

Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

Figura 1.2: Densidade de probabilidade para uma partícula quântica incidente em

Podemos, esquematicamente, mostrar a densidade de probabilidade correspondente à função de onda definida pelas Equações (1.2) e (1.5). O resultado pode ser visto na Figura 1.2. Na região à esquerda da barreira, vêem-se as oscilações resultantes da interferência entre as ondas incidente e refletida. Dentro da barreira, a densidade de probabilidade decai de forma aproximadamente exponencial com a distância. Finalmente, na região à esquerda, a densidade de probabilidade é constante, correspondendo à onda transmitida que se propaga nessa região.

Partindo da Equação (10.8) e usando o resultado,
de modo que, obtemos:

Note, portanto, que o coeficiente de transmissão, nessas condições, apresenta um decaimento exponencial com a largura da barreira. Perceba a relação entre esse resultado e o decaimento exponencial da probabilidade no degrau de potencial que discutimos na Aula 8 (veja a Equação (8.14)).

T k K k K k K k K e

12 CEDERJ

CEDERJ13

Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

1 MÓDULO 2

O fato de o coefi ciente de transmissão ter um valor diferente de zero demonstra que uma partícula pode atravessar uma barreira de potencial que seria completamente intransponível se prevalecesse o ponto de vista da Mecânica Clássica! Esse fenômeno, que já foi mencionado no estudo do degrau de potencial, é chamado de penetração de barreira, ou efeito túnel, e aparece com frequência em vários ramos da Física, como veremos na próxima aula.

SOLUÇÃO COMPLETA NO CASO E > V0

Neste caso, na região interna, a solução da equação de Schrödinger é dada por

em que, como no estudo do degrau de potencial,

(1.9) Repetindo o tratamento de impor a continuidade de ψ(x) e da sua derivada nos pontos x = 0 e x = a, determinamos as constantes A, B, C, F e G. Eliminando F e G, calculamos B/A e C/A e podemos, a partir deles, calcular os coefi cientes de refl exão e transmissão:

3. Verifi que que os valores de R e T da Equação (1.10) satisfazem a relação de conservação da densidade de fl uxo de probabilidade, R + T = 1.

k k k k k k k

1 sen a sen k k k

14 CEDERJ

Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

As expressões para R e T no caso E > V0 também são da forma
e, exatamente como no caso E < V0 , de modo que a

RESPOSTA COMENTADA relação R + T = 1 fica automaticamente demonstrada.

Figura 1.3: Densidade de probabilidade para uma partícula quântica incidente em

A Equação (1.10) mostra que o coeficiente de transmissão T é em geral menor do que 1, o que difere do resultado clássico em que

T = 1 quando E > V0 . Em outras palavras, uma partícula quântica que incide sobre uma barreira de potencial com uma energia maior que a altura da barreira pode ser refletida! Por outro lado, vemos que T = 1 ocorre quando k’a = nπ, em que n é um número inteiro positivo. Assim, a partícula é transmitida com 100% de probabilidade, quando a espessura da barreira é igual a um múltiplo inteiro da metade do comprimento de onda para a partícula dentro da barreira, λ’ = 2π/k’. Esse é um fenômeno de interferência quântica análogo ao que acontece na ótica ondulatória com lâminas de espessura igual a meio comprimento de onda (ou múltiplos deste valor) da radiação eletromagnética incidente: toda a radiação é transmitida nesse caso. Esse fenômeno está relacionado ao efeito Ramsauer, que discutiremos futuramente. A Figura 1.3 mostra a densidade de probabilidade no caso

E > V0 . Note que, além do padrão de interferência entre as ondas incidente e refletida na região x < 0 (que já aparecia no caso E < V0 ), também surgem oscilações desse tipo na região da barreira, porém com um comprimento de onda maior.

14 CEDERJ

CEDERJ15

Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

1 MÓDULO 2

Vale a pena verifi car que, para E = V0 , as expressões (1.8) e

(1.10) coincidem, o que signifi ca que o gráfi co de R ou T como função da energia é contínuo. Vamos verifi car este resultado na Atividade 4.

4. Mostre que, na situação limite E = V 0 , tanto a Equação (1.8) como a

(1.10) levam a

Partindo da Equação (1.8), observamos que o limite E = V0 corresponde a K = 0. Assim, precisamos inicialmente tomar o limite:

Substituindo esse resultado na Equação (1.8) com K = 0, temos:

a k’ = 0. Sabendo também o limite, obtemos o

Partindo agora da Equação (1.10), o limite E = V0 corresponde agora valor limite para o coefi ciente de transmissão:

Observe que o número adimensionalmede a opacidade da

barreira. Quanto maior esse número, menor será o fl uxo de probabilidade que atravessar a barreira. Perceba como é razoável que esse número seja tanto maior quanto maior for a altura da barreira V0 , sua largura a e a massa da partícula m.

(1.10) levam a

4. Mostre que, na situação limite lim ( ) lim ( ) Ka Ka

Ka e e

T k K a k K k a mV a= + k a k a k a0

T k k a

16 CEDERJ

Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

Na Figura 1.4, mostramos, de forma esquemática, o comportamento dos coeficientes de transmissão e reflexão como função de

E/V0 . Perceba a existência de probabilidade de transmissão para

E < V 0 (tunelamento). Note ainda as oscilações no coeficiente de transmis- são para E > V 0 , dando T = 1 para alguns valores bem precisos de energia, como discutimos anteriormente.

Vimos nesta aula, de maneira formal, como se comporta uma partícula quântica que incide sobre uma barreira de potencial. Mas nosso estudo desse assunto não termina aqui. Como dissemos, a Física é rica em exemplos, e os fenômenos descritos aqui são importantes e podem, inclusive, ser usados em aplicações práticas, como veremos na próxima aula.

tica por uma barreira de potencial. Consideramos, o que dá um

Figura 1.4: Coeficientes de transmissão e reflexão de uma partícula quân- coeficiente de transmissão igual a 0,5 quando E = V 0 .

em que, calcule os valores de E/V0

1. No caso considerado na Figura 1.4, ou seja, uma barreira de potencial para os quais a probabilidade de transmissão é igual a 1.

16 CEDERJ

CEDERJ17

Introdução à Mecânica Quântica | A barreira de potencial: casos E < V0 e E > V0

1 MÓDULO 2

Para que o coeficiente de transmissão seja igual a 1, a relaçãodeve
ser satisfeita. Como, temos:
Usando a condição, obtemos:

RESPOSTA COMENTADA , em que n = 1, 2, 3 etc.

(Parte 2 de 3)

Comentários