Aula 10 - CEDERJ - Introdução à Quantica

Aula 10 - CEDERJ - Introdução à Quantica

(Parte 1 de 3)

o b j e t i v o

Pré-requisitos

Meta da aula Exercícios

Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

• aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da resolução de problemas diversos.

Os conteúdos das Aulas de 4 a 9 desta disciplina.

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Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios

INTRODUÇÃONesta aula, faremos uma revisão das Aulas 4 a 9 do Módulo 2. Para tal, formulamos uma lista de exercícios na qual você poderá aplicar seus conhecimentos e rever alguns conceitos.

1. FUNÇÃO DE ONDA E EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER (AULA 4)

1.1. Mostre que se Ψ1(x, t) e Ψ2(x, t) são soluções da equação de

Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão, Ψ(x, t) = C1Ψ1(x, t) + C2Ψ2(x, t) (onde C1 e C2 são constantes arbitrárias) também é solução.

(x, t) são soluções da equação de Schrödinger, então:

Se multiplicarmos a primeira equação por C1 e a segunda por C2 , e depois somarmos as duas equações, obtemos:

como queríamos demonstrar. Este resultado revela uma propriedade das equações diferenciais lineares: uma combinação linear de duas soluções é também uma solução.

i x t t m x t x V x t x t i x t x t

V x t x t i C x t C x t t m

C x t x t h h

V x t C x t C x t i x t t m x t

Ψ Ψ h h

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10 MÓDULO 2

2. OPERADORES MOMENTO E ENERGIA (AULA 5), PRINCÍPIO DA INCERTEZA (AULA 5) E O CASO ESTACIONÁRIO (AULA 6)

de x = 0 em uma dimensão,

2.1. Um “estado ligado” é um estado quântico que está confinado a uma região do espaço, “ligado” a um poço de energia potencial. Veremos muitos exemplos de estados ligados nas próximas aulas. Matematicamente, podemos dizer que, para um estado ligado em torno

(b) Usando o resultado do item anterior, mostre quepara

(a) Mostre que, no caso estacionário em uma dimensão, a corrente de densidade de probabilidade é nula para um estado ligado, em qualquer ponto do espaço. um estado ligado em uma dimensão. Dica: Use integração por partes.

(a) Mostramos na Aula 6 que, em qualquer situação estacionária (potencial independente do tempo), a densidade de corrente de probabilidade é constante para todo x. Basta então olharmos para a definição desta quantidade, a saber:

para notarmos que, como Ψ(x) vai a zero no limite x → ∞ , j(x) também deve ir a zero nesse limite. Assim, como j(x) deve ser constante em todo x, essa constante é nula.

Como j(x) = 0 em todo o espaço, mesmo nos pontos em que Ψ(x)

é não-nula, podemos escrever:

Este resultado nos será útil no próximo item. (b) Temos que

Integrando por partes:

d x x d x p i x x x d x p x i d x dx i x d x j x i x d x x d x

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2.2. Na Atividade Final 4 da Aula 5, utilizamos o Princípio da Incerteza para estimar a energia cinética de partículas quânticas confinadas em determinadas regiões do espaço. Este procedimento é bastante útil quando queremos obter rapidamente uma estimativa da energia de uma partícula, sem termos que necessariamente resolver a equação de Schrödinger. Vamos utilizar novamente esse procedimento neste exercício, em que vamos usar o Princípio da Incerteza para estimar a energia do estado fundamental do oscilador harmônico.

Sabendo quee , e que o estado funda-
∆p e ∆x. Note que, por simetria,

(a) A energia do oscilador harmônico é dada por , em que o primeiro termo é a energia cinética e o segundo é a energia potencial. mental é um estado ligado, usando o resultado do exercício 2.1 escreva uma expressão para o valor esperado da energia em termos das incertezas

(b) Usando o Princípio da Incerteza e impondo que o estado deva ter incerteza mínima, elimine ∆x da expressão obtida no item (a), obtendo uma expressão para 〈E〉 que é apenas função de ∆p.

(c) Minimize a expressão para 〈E〉 obtida no item anterior em relação a ∆p e encontre a energia estimada do estado fundamental.

Pelo resultado encontrado no item anterior, ou seja,

podemos escrever:

Na última passagem usamos que d x x d x p i x x p p i x x

E p

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Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios

10 MÓDULO 2

2.3. Vimos na Aula 6 que uma função de onda ψ é autofunção do operador O com autovalor λ apenas se a igualdade Oψ (x) = λψ(x) for satisfeita. Se ψ não for autofunção do operador O, teremos Oψ (x) = f(x)ψ(x), onde f(x) é uma função e não um número. De forma qualitativa, podemos associar f(x) ao valor local (ou seja, no ponto x) da grandeza representada pelo operador O.

uma função de onda dada pore uma energia dada por

(a) Em uma região do espaço, uma partícula de massa m possui , onde a é um comprimento. Determine, como função de x, a energia potencial V(x) e a energia cinética K(x) da partícula. Faça gráficos de V(x) e K(x).

(a) O valor esperado da energia será dado por:
Sabendo quee , e usando
e, obtemos
(b) O Princípio da Incerteza diz queSe impusermos incer-
teza mínima, temos a igualdade, de modo que podemos

RESPOSTA COMENTADA eliminar ∆x da expressão para 〈E〉, obtendo

(c) Minimizando, ou seja, impondo que, obtemos:

Substituindo esse valor na expressão para 〈E〉, obtemos finalmente nossa expressão para a energia do estado fundamental do oscilador harmônico simples:

do estado fundamental do oscilador harmônico é precisamente,

Nesse caso, nossa estimativa foi perfeita! O valor correto da energia e encontramos este valor sem precisarmos resolver a equação de Schrödinger.

E p

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