Aula 14 - CEDERJ - Introdução à Quantica

Aula 14 - CEDERJ - Introdução à Quantica

(Parte 1 de 3)

o b j e t i v o s

Pré-requisito

Meta da aula O poço de potencial infinito

Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.

• obter as funções de onda e as energias de partículas confinadas em um poço infinito;

• identificar a paridade dos estados ligados;

Para melhor compreensão desta aula, é importante que você revise o caso E < Vo da Aula 13 desta disciplina.

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Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial infinito

V x x a V x a x a V x x a

Matematicamente, podemos definir um poço infinito de largura a da seguinte forma:

(14.1)

Como vemos, o perfil de potencial é bem semelhante ao do poço finito visto na Aula 13, só que agora o valor de V0 é tão grande que pode ser considerado infinito. Em muitos sistemas físicos, esta é uma aproximação bastante boa e, como veremos, bastante útil, pois o poço infinito tem soluções muito mais simples que o poço finito.

de Schrödinger na região, que, para uma partícula de

As soluções do poço infinito são confinadas no interior do mesmo, já que seria necessária uma energia infinita para encontrar a partícula fora do poço. Portanto, precisamos considerar apenas a equação massa m, tem a forma:

(14.2)

O poço infinito corresponde a um caso limite do poço finito, estudado na última aula, em que a altura do poço tende a um valor infinito. Seu perfil de potencial está mostrado na Figura 14.1.

Figura 14.1: O poço de potencial infinito com largura a.

d x

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Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial infinito

14 MÓDULO 2

Como já vimos diversas vezes, a solução geral desta equação é

. No entanto, desta vez vamos escrevê-la de uma outra forma:

comÉ claro que as duas formas são equivalentes, mas a

(14.3) Expressão (14.3) irá simplificar nossos cálculos no caso do poço infinito.

No caso das regiões externas, como já argumentamos, o potencial é infinito, e portanto a probabilidade de encontrarmos a partícula fora do poço é necessariamente nula. A função de onda terá, portanto, de ser nula na região externa:

(14.4)

A continuidade da função de onda impõe que ψ(a/2) = ψ(-a/2) = 0.

Vamos ver a seguir que esta condição de fronteira ou de contorno nos leva diretamente à QUANTIZAÇÃO da energia. Mas, antes, notamos que, neste caso, a derivada da função de onda, dψ(x)/dx, não pode também ser nula nestes pontos extremos (x = ± a/2), já que, se esse fosse o caso, então a função de onda ψ(x) = 0 para todo valor de x.

A QUANTIZAÇÃO de energia ocorre quando os níveis de energia de um sistema quântico são discretos.

Para justificar que se ψ(x) e dψ(x)/dx são nulas para o mesmo valor de x, então ψ(x) = 0 para todo x, vamos recordar a analogia da equação de Schrödinger (14.2) com a equação de movimento do oscilador harmônico simples:

. Lembre-se de que são equações diferenciais idênticas, basta fazer a correspondência ψ → x e x → t (a menor das constantes, é claro). Assim, o caso em que ψ(x) = 0 e dψ(x)/dx = 0 para o mesmo valor de x iria corresponder, no caso do oscilador harmônico, a x = 0 e dx/dt = 0 em um certo instante de tempo, ou seja, a partícula estaria na origem (portanto, sem sofrer ação de força) e com velocidade nula. Portanto, nunca sairia da origem, ou seja, x = 0 para todo t. Apesar de x = 0 para todo t ser uma solução possível para o oscilador harmônico, ψ(x) = 0 para todo x não é uma solução válida da equação de Schrödinger.

m d x dt kx

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Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial infi nito

Portanto, vemos aqui uma diferença com relação ao que acontece no caso do poço fi nito: a derivada da função de onda é descontínua em x = ± a/2. Você pode estar intrigado pelo fato de isso ser possível. Afi nal, nos vários problemas que resolvemos até agora, sempre impusemos a continuidade da derivada. Na verdade, como dissemos claramente na Aula 4, são permitidas descontinuidades na derivada da função de onda, dψ(x)/dx, apenas nos pontos em que o potencial apresenta descontinuidades infi nitas.

1. Mostre, a partir da equação de Schrödinger, que são permitidas descontinuidades na derivada da função de onda apenas nos pontos em que o potencial apresenta descontinuidades infi nitas. Para isso, integre a equação de Schrödinger com um potencial V(x) entre os pontos x0 -δ e x0 +δ, em que x0 é o ponto em que ocorre a descontinuidade do potencial e δ é infi nitesimal.

Integramos ambos os lados da equação de Schrödinger entre os limites sugeridos:

derivadaRepare que há dois termos do lado direito da equação.

A última equação é uma expressão para a descontinuidade da

O primeiro termo deve ser nulo no limite δ → 0, já que a função de onda tem de ser fi nita. Assim, para que haja uma descontinuidade na derivada, o segundo termo não pode se anular. A única maneira de satisfazer esta condição é através de um potencial infi nito.

d dx ψ md dx

V x x E x m d dx dx V x x d x ψ ψ ψ δ x E x dx m d dx d dx x x x x x

∫ ∫E x dx V x x dx x x

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Introdução à Mecânica Quântica | O poço de potencial infinito

14 MÓDULO 2

Determinamos as constantes A e B da Equação (14.3) aplicando as condições de fronteira ψ(a/2) = ψ(–a/2) = 0. Temos assim:

onde utilizamos o fato que cos(–x) = cos(x), e sen(–x) = –sen(x). Somando e substraindo essas relações, chegamos em

Como as constantes A e B não podem ser simultaneamente nulas, já que isto levaria novamente a ψ(x) = 0 para todo valor de x, as soluções possíveis para a Equação (14.6) são:

No primeiro caso, as soluções serão da forma ψ(x) = Acos(kx), onde k deve satisfazer cos(ka/2) = 0. Por causa desta condição, os valores possíveis de k são aqueles para os quais ka é um múltiplo impar de π,

As funções de onda associadas a cada valor de kn , ψn(x) = Ancos(knx), podem ser normalizadas:

de onde obtemos An = (2/a)1/2, independente de n. A forma geral dessas soluções será, portanto,

Da mesma maneira, podemos encontrar a segunda classe de soluções da Equação (14.7), que correspondem a A = 0 e sen(ka/2) = 0. O resultado é:

k n ψn x a n a ψn x n sen π

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