Aula 15 - CEDERJ - Introdução à Quântica

Aula 15 - CEDERJ - Introdução à Quântica

(Parte 1 de 3)

o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Meta da aula O oscilador harmônico

oscilador harmônico simples,

Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial de um

• obter a solução da equação de Schrödinger para um oscilador harmônico simples quântico;

Para melhor compreensão desta aula, você deverá rever o oscilador harmônico clássico, que estudou em Física 2A e Mecânica Clássica, e seus estudos sobre equações diferenciais e séries de potências das disciplinas de Cálculo.

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sobre a massa uma força restauradora(Lei de Hooke) sempre
potencial, e as soluções da equação de movimento de Newton
oscilador,Ao longo do seu curso, você deve ter percebido que

O oscilador harmônico simples é um dos primeiros sistemas que estudamos na Mecânica Clássica e também um dos mais importantes. Uma de suas realizações experimentais mais simples é por meio de uma massa m ligada a uma mola ideal de constante elástica k. A mola exerce que a partícula sofre um deslocamento x, medido a partir da posição em que a mola está relaxada. O sistema é descrito por uma energia são funções x(t) que oscilam no tempo com a freqüência natural do a importância do oscilador harmônico na Física Clássica vai muito além do sistema massa-mola. Oscilações harmônicas surgem em uma imensa variedade de sistemas: pêndulo, fluidos, circuitos eletromagnéticos etc.

quântica de massa m sob ação de um potencial da forma,

Um sistema “massa-mola” quântico é definido por uma partícula tal como o ilustrado na Figura 15.1.

Figura 15.1: O potencial do oscilador harmônico.

Assim como na Física Clássica, o oscilador harmônico também tem uma importância fundamental na Mecânica Quântica. O motivo para isso é que sempre podemos aproximar o ponto de equilíbrio de um potencial qualquer, V(x), pelo potencial parabólico do oscilador harmônico, como ilustrado na Figura 15.2. Graficamente, isso significa encontrar a parábola que melhor se ajusta ao potencial em torno do mínimo. Se a energia total da partícula for suficientemente pequena, de

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15 MÓDULO 2 modo que a partícula passa a maior parte do tempo em torno do mínimo, onde a parábola é uma boa aproximação à curva de energia potencial, o sistema será aproximadamente harmônico.

Figura 15.2: O potencial V(x) (linha cheia), aproximado na região do entorno de seu mínimo, em x = a, por um potencial parabólico, típico de um oscilador harmônico (linha tracejada).

Analiticamente, podemos encontrar o potencial harmônico que aproxima V(x) na vizinhança do ponto x = a, em que V(x) tem um mínimo, considerando a expansão em série de Taylor em torno do mínimo, a x já que a primeira derivada do potencial, em x = a, é nula, por se tratar de um mínimo. Assim, vemos que o potencial de oscilador harmônico

comé uma aproximação de V(x) em torno do mínimo.

Desta forma, o potencial harmônico pode ser utilizado em casos em que existem pequenas oscilações em torno de pontos de equilíbrio estável, como, por exemplo, no estudo de vibrações de moléculas ou dos átomos em um sólido.

,(15.2)

No caso do oscilador harmônico, a equação de Schrödinger tem a forma:

V x V a x a dV x a d V dxV

( ) ( ) ( ) ( )= + − 

x a x a dx x a k d V dx x a d x

(15.1)

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angular do oscilador clássico,, e das variáveis adimensionais
eFazendo essas substituições, a equação

que tem soluções para valores positivos da energia E. Costuma-se reescrever a Equação (15.2) utilizando as defi nições da freqüência de Schrödinger fi ca na forma:

(15.3)

Vamos começar nosso estudo pela análise do comportamento da função de onda ψ(ξ). Fazemos mais uma substituição, defi nindo a função h(ξ) de modo que:

(15.4)

Substituindo a Equação (15.4) na Equação (15.3), obtemos a equação diferencial para h(ξ):

(15.5)

Essa equação é conhecida como equação de Hermite.

d hd dh d h

1. Faça, em detalhe, os passos algébricos que levam à Equação (15.3) e à Equação (15.5).

Partimos da equação de Schrödinger,
e fazemos as substituições sugeridas, ou seja,,
eNote que as derivadas com relação a x também
têm de ser substituídas:

RESPOSTA COMENTADA Assim, obtemos:

d x dx m d d dx m d ψ ω ψξ ψ ω ψξ h h

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15 MÓDULO 2

Para resolver a equação de Hermite, lembramos que, como o potencial do oscilador harmônico é uma função par, V(-x) =V(x), pela discussão da aula passada, a função de onda ψ(x) e, portanto, a função h(ξ) terão paridade bem definida; ou seja, serão funções pares ou ímpares. Vamos, assim, considerar a expansão de h(ξ) em séries de potências nos dois casos: quando essa função for par e quando ela for ímpar.

(15.6)

a. h(ξ) par Neste caso, h(ξ) terá uma expansão exclusivamente em potências pares: que, quando substituída na Equação (15.5), leva à relação

(15.7)

a que pode ser reescrita

(15.8)
ψξξξ()()/=−eh2 que é a Equação (15.3). Fazendo agora a substituição, vamos

tomar a derivada segunda:

Finalmente, substituindo esse resultado em, obtemos a

Equação (15.5):

d d d e dh d e h e d hd d e hξ e d h e dh e h e hd h cn n h h h h h h m m d d m m d d

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Essa série de potências será exatamente nula somente se todos os coefi cientes forem nulos, o que leva imediatamente à relação de recorrência:

(15.9)

2. Obtenha a Equação (15.7).

RESPOSTA Substituindo a Equação (15.6) na Equação (15.5), obtemos:

cn n

(15.10)

Observamos que, para valores grandes de n, o quociente

(15.1)

que é justamente a relação entre os coefi cientes da expansão c d d c cn n n n n n n nc ncn n n n n n c nc n n n n n n n cn n n n n n n n n n n ξ

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