Aula 16 - CEDERJ - Introdução à Quântica

Aula 16 - CEDERJ - Introdução à Quântica

(Parte 1 de 2)

o b j e t i v o

Pré-requisitos

Meta da aula Exercícios

Aplicar o formalismo quântico estudado nas Aulas 1 a 15 deste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

Os conteúdos das Aulas 1 a 15 desta disciplina.

• Esperamos que, após o término desta aula, você tenha consolidado os conteúdos das Aulas 1 a 15, do Módulo 2.

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Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios

1.1. Um feixe de elétrons de 2 eV incide sobre uma barreira de potencial retangular de 4 eV de altura e 1 nm de espessura.

(a) Qual é a probabilidade de transmissão T? (b) Qual seria o valor de T para elétrons de 6eV?

(a) Trata-se do caso em que a energia é menor que a altura da barreira. Podemos usar a Equação (1.8) deduzida na Aula 1:

em queSubstituindo os valores na
fórmula, obtemos

(b) Agora temos a energia maior que a altura da barreira, então usamos a Equação (1.10) da Aula 1:

em queSubstituindo os valores na
fórmula, obtemos

1.2. Supondo que podemos ajustar a espessura da barreira do exercício 1.1.a, qual o valor da mesma para que 1 elétron, de cada 1000 incidentes, tunelasse através dela?

T k K Ka k K sen senhh

T k k k a k k

V k

0 2 2sen sen a

T = 0, 83

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MÓDULO 2

Podemos usar a Equação (1.8) da Aula 1 para obter uma expressão para a espessura a:

Usando, E = 2 eV, V0 = 4 eV e K = 7,2 nm–1, obtemos

a = 0.576 nm.

1.3. Um próton e um dêuteron (que possui duas vezes a massa do próton), ambos com uma energia cinética de 3MeV, incidem sobre uma barreira de 10fm de espessura e altura igual a 10MeV. Calcule a probabilidade de transmissão para cada uma destas partículas.

Usamos novamente a expressão

No caso do próton, usamos m = 1,67 × 10–27kg e obtemos

. Substituindo na fórmula, obtemos T = 3,1 × 10–5. Já no caso do dêuteron, temos K = 8,2 × 1014 m–1 e T = 2,5 × 10–7. Veja que, se aumentarmos a massa apenas por um fator 2, a probabilidade de tunelamento diminui por duas ordens de magnitude!

T = 1/1000

1 senh

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O POÇO DE POTENCIAL FINITO (AULA 13)

2.1. Um elétron está no interior de um poço quadrado de 10 eV de profundidade. a. Se a energia do estado fundamental do eletron no poço é de 8 eV, calcule a largura do poço. b. Repita o item anterior para o caso em que 8 eV seja a energia do primeiro estado excitado.

a. Usando a Equação (13.27), temos, que re-

RESPOSTA COMENTADA laciona a energia e a largura de um poço quadrado no caso de uma solução par (como a do estado fundamental). Usando as definições de k e K’, temos:

Deste modo,

onde n = 0, 1, 2,Assim, há vários valores possíveis da largura a
largura de poço possível, ou seja, n = 0. Obtemos entãoComo

(em radianos) que satisfazem os dados do problema. No entanto, note que ainda não impusemos a condição de que este é o estado fundamental (o estado par com menor energia). Os diferentes valores possíveis de a correspondem a diferentes estados pares, todos com energia de 8 eV, mas apenas um deles deve ser o estado fundamental para o poço correspondente. Note que, quanto mais largo o poço, maior o número de estados ligados. Ou seja, se aumentarmos muito a largura do poço, certamente introduziremos estados pares com energia menor que 8 eV. Assim, o valor de n para o qual o estado em questão é o estado fundamental deve corresponder à menor

(13.25),, que se refere a funções de onda ímpares.

b. No caso do primeiro estado excitado, temos de usar a Equação Repetindo o procedimento do item anterior, obtemos:

(em radianos) k mE K m V E Kk V E tan ,ka ka cot ,ka ka

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onde, novamente, n = 0, 1, 2,Pela mesma argumentação anterior,

MÓDULO 2 escolhemos n = 0 (estamos em busca do estado ímpar de menor energia).

Obtemos entãoak

A atividade a seguir é opcional, pois requer do aluno um conhecimento básico de programação.

2.2. Crie um pequeno programa de computador que calcule as energias dos estados ligados de um elétron em um poço quadrado finito.

Seu programa deve ter aproximadamente a seguinte estrutura:

1. Defina a massa do elétron, constante de Planck, a altura e a largura do poço.

2. Varie a energia E em passos muito pequenos desde 0 até V0 , e calcule k e K’.

3. Em cada passo, verifique se as Equações (13.25) (para estados ímpares) ou (13.27) (para estados pares) são satisfeitas, dentro de uma certa tolerância.

O POÇO DE POTENCIAL INFINITO (AULA 14)

3.1. Faça uma estimativa da energia de ponto zero de um nêutron em um núcleo, tratando-o como se estivesse em um poço quadrado infinito de largura igual a um diâmetro nuclear de 10–14 m (Eisberg-Resnick, Problema 20, Capítulo 6).

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