Cálculo diferencial e integral II

Cálculo diferencial e integral II

(Parte 1 de 2)

APOSTILA Cálculo Diferencial e Integral I

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Professores: Lauro César Galvão Luiz Fernando Nunes

Cálculo I – (Lauro / Nunes) i

1 Integrais Impróprias1-1
1.1 Limites infinitos de integração1-3
1.1.1 Testes de Comparação1-6
1.2 Integrandos com descontinuidades infinitas1-8
1.3 Algumas aplicações das integrais impróprias1-14
1.3.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência1-14
1.3.2 Aplicações em estatística1-15
1.3.3 Aplicações em transformadas integrais1-15
1.3.4 Função Gama e Função Fatorial1-16
1.3.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia1-16
1.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software MAPLE1-17
1.5 Exercícios Propostos1-17
2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais2-1
2.1 Como as abelhas se comunicam?2-1
2.2 Coordenadas Polares2-3
2.2.1 Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares2-4
2.2.2 Caso Geral da Espiral de Arquimedes2-5
2.2.3 Constante2-5
2.2.4 Caso Geral da Cardióide2-6
2.2.5 Caso Geral do Caracol2-6
2.2.6 Caso Geral da Rosácea2-7
2.3 Gráficos diversos em coordenadas polares2-9
2.3.1 Equação do pólo (origem)2-9
2.3.2 Equação que passa pela origem2-9
2.3.3 Retas paralelas e perpendiculares ao eixo polar2-10
2.3.4 Algumas circunferências2-10
2.3.5 Limaçons2-1
2.3.6 Cardióides2-12
2.3.7 Lemniscata de Bernoulli2-12
2.3.8 Espiral de Arquimedes2-12
2.3.9 Rosáceas2-13
2.4 Áreas em Coordenadas Polares2-14
2.4.1 Área de um Setor Circular2-14
2.4.2 Áreas em Coordenadas Polares (dedução)2-14
2.5 Volume de Sólido Obtido pela Rotação de um Conjunto2-20
2.5.1 Volume em Coordenadas Polares2-20
2.5.2 Fórmula do Volume Simplificada2-2
2.6 Diferencial do Comprimento de Arco2-2
2.6.1 Comprimento de Arco2-23
2.7 Área da Superfície de Sólidos de Revolução2-24
2.7.1 Dedução da Fórmula Cartesiana2-24
2.7.2 Área da Superfície de Sólidos de Revolução na Forma Polar2-26
2.8 Exercícios2-28
3 Integrais Eulerianas3-1
3.1 Leonhard Euler3-1
3.2 Função Gama (G)3-2
3.2.1 Fórmula de Recorrência3-2
3.2.2 Função Gama para 10<<n3-3
3.2.3 Função Gama para 0<n3-3
3.3 Função Beta (b )3-5
3.3.1 Definições Decorrentes3-6
3.4 Exercícios3-7
4 Tópicos de Topologia dos Espaços Reais n-Dimensionais4-1
4.1 O Espaço Vetorial  n4-1
4.2 Produto Interno em n4-2
4.3 Norma de x n ou Comprimento do Vetor x n4-2
4.3.1 Propriedades da Norma Euclideana ()x,||=4-2
4.4 Distância em n4-3
4.4.1 Propriedades das Distâncias em n4-3
4.5 Bolas e Conjuntos Limitados4-4
4.5.1 Definição: Segmento de Reta4-5
4.5.2 Definição: Conjunto Convexo4-5
4.5.3 Definição: Ponto de Acumulação4-5
4.5.4 Definição: Conjunto Limitado4-5
4.5.5 Definição: Ponto Interior4-5
4.5.6 Definição: Ponto Exterior4-5
4.5.7 Definição: Ponto Fronteira4-5
4.5.8 Definição: Conjunto Aberto4-6
4.5.9 Definição: Conjunto Fechado4-6
4.5.10 Definição: Conjunto Conexo4-6
4.5.1 Definição: Região Aberta4-7
4.5.12 Definição: Região Fechada4-7
4.6 Exercícios4-8
5 Funções em Espaços n-Dimensionais5-1
5.1 Introdução5-1
5.2 Limites e Continuidade de Funções de n-Variáveis Reais5-7
5.2.1 Limites de Funções em n5-7
5.2.2 Continuidade de Funções em n5-9
6 Derivadas6-1
6.1 Derivadas Parciais6-1
6.1.1 Incremento parcial e incremento total6-1
6.1.2 Regras de derivação6-4
6.1.3 Derivadas Parciais Sucessivas6-8
6.1.4 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais6-10
6.1.5 Equações das Retas Tangentes6-1
6.1.6 Diferenciabilidade6-14
6.2 Gradiente6-20
6.3 Diferenciais6-2
6.3.1 Generalizando as diferenciais6-23
6.4 Derivadas de Funções Compostas6-26
6.4.1 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Intermediárias6-26
6.4.2 Regra da Cadeia para Funções de Três Variáveis Intermediárias6-27

Cálculo I – (Lauro / Nunes) i 6.4.3 Regra da Cadeia para Duas Variáveis Independentes e Três Variáveis

Intermediárias6-28
6.4.4 Regra da Cadeia Generalizada6-29
6.4.5 Derivadas de Funções Implícitas6-31
6.5 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis6-34
6.5.1 Teorema de Weierstrass6-37
6.5.2 Aplicações: Exercícios6-38
7.1 Introdução7-1
7.2 Integrais Duplas7-3
7.2.1 Interpretação Geométrica7-4
7.2.2 Área da Região D7-4
7.2.3 Propriedades das Integrais Duplas7-4
7.3 Cálculo de Integrais Duplas7-5
7.3.1 Teorema para o Cálculo de Integrais Duplas7-5
7.3.2 Definição: Integrais Iteradas7-6
7.4 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas7-9
7.5 Coordenadas Polares7-10
7.5.1 Obtenção da fórmula7-10
7.5.2 Área DA’ do retângulo em D’7-10
7.5.3 Área DA do retângulo polar em D7-1
7.5.4 Integral dupla em D’7-1
7.6 Cálculo de Volumes (Aplicações)7-13
7.7 Cálculo de Áreas de Regiões Planas7-15
7.8 Integrais Triplas7-16
7.9 Cálculo de Integrais Triplas7-17
7.10 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas7-19
7.1 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas7-20
7.12 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas7-21
7.13 Aplicações Físicas da Integral Dupla7-23
7.14 Aplicações Físicas da Integral Tripla7-25
7.15 Exercícios7-28
8 Formulário e Referências8-1
8.1 Formulário de Derivadas e Integrais8-1

1 Integrais Impróprias

Na definição das integrais definidas òb a integração de a até b era finito. Além disso, era necessário que a imagem do integrando fosse finita neste domínio. Em outras palavras, a função f era definida em todos os pontos do intervalo limitado []ba, e f não tinha descontinuidades infinitas neste intervalo.

Agora estenderemos o conceito de integral definida para os casos onde o intervalo de integração é infinito e também para os casos onde a função f tem descontinuidades infinitas

Primeiramente, para motivar uma definição razoável para integrais com limites infinitos de integração, considere o problema calcular a área da superfície situada abaixo da

direita da reta x = 1 (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem). Normalmente a intuição nos leva a imaginar erroneamente que a referida área é infinita, pois estamos acostumados a raciocinar sobre dimensões finitas. Desta forma, vamos num primeiro momento, calcular a área hachurada na primeira das figuras abaixo, isto é, a dx =

Analogamente, se quisermos calcular a área até a reta 3=x, obtemos dx =

Da mesma forma, se a região cuja área que está sendo calculada estiver limitada à esquerda pela reta 1=x e à direita pela reta 4=x, podemos dx =

Prosseguindo desta forma, percebemos que se limitarmos a referida área pela reta tx=, e aumentarmos cada vez mais o valor de t, isto é, fazendo ¥fit, a área da região em questão se aproxima cada vez mais de 1. No entanto, dependendo da função que limita superiormente a área que estamos calculando o resultado poderá ser diferente. Por exemplo,

se neste mesmo caso substituirmos a função de regra 21 x y= pela regra x seria infinita.

Usando esta discussão como guia, será possível de definirmos precisamente o significado de integral imprópria onde o limite de integração é infinito. Mas antes disto, vamos apresentar uma outra questão para motivar ainda mais os estudos das integrais impróprias:

Pergunta: É possível de se pintar um muro de área infinita com o conteúdo de uma lata de tinta de volume finito?

Antes de responder a esta pergunta, considere o seguinte problema: Calcular a área da

superfície situada abaixo da curva que representa o gráfico da função de regra ()x acima do eixo das abscissas e à direita da reta x = 1, isto é, calcule a área da região hachurada da figura que segue (perceba que esta região se estende infinitamente à medida que os valores de x crescem).

Agora imagine que a região hachurada do problema anterior gira em torno do eixo das abscissas. Neste caso, será gerado o sólido de revolução apresentado na figura seguinte. Este sólido recebe o nome de “Corneta de Gabriel”. Qual seria então o volume deste sólido?

Depois de apresentadas as definições de integrais impróprias, será visto que o volume deste sólido pode ser dado também por uma integral imprópria representada por dx . Isto significa que o volume solicitado é igual a p unidades de volume.

Desta forma, o volume de um sólido de revolução, gerado por uma superfície de área infinita pode ter um volume finito. Retornando para a questão inicial, foi sugerido que se alguém pudesse saturar o interior deste sólido com tinta e permitir que esta fosse filtrada para a superfície, então poderia pintar uma superfície infinita com uma quantidade de tinta finita! O que você acha?

Seja f uma função definida e contínua para todo x tal que 0 £x£ +¥. Então

1.1 Limites infinitos de integração

dxxf)( = ò+¥fib ab

Se este limite existe (como um número real). Pode-se dizer ainda que, caso exista o limite, a integral imprópria converge e, caso não exista, a integral imprópria diverge.

De forma análoga são definidas as outras integrais impróprias com limites infinitos:

Se este limite existe (como um número real).

Novamente, dizemos que, caso exista este limite, a integral imprópria converge e, caso não exista, a integral imprópria diverge.

Finalmente, se os dois limites de integração são infinitos temos:

Se estes limites existirem (como números reais). Neste caso, dizemos que integral imprópria converge se ambos os limites existirem e que, a integral imprópria diverge, se qualquer um dos limites não existir.

Em todos estes casos, quando dizemos que um limite existe, estamos assumindo que o mesmo tem como resultado um número real.

Exemplos

Resolução:

Resolução:

Resposta: p 3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes:

dxx e b) ò-+¥fir r dxxlim a) Resolução:

Resposta: diverge b) Resolução:

Resposta: 0 Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para definir a integral imprópria em (a).

dx converge ou diverge.

Resolução:

Resposta: DIVERGE

5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de

Resolução:

Resposta: +¥ e p, respectivamente.

1.1.1 Testes de Comparação

Muitas vezes não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, então tentamos primeiramente determinar se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, podemos utilizar métodos numéricos para resolvê-la de forma aproximada. Para auxiliar nesta tarefa de decidir se a integral converge ou diverge alguns teoremas podem ser utilizados:

a dxxg)( converge, então ò a dxxf)( também

A prova deste teorema está sendo omitida, no entanto, a figura que segue o faz parecer plausível.

Exemplo

Resolução:

Resposta: CONVERGE Teorema

a dxx)(j diverge, então ò a dxxf)( também diverge.

Exemplo

1 dx

Resolução:

Resposta: DIVERGE Teorema

a dxxf)( converge, então ò a dxxf)( também CONVERGE.

Observação Diz-se que a última integral é absolutamente convergente.

Exemplo

1 3sin dx

Resolução:

Resposta: CONVERGE

1.2 Integrandos com descontinuidades infinitas

Definição Se a função f é contínua no intervalo ],]ba, então ò b

se este limite existir (como um número real).

Definição Se a função f é contínua no intervalo [,[ba, então ò b a dxxf)( =ò

se este limite existir (como um número real).

Definição Se a função f é contínua no intervalo ],[ba exceto em c tal que bca<<, então ò b a dxxf)( =ò

se os limites existirem (como números reais).

Exemplos

Resolução:

Resposta: DIVERGE

Resposta: 1

Resolução:

Resposta: DIVERGE

ATENÇÃO: Muitas vezes pode parecer “tentador” aplicar o Teorema Fundamental do

Cálculo diretamente a uma integral imprópria, sem utilizar os limites apropriados. Para ilustrar o que pode acontecer, vamos ignorar que a integral deste exemplo é imprópria:

o que é errado, pois como o integrando nunca é

negativo, o valor desta integral também não poderia ser.

Outros Exemplos de Integrais Impróprias Calcular as seguintes integrais impróprias:

dxex.

Resolução:

Resposta: 1

Resolução:

Resposta: a2

Resolução:

Resposta: DIVERGE

Resolução:

Resposta: DIVERGE

Resolução:

Resposta: p

Resolução:

Resolução:

Resposta: DIVERGE sindxbxeax.

Resolução:

1.3 Algumas aplicações das integrais impróprias

1.3.1 Cálculo do comprimento de uma circunferência

primeiro quadrante e depois multiplicar o resultado por 4, obtendo o comprimento total da circunferência.

dx dx dyC r ò ÷ dx r

Esta última integral é imprópria, pois existe uma descontinuidade infinita em x = r, assim:

-fi b rb xr rb r x arcsinlim4 œ ß b r

1.3.2 Aplicações em estatística As integrais impróprias são amplamente utilizadas na teoria das probabilidades.

Por exemplo, a função cuja regra é 2 2 x exf)(é chamada de função da

densidade de probabilidade normal, com média m e desvio padrão s. O número m indica onde a distribuição de probabilidades está centralizada, enquanto que o parâmetro s indica a dispersão em torno da média.

Esta função possui, entre outras, as seguintes características: a) a distribuição é simétrica em relação a x = m, pois f é uma função par; b) a função f tem um ponto de máximo para x = m;

-¥fi xfx

+¥fi xfx d) a função admite dois pontos de inflexão para sm–=x.

e) A área sob a curva normal entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre estes pontos.

1.3.3 Aplicações em transformadas integrais Sejam ()tf e ()tpg,, funções de variáveis t e p, a integral imprópria

0 produz uma nova função da variável p, indicada por ()pF e

Há vários tipos de transformadas integrais, por exemplo as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier, que são muito utilizadas para encontrar soluções de equações diferenciais.

A função ()tpg, é chamada de núcleo da transformação. Por exemplo: Se

A transformada de Laplace transforma uma equação diferencial em uma equação algébrica, facilitando a sua resolução.

Estudos mais aprofundados das transformadas integrais, bem como das equações diferenciais serão efetuados em outras disciplinas mais específicas.

1.3.4 Função Gama e Função Fatorial

Definida pelo matemático Leonard Euler, a função Gama é definida através da seguinte integral imprópria:

dxex =ò-

¥fi b xb

xb e 0 lim œßø Œº æ - ¥fi b e

Este assunto será estudado de forma mais detalhada em um capítulo posterior, onde será mostrado, entre outras coisas, que G÷ ł

“Fórmula de Recorrência”, que é:

Desta forma, a função gama generaliza a função fatorial, sendo possível estender as

diversas integrais que seriam complicadas de serem resolvidas por métodos convencionais, como por exemplo:

1.3.5 Integrais Impróprias no Campo da Economia

São muitas as aplicações das integrais impróprias na economia. Por exemplo, suponha que exista um fluxo contínuo de receita para o qual o juro é acumulado continuamente à taxa de 100 i por cento e ()tf reais é a receita por ano, em qualquer tempo de t anos. Se a receita continuar indefinidamente, o valor atual, V reais, de toda receita futura é dado pela seguinte integral imprópria:

1.4 Resolvendo integrais impróprias com o uso do software

Na seqüência apresentamos um exemplo do uso do MAPLE para resolver integrais impróprias:

Calcule a integral

Inserimos os dados da seguinte forma:

>f : = (x+3) / ( (x-1)*(x2+1) ); Na sequência utilize o comando de integração >int(f, x=2..infinity);

O Software MAPLE fornece a resposta:

Para se obter o valor numérico desta expressão, podemos utilizar o comando de cálculo evalf, especificando o número de dígitos, da seguinte forma: >evalf(“,6);

O símbolo (“) indica ao computador para calcular o valor da última expressão da tela,

1.5 Exercícios Propostos Resolva os seguintes exercícios sobre integrais impróprias:

Resolução:

Resposta: 1

Resolução:

Resposta: 1

Resolução:

Resposta: 1

Resolução:

Resposta: 2p

0 sin cos dx

Resolução:

Resposta: 2

25. Calcular ò

Resolução:

Resolução:

Resposta: DIVERGE

Resolução:

Resposta: DIVERGE

Resolução:

y x

Gráfico da função

¥- dxe xk

Resolução:

30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou divergem:

a) dx x xò

Resolução:

Resposta: CONVERGE

b) dxx ò

Resolução:

Resposta: DIVERGE

2 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais

2.1 Como as abelhas se comunicam?

Lionel S. Gonçalves-FFCLRP-USP-Ribeirão Preto-SP As abelhas são insetos que pertencem à ordem dos Himenóptera, tendo surgido na face da terra há mais de 50 milhões de anos (Figura a seguir) e sempre presentes em civilizações antigas como dos gregos e egipcios, há mais de cinco séculos (Figura seguinte). Existem abelhas solitárias, semi-sociais e sociais, sendo a comunicação o principal fator que as distingue quanto a sua sociabilidade. A comunicação entre elas é tanto mais elaborada e complexa quanto mais evoluído e social for seu grupo. As abelhas sem ferrão (Meliponas) e as abelhas do mel, ou Apis mellifera são as mais evoluidas.

A comunicação é a troca ou transferência de mensagens ou informações entre dois ou mais seres vivos. Para que isso ocorra há a necessidade de um código prévio de sinais ou informações que constituirão a base da linguagem a ser usada na comunicação. Esses sinais podem ser físicos, químicos, biológicos ou uma combinação deles apresentados na forma de reações do organismo, movimentos, produção de substâncias (feromônios) etc. A comunicação pode apresentar tal complexidade que o próprio ser humano muitas vezes é incapaz de interpretar o significado de certos sinais usados na linguagem dos animais.

Entre os diversos aspectos da vida dos animais talvez a comunicação seja o que mais fascina os cientistas. Neste aspecto destacamos o pesquisador austríaco Karl von Frisch, que após 50 anos de estudos sobre comunicação das abelhas, recebeu o Prêmio Nobel de Medicina e Fisiologia em 1973, pelas suas descobertas. A comunicação entre as abelhas pode ser através de sinais químicos ou cheiros, sons ou ruídos e danças ou movimentos rítmicos os quais são usados para comunicarem a localização de alimentos, água, locais de nidificação, presença de inimigos, atração sexual, agregação, abandono do ninho etc. Portanto, as abelhas apresentam linguagem que lhes permitem não apenas se comunicarem entre si como também lhes garantem a sobrevivência da espécie.

As Apis mellifera ou abelhas de mel ou abelhas Europa são dotadas de um sistema de comunicação dos mais complexos e precisos entre os animais. Em 1788 o reverendo Ernst

Spitzner já havia relatado a existência de movimentos especiais (danças) de algumas abelhas no favo, porém desconhecia o significado dessas danças. A explicação do significado da dança das abelhas deu-se somente a partir de 1920, em Luz am See, na Austria, por Karl von Frisch, que demonstrou, experimentalmente, que as abelhas campeiras, após localizarem uma fonte de alimento, retornam para casa (colmeia) e informam às companheiras, com grande precisão, onde se encontra a fonte de alimento. Estas informações são transmitidas por intermédio de danças especiais (Figura a seguir) que indicam a direção e a distância onde se encontra a fonte de alimento (von Frisch, 1953).

Colméia

Árvores Flôres

Dança do requebrado

Existem três tipos de danças: “dança em círculo”, “dança em foice” e “dança do requebrado” (Figura seguinte) (von Frisch & Lindauer, 1956). Segundo esses mesmos autores existem inclusive dialetos na comunicação das abelhas. Quando a fonte de alimento se encontra a pequenas distâncias da colméia é executada a dança em círculo. Quando a fonte se encontra a grandes distâncias é executada a dança do requebrado, e a distâncias intermediárias é executada a dança em foice. A abelha utiliza o sol como sua bússola, sendo extremamente importante sua localização para que seja informado o local da fonte de alimento (árvore com flores). As abelhas enxergam o sol mesmo através das nuvens (raios ultravioletas). No entanto, não necessitam ver o sol enquanto dançam, podendo executar as danças mesmo no escuro, no interior da colméia. Por outro lado, as abelhas são capazes de se orientar mesmo após o por do sol. Na “dança do requebrado” a abelha, após chegar da fonte de alimento, procura se comunicar com as companheiras no favo, inicialmente oferecendo alimento

(trofalaxis) e a seguir executa movimentos rítmicos do abdômen. A direção em que a dança é feita no favo, em relação ao fio de prumo, fornece um ângulo que corresponde exatamente ao ângulo formado entre a fonte de alimento (árvore com flor), posição do sol e colméia. À medida que o sol se movimenta a abelha corrige o ângulo correspondente. As abelhas operárias que assistem a dança, ao saírem da colméia, localizam a fonte de alimento, tomando por base o ângulo informado na dança. Se o ângulo é de 45 graus a direita do fio de prumo, se orientam com ângulo de 45 graus à direita do sol para localizar o alimento. A distância é informada pelo som produzido pelas vibrações do abdômen. Ao se aproximarem da flor elas usam as células sensoriais (sensillas) localizadas nas suas antenas que captam os sinais químicos ou cheiros. Os olhos compostos (omatídeos) e olhos simples (ocelos) auxiliam na localização exata da fonte de alimento.

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