Aula 18 - CEDERJ - Introdução à Quântica

Aula 18 - CEDERJ - Introdução à Quântica

o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Meta da aula

Resolver a equação de Schrödinger para o caso de uma caixa cúbica e para o potencial harmônico tridimensional, reduzindo este problema ao já estudado em uma dimensão.

• aplicar o estudado na aula anterior ao caso de uma caixa de lados iguais;

• estabelecer a relação entre o grau de degenerescência de um nível de energia e a simetria do potencial;

• descrever o movimento quântico do oscilador harmônico tridimensional.

Para melhor compreensão desta aula, é preciso que você reveja as Aulas 15 e 17 desta disciplina.

Separação da equação de

Schrödinger em coordenadas cartesianas 2. Partícula numa caixa cúbica e num potencial harmônico tridimensional

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98 CEDERJ cartesianas 2. Partícula numa caixa cúbica e num potencial harmônico tridimensional

Na aula passada, estudamos o comportamento de uma partícula quântica de massa µ em uma caixa tridimensional com o formato de um paralelepípedo de lados L1 , L2

. Vimos, naquele caso, que o problema podia ser separado nas coordenadas x, y e z, e que podíamos facilmente obter as soluções da equação de Schrödinger em três dimensões a partir das soluções para o problema do poço infinito de potencial, estudado na Aula 14. Nesta aula, consideraremos um caso particular, porém importante, do sistema estudado na aula passada. Vamos considerar que temos uma partícula quântica em uma caixa tridimensional cúbica,

= L3

Obtivemos, na aula passada, as funções de onda normalizadas para uma partícula de massa µ em uma caixa tridimensional de lados

(18.1)
(18.2)

cujos valores da energia associados são:

Lembre-se: estes são os níveis de energia quantizados do sistema designados pelo conjunto de números quânticos n1 , n2 e n3

, que são inteiros positivos. Vamos agora tomar o caso particular de uma caixa cúbica de lado

L, fazendo L1 = L2

= L nas Equações (18.1) e (18.2). Obtemos, assim, as funções de onda e as auto-energias da caixa cúbica:

,(18.3)
(18.4)

E L n n n n n ψn n n x,y,z

L L L n L x n

sen πn ψn n n x,y,z

L n L x n π π ππn

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18 MÓDULO 1

Vemos que o estado de menor energia, o chamado estado fundamental, corresponde aos valores n1 = n2

= 1 ou, se preferirmos, utilizando a notação vetorial (n1 , n2

), o estado fundamental é o estado

(1,1,1). A energia deste estado, pela Equação (18.4), é:

(18.5)

É conveniente medirmos a energia em unidades de πµ2222h/L. Nestas unidades normalizadas, o valor da energia do estado fundamental é E111 = 3.

O seguinte nível de energia corresponde ao caso em que um dos é igual a 2, e os restantes são iguais a 1. Temos, desta forma, que três estados, o (2,1,1), o (1,2,1) e o (1,1,2), têm o mesmo valor da energia: E 211 = E 121 = E 112 = 6 (nas unidades normalizadas).

Considerando as funções de onda correspondentes, dadas pela Equação (18.1), vemos que essas três funções de onda são diferentes, ou seja, correspondem de fato a três estados distintos da partícula quântica, mas que compartilham o mesmo valor da energia. Portanto, este nível de energia é triplamente degenerado. Da mesma forma, podemos verifi car que o seguinte nível de energia será E221 = E212

= 9 e, portanto, também será triplamente degenerado.

= π h µ

1. Calcule as energias e o grau de degenerescência dos primeiros 8 níveis da caixa cúbica.

Não há outra maneira de resolver esse problema, senão por inspeção direta. O resultado é:

Primeiro nível: E = 3; estado (1,1,1); degenerescência = 1 (nãodegenerado).

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Quinto nível: E = 12; estado (2,2,2); degenerescência = 1.

Como resultado geral, note que, sempre que os três números quânticos forem diferentes, teremos uma degenerescência igual a 3! = 6. Se apenas dois deles forem iguais, a degenerescência é 3!/2! = 3. E, obviamente, se os três números forem iguais, não há degenerescência.

Lembre-se de que, no caso do poço infi nito unidimensional, não tínhamos encontrado degenerescências nos seus níveis de energia. Também não há degenerescências no caso da caixa tridimensional para valores diferentes de L1 , L2

, L 3 (a não ser para escolhas muito particulares destes comprimentos). A origem da degenerescência que encontramos agora está diretamente associada às simetrias do potencial. Este é um resultado bastante geral: quanto maior a simetria de um potencial, maior a degenerescência dos níveis de energia associados a ele.

2. Considere o caso em que dois dos lados da caixa são iguais, e o terceiro apenas 10% maior, por exemplo L1 = L2 e L3 = 1,1L1. Esta é uma caixa chamada tetragonal, em vez de cúbica. Encontre as energias e degenerescências dos 3 níveis de energia mais baixa. Use unidades

dee considere como parâmetro a quantidade λ = L3 /

L1 > 1. Verifi que que, sendo menor a simetria do potencial, também vai ser menor a degenerescência dos níveis quando comparados com os da caixa cúbica.

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18 MÓDULO 1

RESPOSTA COMENTADA A expressão (18.2) torna-se

Em unidades de, temos .

Sendo assim, os 3 níveis mais baixos são:

Primeiro nível: E = 2,83; estado (1,1,1); degenerescência = 1. Segundo nível: E = 5,32; estado (1,1,2); degenerescência = 1.

Apenas com estes três níveis, já podemos notar que a caixa tetragonal tem níveis com menor degenerescência que a caixa cúbica. No caso da caixa cúbica, o segundo nível tinha degenerescência 3. Para a caixa tetragonal, vemos que esta degenerescência tripla é quebrada: surge, em seu lugar, um nível com degenerescência dupla e outro não degenerado.

Consideramos, como outro exemplo de um sistema tridimensional separável em coordenadas cartesianas, o movimento de uma partícula de massa µ no potencial

, (18.6)

onde k1 , k2 são constantes. Perceba que este potencial é a soma de três potenciais harmônicos nas três direções cartesianas, como se a partícula estivesse ligada a três molas atuando nas três direções. Como sistema mecânico, isto seria difícil de se realizar, mas, na verdade, o potencial (18.6) é bem mais comum do que possa parecer. Você se lembra de quando dissemos, na Aula 15, que o potencial harmônico era uma aproximação para qualquer potencial em 1-D que tivesse um mínimo? Pois bem, o mesmo acontece em 3-D: o potencial (18.6) é uma aproximação para qualquer potencial que tenha um mínimo no espaço tridimensional! n n n

L n n n n

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Vemos que esse potencial corresponde a termos forças restauradoras lineares, Fx = -k1x , Fy = -k2 y, Fz = -k3 z, ou seja, que

, (18.7)
se definirmos

seguem a lei de Hooke, como no caso unidimensional. Como dissemos, o potencial é separável, ou seja, pode ser escrito na forma

, (18.8)

Assim, podemos, da mesma forma que estudamos na aula anterior, procurar soluções que sejam produtos de três funções de uma variável, que satisfazem as equações de Schrödinger unidimensionais:

com a condição adicional

Utilizando os resultados do caso unidimensional estudado na Aula 15, temos que os valores possíveis da energia são:

, (18.10)
onde, , . As funções de onda

correspondentes podem ser obtidas como produto das funções de onda unidimensionais que são soluções das Equações (18.9.a.b.c), e que foram obtidas na Aula 15. A forma explícita destas funções de onda tridimensionais é:

(18.1)

ψ ψ ψd dy ψ ψ ψd dz

0 1 2= + + + + + =( ) ( ) ( ) , , , , , ,..h h hω ω ω

ψ α α α α n n n n n n n n n x x y z C C C H x H y H z e 1 2 3

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Aula 15,, e os fatores de normalização Cn são

onde os Hn(ξ) são os polinômios de Hermite, estudados na dados por

(18.12)

Observamos que, se as constantes k1 , k2 são diferentes, os níveis de energia dados pela Equação (18.10) são, em geral, não degenerados. Como fizemos no caso da caixa tridimensional, vamos considerar, a seguir, o caso em que o potencial é simétrico.

No caso em que k1 = k2

= k, os níveis de energia do oscilador harmônico podem ser escritos na forma

(18.13)
em queAs autofunções vão ser dadas pelas Equações (18.1)
e (18.12), comVemos que, no caso do oscilador

harmônico, os níveis de energia dependem da soma dos números quânticos

, enquanto no caso da caixa tridimensional, estudado anteriormente, os níveis de energia dependiam da soma dos quadrados desses números. No caso do oscilador harmônico, é possível En caracterizar os níveis de energia por apenas um número quântico, n = n1 + n2

Observamos que o nível de menor energia é aquele em que n1 = n2

= n = 0, e tem um valor da energiaEste nível é

não degenerado, já que corresponde a apenas uma autofunção do sistema, embora todos os outros o sejam, como veremos a seguir.

corresponde a n = 1, tem um valor da energia, e é triplamente

Por exemplo, o nível de energia logo acima do estado fundamental degenerado, já que está associado às autofunções obtidas com os valores

excitado tem uma energia, e é seis vezes degenerado, já que

os valores possíveis de (n1 , n2

0 1 2= + + + =( ) , , , , , ,,hω

C n in i n i

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diferença de energia entre dois níveis consecutivos é sempre,
que o nível de energiaé (n+1)(n+2)/2 vezes degenerado,

Note que os níveis de energia são igualmente espaçados, já que a exatamente como no oscilador em 1-D. Podemos também observar já que esse é o número de maneiras pelo qual pode ser obtido n como

soma dos três números inteiros n1 , n2

. Portanto, o oscilador harmônico isotrópico é outro exemplo de como a simetria do potencial é associada à degenerescência dos níveis de energia.

3. Calcule as energias e degenerescências dos primeiros 5 níveis do oscilador harmônico isotrópico.

RESPOSTA Mais uma vez, procedemos por inspeção direta da Equação (18.13).

Primeiro nível:; estado (0,0,0); degenerescência = 1.
Segundo nível:; estados (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1); degene-

rescência = 3.

Terceiro nível:; estados (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1)
Quarto nível:; estados (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3), (2,1,0), (1,2,0),
Quinto nível:; estados (4,0,0), (0,4,0), (0,0,4), (3,1,0), (1,3,0),
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1. Vamos calcular a pressão exercida por um gás com 20 elétrons em uma caixa cúbica de volume V. Este problema é semelhante ao que você resolveu nas Atividades Finais da Aula 14, para o poço infinito. Como naquela ocasião, vamos supor que a interação entre os elétrons seja fraca, de modo que eles sintam apenas o potencial da caixa, como se estivessem isolados uns dos outros. Lembramos ainda que o Princípio de Exclusão de Pauli permite apenas que 2 elétrons ocupem cada estado quântico, cada um com uma orientação de spin.

a. Preenchendo cada estado com 2 elétrons, obtenha a energia interna total do sistema de 20 elétrons.

b. Suponha agora que um agente externo aumente o tamanho da caixa, expandindo-a de um volume V para V + ∆V. Qual a variação da energia interna E do sistema de 20 elétrons no limite ∆V << V ?

c. Sabendo que a pressão é, qual a pressão exercida pelos elétrons

na caixa? a. Se temos um total de 20 elétrons, utilizando o resultado da Atividade 1 desta aula, vemos que os 4 níveis de energia mais baixos estarão totalmente ocupados com elétrons. Assim, a energia interna do sistema será:

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2. Para o oscilador harmônico tridimensional, considere o caso em que

em unidades de, e compare-as com o caso do oscilador harmônico isotrópico.

k1 = k2 ≠ k3, e estude as degenerescências dos 3 níveis de energia mais baixos,

Considere que a freqüência ω3 é apenas 10% maior que ω1, ou seja, ω3 = 1,1ω1. Verifique que, como no caso da caixa tridimensional, sendo menor a simetria do potencial, também vai ser menor a degenerescência dos níveis, quando comparados com os do oscilador harmônico isotrópico.

em que m é a massa do elétron, e usamos V = L3. b. Se o volume da caixa aumenta para V + ∆V, a nova energia interna

seráNo limite
∆V << V, obtemos
inicial:Notamos, então, que a energia

A variação da energia interna é a diferença entre energia final e energia interna do gás de elétrons diminui quando aumentamos o volume, da mesma forma que ocorre com um gás clássico.

c. A pressão é calculada porVeja que re-

sultado curioso! Em primeiro lugar, notamos que há uma pressão não-nula, mesmo à temperatura zero, o que não ocorre em um gás ideal clássico. Por outro lado, note que o produto pV5/3 mantém-se constante durante o processo de expansão do gás. Isto é exatamente o que acontece durante a expansão adiabática de um gás ideal monoatômico clássico, como você deve ter visto em Física 2A. Naquele caso, o produto pVγ era constante, onde γ = cp / cv = 5/3 para um gás monoatômico! p dE dV E

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MÓDULO 1

RESPOSTA COMENTADA A partir da Equação (18.10), temos:

Assim, em unidades de, temos:

Já podemos notar que a redução da simetria quebra a degenerescência do segundo nível do oscilador harmônico isotrópico, que antes tinha energia igual a 2,5 e era triplamente degenerado, em dois níveis com energias 5,5 (duplamente degenerado) e 2,65 (não degenerado).

No caso de uma partícula que se movimenta no interior de uma caixa tridimensional de lados iguais, os níveis de energia associados a funções de onda diferentes podem ser iguais, ou seja, podem apresentar degenerescência. A degenerescência dos níveis de energia é associada à simetria do potencial em que se movimenta a partícula. No caso do oscilador harmônico tridimensional, as funções de onda associadas aos estados de uma partícula que se movimenta sob a ação deste potencial têm a forma de um produto de três funções de onda do oscilador harmônico unidimensional, com energias associadas iguais à soma das energias de cada um destes osciladores unidimensionais. No caso em que as constantes de mola dos osciladores tenham todas o mesmo valor, o oscilador harmônico isotrópico resultante terá estados excitados degenerados, com um grau de degenerescência que aumenta com a energia do nível. Também nesse caso, a degenerescência é causada pela simetria do potencial em que se movimenta a partícula.

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Na próxima aula, vamos considerar outro método de separação da equação de Schrödinger tridimensional em equações em uma dimensão, desta vez utilizando coordenadas polares esféricas. Esse método será aplicado a diferentes sistemas que serão estudados no restante da disciplina.

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