Aula 21 - CEDERJ - Introdução à Quântica

Aula 21 - CEDERJ - Introdução à Quântica

(Parte 1 de 3)

o b j e t i v o

Pré-requisito

Meta da aula Exercícios

Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de uma série de exercícios.

• Esperamos que, após o término desta aula, você tenha consolidado os conhecimentos adquiridos no Módulo 3 (Aulas 17 a 20).

Ter completado o estudo dos assuntos indicados no encabeçamento de cada grupo de exercícios.

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PARTÍCULA LIVRE E CAIXA DE POTENCIAL EM TRÊS DIMENSÕES (AULA 17)

1.1. (a) Verifique se a função de ondaé autofunção da

Hamiltoniana para a partícula livre, e encontre o valor de E correspondente. Sugestão: use a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas. (b) Verifique se a função de onda do item anterior é autofunção do momento linear. Sugestão: use a expressão do gradiente em coordenadas esféricas. (c) Interprete fisicamente esse estado quântico.

ψ( )r er

(a) Para verificar se a função de ondaé autofunção da

equação de Schrödinger para a partícula livre com energia E, , consideramos o operador laplaciano em coorde-

nadas esféricas,
e substituímosna equação de onda,
(b) O gradiente em coordenadas esféricas é

Portanto, a função de onda descreve uma partícula livre com energia

Assim, aplicando o operador momento à função de onda, temos .

Deste modo, como o resultado desta operação não é proporcional à função de onda, esta não é uma autofunção do momento.

ψ( )r er ψ( )r er e km er km ikr ikr

E km = h f r f r r f r f θ θ ϕ θ ϕ sen .

r r rf r f r f sen sen sen2θ θ θ θ θ ϕ

−− −−i i r r i r iker er ikr ikr

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MÓDULO 1

(c) Vemos que a função de onda representa uma onda esférica, podendo então representar partículas quânticas emergentes de uma fonte pontual. Tais funções de onda são muito úteis em problemas de espalhamento, por exemplo. Como a onda esférica se propaga em todas as direções a partir da fonte, a função de onda não tem um vetor momento linear bem definido.

PARTÍCULA NUMA CAIXA CÚBICA E NUM POTENCIAL HARMÔNICO TRIDIMENSIONAL (AULA 18)

2.1. Considere 20 elétrons em uma caixa inicialmente cúbica de volume V = L3, como na Atividade Final 1 da Aula 18. Suponha que um agente externo realize uma deformação uniaxial, ou seja, reduz apenas um dos lados da caixa (digamos, ao longo do eixo x) por uma fração ∆L/L. Qual a variação da energia total dos elétrons no limite ∆L<<L?

Antes da deformação, a expressão geral para a energia do nível (n1 , n2 n3 ) é dada por:

Ao aplicarmos a deformação ao longo de x, quebramos as degenerescências de alguns níveis, e a energia do nível (n1 , n2 , n3 ) torna-se:

Assim, quando a caixa é comprimida, cada nível (n1 , n2 , n3 ) sofre um deslocamento de energia dado por

mL n n n n n π h m n

L L nL n L mL n n n n n L L n n n n n L mLn n n n n n n n n

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Note que a variação de energia só depende do valor de n1 . Para encontrarmos a variação da energia total quando a caixa contiver 20 elétrons, teremos que somar a variação da energia de todos os níveis ocupados. Como cada estado definido pelos números quânticos n1 , n2 , n3 pode ser ocupado, no máximo, por dois elétrons, consideramos os 10 primeiros estados de

O OPERADOR MOMENTO ANGULAR (AULA 19)

3.1. Definimos o comutador de dois operadores A e B como

[A, B] = AB – BA. Supondo que esses operadores estejam atuando sobre uma função f(x, y, z), verifique as seguintes relações: (a) [x, x] = [x, y] = [x, z] = [y, y] = [y, z] = [z, z] = 0

(b) [px , px] = [px , py] = [px , pz] = [py , py] = [py , pz] = [pz , pz] = 0 (c) [px , x] = [py , y] = [pz, z]= – i (d) [Lx, Ly] = i Lz ; [Ly, Lz] = i Lx; [Lz , Lx] = i Ly

(e) [L2 , Lx] = [L22

, Ly] = [L22

, Lz] = 0

Em todos os casos, a resposta é obtida aplicando-se o comutador em questão a uma função qualquer f(x,y,z). Alguns exemplos de cada item:

(a), de modo que .

(b)

(c) π πh h∆ ∆L mL L mL x y f y x p x f i x x f i x xf x f i x f x i f

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De modo que

MÓDULO 1 yp zp yp xp z y x z x z z y z x z z

−− −−zzp zp zp xp zp yp zp zp xp yp xp zp f yp zp yxp p y x y z x z x y z z z y

−− z y x y z x z x y z z z y z x z p p zxp p zyp p z p p xyp p xp zp f yp zp z p −− −− −−

= y x y z x z x y z y z x y x p zxp p zyp p z p p xp zp f z x y z x z z y p zyp p xp zp f yp zp zxp p zyp p xp zp f z f zx f y z zy f x z x z z fy

(e) Neste caso, a solução se simplifica se usarmos a relação

Assim, temos

Por exemplo, no caso específico do momento angular, como,

Relações de comutação como essas são muito importantes em Mecânica Quântica, pois pode ser demonstrado que podemos encontrar um conjunto de autofunções simultâneas de dois operadores que comutam. existe um conjunto de funções que são simultaneamente autofunções de

L2 e Lz (que, neste caso, são os harmônicos esféricos Ylm ).

yz f x z zx f y z zy f x z x f xz f y z x f y i xp yp i Ly x z

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