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Aula 21 - CEDERJ - Introdução à Quântica, Exercícios de Física

Exercícios

Tipologia: Exercícios

2010

Compartilhado em 20/05/2010

caio-br-4
caio-br-4 🇧🇷

4.8

(19)

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Baixe Aula 21 - CEDERJ - Introdução à Quântica e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity! ob je tiv o 21AULA Pré-requisito Meta da aula Exercícios Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de uma série de exercícios. • Esperamos que, após o término desta aula, você tenha consolidado os conhecimentos adquiridos no Módulo 3 (Aulas 17 a 20). Ter completado o estudo dos assuntos indicados no encabeçamento de cada grupo de exercícios. 148 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 149 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 PARTÍCULA LIVRE E CAIXA DE POTENCIAL EM TRÊS DIMEN- SÕES (AULA 17) 1.1. (a) Verifique se a função de onda é autofunção da Hamiltoniana para a partícula livre, e encontre o valor de E correspondente. Sugestão: use a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas. (b) Verifique se a função de onda do item anterior é autofunção do momento linear. Sugestão: use a expressão do gradiente em coordenadas esféricas. (c) Interprete fisicamente esse estado quântico. ψ ( )rr e r ikr = RESPOSTA COMENTADA (a) Para verificar se a função de onda é autofunção da equação de Schrödinger para a partícula livre com energia E, , consideramos o operador laplaciano em coorde- nadas esféricas, e substituímos na equação de onda, Portanto, a função de onda descreve uma partícula livre com energia . (b) O gradiente em coordenadas esféricas é Assim, aplicando o operador momento à função de onda, temos . Deste modo, como o resultado desta operação não é proporcional à função de onda, esta não é uma autofunção do momento. ψ ( )rr e r ikr = − h 2 2 2m E∇ =ψ ψ ψ ( )rr e r ikr = − ∂ ∂ ( ) = − ∂ ∂ = =h h h h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2m r r r m r r e k m e r k m ikr ikr ψ ψ E k m = h 2 2 2 r ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ f r f r r f r f ˆ ˆ ˆθ θ ϕ θ ϕ 1 1 sen . ∇ = ∂ ∂ ( ) + ∂ ∂ ∂ ∂     + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f r r rf r f r f sen sen sen2θ θ θ θ θ ϕ − −i i r r i r ike r e r ikr ikr h r h h∇ = ∂ ∂      ψ ψ ˆ ˆ 2 150 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 151 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 De modo que . (d) p x ix ,[ ] = − h L L f yp zp zp xp fx y z y x z, ,  =   =− − = ( )( ) ( )( )  = yp zp zp xp zp xp yp zp f yp zp yp xp z y x z x z z y z x z z − − − − − − − zp zp zp xp zp yp zp zp xp yp xp zp f yp zp yxp p y x y z x z x y z z z y z x z + + +( ) = − − − z y x y z x z x y z z z y z x z p p zxp p zyp p z p p xyp p xp zp f yp zp z p − − − − 2 2 2 + + +( ) = y x y z x z x y z y z x y x p zxp p zyp p z p p xp zp f yp zp z p p zxp + +( ) =   + − − − 2 2 , y z x z z y z x y z x z z y p zyp p xp zp f yp zp zxp p zyp p xp zp f y − − − − − ( ) = +( ) = ∂h2 ∂ ∂ ∂     + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂             z z f x zx f y z zy f x z x z z f y 2 2 − − (e) Neste caso, a solução se simplifica se usarmos a relação Assim, temos Relações de comutação como essas são muito importantes em Mecânica Quântica, pois pode ser demonstrado que podemos encontrar um conjunto de autofunções simultâneas de dois operadores que comutam. Por exemplo, no caso específico do momento angular, como , existe um conjunto de funções que são simultaneamente autofunções de L2 e Lz (que, neste caso, são os harmônicos esféricos Ylm ). = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   − − − −h 2 2 2 2 2 y f x yz f x z zx f y z zy f x z x f y xz f y z    = ∂ ∂ ∂ ∂       = ( ) =− − −h h h2 y fx x f y i xp yp i Ly x z L L L L L L L L L L L Lx x y z x x x y x z x 2 2 2 2 2 2 2, , , , ,  = + +  =   +   +   AB C ABC CAB ABC ACB ACB CAB A B C A C B, , ,[ ] = = + = [ ] + [ ]− − − L L L L L L L L L L L L L x x x y x z x x x x x x 2 2 2 2, , , , , ,   =   +   +   = [ ] + [ ] +   +   + [ ] + [ ] = L L L L L L L L L L L L L i L L x y y x y x y z z x z x z y z , , , , h − − L L L L L Lz y z y y z+ +( ) = 0 L Lz 2 0,  = 152 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 153 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 3.2. Considere as funções Y1x e Y1y , introduzidas na Atividade Final 2 da Aula 19. Mostre que os valores esperados de em ambos estados Y1x e Y1y são nulos. RESPOSTA COMENTADA As funções a que nos referimos podem ser escritas como combinações lineares do harmônicos esféricos: . O valor esperado de no estado Y1x é: em que a integral em dΩ é feita sobre as variáveis angulares θ e ϕ. Sabendo que os harmônicos esféricos Ylm são autofunções de com autovalores m , temos L̂z ˆ ˆ*L d Y L Yz Y x z x x1 1 1= ∫ Ω Y Y Y Y Y Y i x y1 1 1 11 1 1 1 11 2 2 = =− − − − − , L̂z L̂z h ˆ ˆ* *L d Y L Y Y d Y Y Yz Y x z x x1 1 1 1 11 1 1 1 11 2 1 2 2 =       = ( ) = ∫ ∫Ω Ω− − − − − − h h h h 2 2 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11d Y Y Y Y d Y Y Y YΩ Ω− − − − − − − * * * *      +( ) = ( ) +∫ ( )∫ Usamos agora a ortonormalidade dos harmônicos esféricos: , obtemos . No caso de Y1y , a demonstração é idêntica. d Y Ylm l m l l m mΩ * , ,, ,θ ϕ θ ϕ δ δ( ) ( ) =′ ′ ′ ′∫ O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO (AULA 20) 4.1. Neste problema, vamos estudar o átomo de hidrogênio em duas dimensões. Considere a equação de Schrödinger bidimensional para o caso em que a energia potencial depende somente da coordenada radial no plano, ou seja . V r V r( ) ( ) r = ˆ * *L d Y Y d Y Yz Y x1 1 1 1 1 11 11 0= ( ) =∫ ∫− −− −h Ω Ω , 152 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 153 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 (a) Lembrando que x = r cosθ e y = r senθ, mostre que . (b) A partir desta relação, mostre que as autofunções da equação de Schrödinger para uma partícula de massa µ são da forma , onde m é inteiro, e a parte radial f(r) é a solução da equação diferencial . (c) Considere agora que o potencial seja Coulombiano, ou seja, . Suponha ainda que busquemos uma solução com momento angular nulo, ou seja, m = 0. Mostre que, de forma seme- lhante ao átomo de hidrogênio em três dimensões, uma função f r Ae r a( ) = − é solução da equação radial. Encontre o valor do “raio de Bohr” a e da energia E para que isso aconteça. Compare os valores encontrados com o caso tridimensional. RESPOSTA COMENTADA (a) Invertendo as relações x = r cosθ e y = r senθ , temos e . Usando a regra da cadeia, obtemos , em que ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1ψ ψ ψ ψ ψ θx y r r r r ψ θ θ( , ) ( )r f r eim= d f dr r df dr E V r m r f 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0+ +             = µ µh h − −( ) V r Ze r ( ) = − 2 04π ε θ = ( )tan−1 y xr x y= +2 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ x r x r x y r y r y θ θ θ θ ∂ ∂ = + = = ∂ ∂ = + = = ∂ ∂ = − r x x x y x r r y y x y y r x y x 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sec θ θ θ θ sen = ⇒ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ⇒ ∂ ∂ = − − − sen senθ θ θ θ θ θ θ θ θ r x r y x r y r cos sec cos cos 2 2 1 1 156 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 157 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 Substituindo na equação: Para que a última equação seja válida para todo r, devemos ter: , que nos dá Vemos que o raio de Bohr é duas vezes menor, e a energia de ligação é quatro vezes maior para o átomo de hidrogênio em duas dimensões, comparado ao caso tridimensional. Esse resultado é usualmente descrito como devido a uma amplificação dos efeitos da interação coulombiana nos sistemas com dimensionalidade reduzida. 4.2. Os estados estacionários do átomo de hidrogênio são as funções de onda . (a) Podemos construir um estado do hidrogênio pela super- posição . Mostre que, no caso em que n ≠ n’, l ≠ l’, ou m ≠ m’, essa superposição não é um estado estacionário nem é autofunção de L̂2 ou de L̂z . (b) Construa um estado do hidrogênio que seja autoestado simultâneo de e , mas não de . (c) Idem para um estado que seja autoestado simultâneo de e , mas não de . A a e A ar e E Ze r Ae a ar E Z r a r a r a 2 2 2 0 2 2 2 4 0 1 1 2 − − −− − + +       = + + µ π ε µ h h e r 2 04 0 π ε       = 1 2 0 1 2 4 0 2 2 2 2 0 a E a Ze + = + = µ µ π ε h h − a Z e E a Z e = = = 2 2 8 0 2 2 2 2 2 4 2 0 2 2 π ε µ µ µ π ε h h h − ψ θ ϕnlm r( , , ) ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕ( , , ) ( , , ) ( , , )’ ’ ’r a r b rnlm n l m= + Ĥ L̂2 L̂z Ĥ L̂z L̂ 2 . 156 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 157 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 RESPOSTA COMENTADA (a) Sabemos que as funções de onda são autofunções de (autovalores ), (autovalores ) e (autovalores m ). Assim, operando com , e nesse estado, temos: • • • Portanto, vemos que em nenhum dos três casos o estado de superposição é um autoestado do respectivo operador. (b) Para que isso ocorra, temos que ter uma superposição com e l l= ′ , porém com . Assim, . (c) Para que isso ocorra, temos que ter uma superposição com e m = m’, porém com l l≠ ′ . Assim, . Note que, para que isso seja possível, . ψ θ ϕnlm r( , , ) Ĥ E e nn =      − µ π ε2 4 1 2 2 0 2 2 h h L̂2 h2 1l l( )+ L̂z 4.3. (a) Determine <r> e <r2> para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio, expressando sua resposta em termos do raio de Bohr a. (b) Determine <x> e <x2> no estado fundamental, usando o resultado do item anterior e as simetrias do estado fundamental (não é preciso calcular outras integrais). (c) Determine <x2> no estado n = 2, l = 1, m = 1. Note que esse estado não é esfericamente simétrico. Ĥ L̂zL̂ 2 Ĥ a b aE bEnlm n l m n nlm n n l mψ ψ ψ ψ+[ ] = +′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ˆ ( ) ( )L a b al l bl lnlm n l m nlm n l m 2 2 1 1ψ ψ ψ ψ+[ ] = + + ′ ′ +[ ]′ ′ ′ ′ ′ ′h L̂ a b am bmz nlm n l m nlm n l mψ ψ ψ ψ+[ ] = + ′[ ]′ ′ ′ ′ ′ ′h n n= ′ m m≠ ′ ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕr a r b rnlm nlm, , , , , ,( ) = ( ) + ( )′ ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕr a r b rnlm nlm, , , , , ,( ) = ( ) + ( )′ n n= ′ ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕr a r b rnlm nlm, , , , , ,( ) = ( ) + ( )′ ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕr a r b rnlm nlm, , , , , ,( ) = ( ) + ( )′ m l l≤ , ’ h 158 C E D E R J Introdução à Mecânica Quântica | Exercícios C E D E R J 159 A U LA 2 1 M Ó D U LO 1 RESPOSTA COMENTADA (a) A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, obtida a partir da Tabela 20.2 da Aula 20, usando Z = 1, é dada por O valor esperado de r é Já o valor esperado de r2 é dado por Ambos os resultados reforçam a idéia de que o raio de Bohr é uma boa medida do tamanho do átomo de hidrogênio. (b) Como a distribuição de probabilidades associada ao estado 1s do átomo de hidrogênio é esfericamente simétrica, e levando-se em conta que x é uma função ímpar, temos: , pois o produto será também uma função ímpar, cuja integal no espaço todo é nula. Para calcular o valor esperado de x2, podemos novamente usar a propriedade de simetria esférica do estado 1s, que nos leva ao seguinte resultado: . Assim, usando o resultado do item (a), obtemos . (c) A função de onda do estado n = 2, l = 1, m = 1, segundo os dados da Tabela 20.2 (novamente com Z = 1), é dada por: ψ θ ϕ π100 3 2 1 ( , , )r a e r a= − x rψ θ ϕ100 2 ( , , ) x y z r 2 2 2 2 3 = = = x a2 2= r d d dr r r r r a d = = ∫ ∫ ∫ ∞ ϕ θ θ ψ θ ϕ ψ θ ϕ π ϕ π π π 0 2 0 2 100 0 100 3 0 21 sen * ( , , ) ( , , ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ = = = d dr r e a dr r e a a a r a r aθ θ π sen 0 3 2 0 3 3 2 0 3 4 4 4 6 16 3 2 − − r d d dr r r r r a d 2 0 2 0 2 100 2 0 100 3 0 1 = = ∫ ∫ ∫ ∞ ϕ θ θ ψ θ ϕ ψ θ ϕ π ϕ π π sen * ( , , ) ( , , ) 2 0 4 2 0 3 4 2 0 3 5 2 4 4 24 32 3 π π θ θ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ = = = d dr r e a dr r e a a a r a r asen − − x d r x r= =∫ 3 100 2 0ψ θ ϕ( , , )
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