CEDERJ - Aula 10 - Física Estatística

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Aula 10 - Aplicacao: Radiacao Termica MODULO 1 - AULA 10

Aula 10 - Aplicacao: Radiacao Termica

Meta Descrever o espectro de radiacao termica.

Objetivos Ao final desta aula voce devera ser capaz de:

1. calcular a funcao de particao para N osciladores quanticos em equilıbrio termico em qualquer dimensao;

2. relacionar o espectro de emissao de radiacao termica com a temperatura de um corpo;

Pre-requisitos

Esta aula requer que voce esteja familiarizado com o espectro de energia do oscilador quantico, sistema estudado na Aula 18 de Introducao a Mecanica Quantica e com as propriedades das ondas eletromagneticas no vacuo, assunto das Aulas 2, 3 e 4 de Fısica 4A.

Introducao

Todo corpo que esteja a uma temperatura diferente de zero emite radiacao eletromagnetica em diversas frequencias. A intensidade da radicao emitida depende muito da frequencia que esta sendo examinada e da temperatura do corpo e e praticamente independente de qualquer outro detalhe do sistema. Foi exatamente a tentativa de explicar esse comportamento que levou Planck a formular, em 1900, a hipotese de que os nıveis de energia disponıveis para a radicao seriam discretos e nao contınuos, como se acreditava na epoca. Essa hipotese, feita sem qualquer justificativa fısica, e classificada como “ato de desepero por Planck, permitiu nao so a obtencao de curvas teoricas em completo acordo com as experimentais, como e considerada o marco inicial da Mecanica Quantica. Em seguida Einstein aplicou a mesma ideia para explicar com sucesso as principais caracterısticas das curvas de calor especıfico dos solidos. Nesta aula vamos ver aspectos gerais dos sistema de osciladores, e a aplicacao ao espectro da radiacao termica.

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Sistemas de Osciladores

Suponha que tenhamos um conjunto de N partıculas quanticas sujeitas a um potencial do tipo harmonico, em equilıbrio termico com um reservatorio na temperatura T. Se as partıculas sao independentes, podemos obter o comportamento do sistema completo a partir da funcao de particao de um unico oscilador, assim comecamos por aı.

A equacao de Schrodinger estacionaria para um oscilador tridimensional e

Vamos considerar o caso em que as constantes elasticas sao todas iguais a k. Como visto na Aula 18 de Introducao a Mecanica Quantica, os nıveis de energia devidos a esse potencial tem a forma

~ω n = nx + ny + nz , nx,ny,nz = 0,1,2(10.1)

onde ω e a frequencia natural do oscilador.

Se T = 0 o estado fundamental, com n = 0 e o estado de equilıbrio.

Quando T > 0, a probabilidade de ocupacao de nıveis acima do fundamental e nao nula, sendo dada pelo fator de Boltzmann. O macroestado de um unico oscilador pode ser identificado pelo valor de n, e os microestados pelos valores de (nx,ny,nz). A funcao de particao para um oscilador tridimensional e

A soma dentro dos colchetes, Zω, e a funcao de particao de um oscilador unidimensional, a menos de um fator multiplicativo constante. Sua soma pode ser realizada facilmente pela serie geometrica (equacao ??). Identificamos

para obter

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Usaremos este resultado para descrever as propriedades da radiacao termica.

Radiacao termica

Muitas vezes o termo radiacao de corpo negro e usado para designar a radiacao termica. Um corpo negro e um objeto cuja superfıcie absorve completamente a radiacao incidente sobre ela, sem que qualquer parte seja refletida. Se o corpo esta em equilıbrio termico com o meio externo, a radiacao absorvida e re-emitida com um espectro que depende apenas da temperatura. O termo negro refere-se apenas a radiacao na faixa da luz visıvel, mas a definicao abrange todo o espectro eletromagnetico ja que um objeto que absorve toda a radiacao incidente sobre ele sera negro.

Na pratica, o comportamento de corpo negro e observado apenas em regioes especıficas de frequencia, por exemplo, se pintamos de negro a superfıcie de um corpo, ela absorvera praticamente toda a radiacao com comprimento de onda na regiao do visıvel, mas pode refletir raios-X, por exemplo. A melhor aproximacao para um corpo negro e um pequeno orifıcio na parede de uma cavidade, como indicado na figura 10.1. Quando o equilıbrio termico for atingido, as paredes da cavidade emitirao radiacao que sera constantemente absorvida e re-emitida. A radiacao incidente sobre o orifıcio, vinda de fora da cavidade, e completamente absorvida pelo orifıcio, portanto ele e um corpo negro. Por outro lado, uma pequena fracao da radiacao dentro da cavidade, sai pelo orifıcio depois de inumeras absorcoes e re-emissoes e pode ser examinada. Como o orifıcio e um corpo negro, a radiacao que sai dele e radiacao de corpo negro. Como essa radiacao e uma amostra da que esta contida na cavidade, concluımos que a radiacao dentro da cavidade tem as propriedade de radiacao de corpo negro.

Vamos descrever a radiacao dentro da cavidade como um conjunto de fotons, com todas as frequencias possıveis. O numero de fotons com cada frequencia determina quanta energia ha em cada uma. Como veremos a seguir, numa cavidade macroscopica, os valores possıveis de frequencia formam um espectro contınuo, assim, devemos considerar intervalos de frequencia dω, e nao seus valores individuais. Podemos medir a energia proveniente da radiacao em cada intervalo, construımos um histograma cujo nome e espectro de frequencias. Escrevendo a energia por unidade de volume, no intervalo ω → ω +dω, como e(ω)dω, definimos a densidade espectral e(ω). No caso da radiacao termica a curva de e(ω) em funcao de ω tem o aspecto indicado na figura 10.2.

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Figura 10.1: Idealizacao de um corpo negro. Uma cavidade contem radiacao em equilıbrio termico com suas paredes. Se fazemos um pequeno orifıcio, a radiacao incidente sobre ele e capturada e fica presa na cavidade, sendo absorvida e re-emitida. Eventualmente uma fracao da radiacao interna escapa pelo orifıcio.

Figura 10.2: Tıpica curva de densidade espectral para a radiacao termica de um corpo. A frequencia relativa ao pico da curva, assim com a area sob ela dependem da temperatura, ambas aumentando com o aumento da temperatura.

A meta de Planck, e de outros cientistas da epoca, era obter uma expressao para e(ω,T) que concordasse com os dados experimentais. Modelos classicos so eram capazes de descrever as regioes extremas de baixa e alta frequencias. Nao vamos entrar em maiores detalhes de como o estudo deste sistema evoluiu, ja vamos apresenta-lo na sua formulacao mais moderna.

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Vamos considerar a radiacao dentro de uma cavidade cubica, de volume V = L3. Primeiro vamos separar uma dada frequencia ω. A intensidade dela depende de quantos fotons existem com essa frequencia, assim, vamos calcular o numero medio de fotons com determinada frequencia, numa dada temperatura T. A energia de η fotons e = η~ω, assim, a funcao de particao e a propria Zω. O valor medio de η numa dada temperatura e, por definicao,

Definindo α ≡ β~ω, fica facil notar que

Usando a expressao (10.3), obtemos a distribuicao de Planck

Com este resultado podemos imediatamente calcular a energia media dos fotons com frequencia ω, que e dada por 〈 〉 = 〈η〉~ω.

Agora vamos ver quais frequencias podem existir na cavidade. O comprimento de onda da radiacao de frequencia ω e λ = 2pic/ω, sendo c a velocidade da luz no vacuo. Por simplicidade supomos uma cavidade cubica com volume V = L3. Uma cavidade macroscopica implica em L λ, para todos os comprimentos de onda presentes. Isso implica que podemos desprezar efeitos ocorrendo proximo as paredes, e descrever a radiacao interna a cavidade como simples ondas planas. Como visto na Aula 3 de Fısica 4A, as ondas eletromagneticas planas podem ser representadas matematicamente pelos campos eletrico (~E) ou magnetico (~B), ja que estes apresentam entre si a relacao ~B = (~k × ~E)/c, onde ~k e o vetor de onda, com modulo k = 2pi/λ na direcao de propagacao da onda. Escolhemos representar a onda pelo campo eletrico, dado por ~E = ~E0ei(~k·~r+ωt). Ja que o tipo de parede e irrelevante no limite termodinamico, escolhemos um material condutor para a cavidade, e supomos que esta esteja alinhada com os eixos xyz. Nesse caso, a componente do campo eletrico paralelo a cada parede deve se anular, ja que qualquer campo ao longo de um condutor movimenta cargas eletricas ate que estas criem um campo que exatamente cancele o externo. Assim, podemos

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Aula 10 - Aplicacao: Radiacao Termica escrever o campo eletrico das ondas estacionarias na cavidade como

Ex = Ex0 sen (ωt)cos (nxpixL sen (nypiyL sen (nzpizL

Ey = Ey0 sen (ωt) sen (nxpixL cos (nypiyL sen (nzpizL

Ez = Ez0 sen (ωt) sen (nxpixL sen (nypiyL cos (nzpizL onde nx, ny, nz sao numeros inteiros positivos, nao nulos. Neste caso definimos n2 ≡ n2x + n2y + n2z, e escrevemos as frequencias como ωn = npic

Finalmente, lembramos que a cada frequencia estao sempre associadas duas polarizacoes. Agora podemos calcular a energia total da radiacao na cavidade somando as contribuicoes de todas as frequencias. Temos

gn ~ωn

onde gn e a multiplicidade relativa aos valores de n. Assim como no gas ideal, valores macroscopicos de L levam a valores consecutivos de frequencia extremamente proximos, permitindo que aproximemos a soma em (10.9) por uma integral. A multiplidade pode ser calculada pelo metodo de construcao da casca de raio n e espessura dn, como feito na Aula 8. Temos

O fator 2 leva em conta as duas polarizacoes e o 1/8 considera apenas os valores positivos de nx, ny e nz. Fazendo a aproximacao para o contınuo, e definindo a variavel adimensional q ≡ β~npi/L, podemos escrever a energia como

dq q3

A definicao da variavel q fez com que a integral se tornasse adimensional, uma constante multiplicativa finita. O valor dessa integral pode ser encontrado em qualquer tabela, ele e pi4/15. Finalmente, escrevemos

Agora a expressao para e(ω) pode ser facilmente obtida, basta que a integral em (10.1) seja escrita em termos das frequencias, ou seja

dω ω3

Aula 10 - Aplicacao: Radiacao Termica MODULO 1 - AULA 10 permitindo identificar

Densidade de fluxo de radiacao: Lei de Stefan-Boltzmann

Observa-se experimentalmente que a energia total irradiada por um corpo negro aumenta nao linearmente com a temperatura. Vamos usar o modelo de Planck para calcular a quantidade: energia por unidade de tempo, por unidade de area, que emitida pela superfıcie do corpo negro.

Para esse calculo, usamos a ideia da cavidade. Vamos considerar energia da radiacao que sai do orifıcio da cavidade, na direcao definida pelos angulos θ e φ, durante o intervalo de tempo dt, cruzando a area dA (veja a figura 10.3). Essa quantidade corresponde a energia dos fotons propagandose na direcao (θ,φ), dentro do cilindro inclinado, com base de area dA e comprimento cdt. A radiacao na cavidade e isotropica. Isso significa que as direcoes de propagacao sao uniformemente distribuıdas. Qualquer volume dentro da cavidade tera uma fracao dΩ/4pi de fotons propagando com direcao dentro do angulo solido dΩ = dφsenθdθ. O fotons que chegarao a area dA durante o intervalo dt sao aqueles que estao no cilindro. A energia deles pode ser encontrada multiplicando-se a densidade de energia pelo volume do cilindro. Finalmente, somamos sobre todas as direcoes, lembrando que queremos apenas valores de θ definindo radiacao que sai da cavidade. Assim, temos

dAdt

0 (dAcdtcosθ) senθdθ = cE

(10.15) sendo σB a constante de Stefan-Boltzmann definida como

A expressao (10.15) e denominada lei de Stefan-Boltzmann.

Emissao e absorcao: Lei de Kirchhoff

A capacidade de uma superfıcie emitir radiacao e proporcional a capacidade dela absorver radiacao. Este e o enunciado da lei de Kirchhoff (1959). Definindo como a a absorvancia, ou fluxo de radiacao absorvida, e e a emitancia, ou fluxo de radiacao emitida, observamos que

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Figura 10.3: Radiacao que deixa a cavidade na direcao (θ,φ) cruzando a area dA, num intervalo de tempo dt.

• Um corpo negro tem, por definicao, a = e.

• Uma superfıcie perfeitamente refletora tem a = 0, logo tambem tem e = 0.

• De uma forma geral e = αa, 0 ≤ α ≤ 1, e espera-se que α, a e e dependam da frequencia.

Estimativa da temperatura da superfıcie de um corpo

Podemos aproximar a maioria dos corpos nao refletores, em equilıbrio termico, por um corpo negro. Isso significa admitir que o espectro de emissao de radiacao tera aproximadamente a forma (10.14). Assim, uma forma de estimar a temperatura de uma superfıcie emissora de radiacao termica, e medir a frequencia para a qual ocorre a maxima emissao. Se calculamos o maximo de e(ω) a partir da expressao (10.14), obtemos que este deve ocorrer para

Atividade 1 (Objetivos ) Corpos a temperatura ambiente emitem preferencialmente radiacao de que tipo? Resposta comentada

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Podemos usar diretamente a equacao (10.17), com o valor T = 300 K. Temos:

Dividindo por 2pi temos uma frequencia ≈ 2 ×1013 Hz. Observando a figura 2.1 da Aula 2 de Fısica 4A, identificamos essa radiacao como infra-vermelho. Conclusao: a luz visıvel proveniente de corpos a temperatura ambiente e essencialmente luz refletida, por isso nao os podemos ver no escuro. Para tal sao necessarios detetores de infra-vermelho. Fim da Atividade

E importante lembrar que alem da radiacao com a frequencia ωmax, um corpo negro emite radiacao em muitas outras frequencias. Por exemplo, um pedaco de madeira incandescente numa fogueira tem uma temperatura tipicamente de 1500 K, o que corresponde a uma frequencia de ≈ 1014 Hz, ainda no infravermelho, mas sendo um valor bem proximo da regiao da luz visıvel, ha uma consideravel emissao nessa regiao, por isso o vemos em tons avermelhados. A correta medicao de temperatura de um corpo negro deve levar em conta a potencia irradiada em todas as frequencias, e descontar qualquer fluxo de energia incidente.

Atividade 2 (Objetivos ) O fluxo de energia radiante vinda do Sol, na superfıcie da Terra, medida numa superfıcie normal a direcao de incidencia dos raios solares e JT = 0,136 W/cm2. Estime a temperatura da superfıcie do Sol. Considere que a distancia entre a Terra e o Sol seja d = 1,5 × 1011 m, e o raio do Sol

RS = 7 ×108 m. Resposta comentada

Primeiro calculamos a potencia de irradiacao do Sol, na orbita da Terra, multiplicando JT pela area da esfera de raio d.

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Temos P = 4pid2JT. Assim, na superfıcie do Sol,

Agora usamos a a lei de Stefan-Bolztmann para obter a temperatura:

fim da atividade

Radiacao de fundo do universo

Em 1965 foi observado que o universo era repleto de radiacao eltromagnetica com espectro na forma (10.14). O ajuste dessa expressao aos dados experimentais revelou um espectro na regiao de micro-ondas, consitente com uma temperatura de 2,8 K. A existencia dessa radiacao e uma das principais evidencias que fundamenta a teoria do Big-Bang. Nessa teoria, o universo inicial era feito de fotons, eletrons e protons, numa temperatura de cerca de 4000 K. Os fotons constantemente interagiam com eletrons e protons, atraves de diversos mecanismos. A medida que o universo se expandiu adiabaticamente, sua temperatura caiu e a combinacao de eletrons e protons na forma de atomso de hidrogenio tornou-se favoravel por volta dos 3000 K. Nesse ponto a radiacao eletromagnetica se desacoplou da materia, e os fotons passaram a viajar livremente pelo universo, formando a radiacao termica de fundo. O universo continuou sua expansao, o que provocou o resfriamento da radiacao de fundo ate o valor atual, de 2,8 K, e esse processo de resfriamento continua.

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