CEDERJ - Aula 10 - Física Estatística, Notas de aula de Física

Baixe CEDERJ - Aula 10 - Física Estatística e outras Notas de aula em PDF para Física, somente na Docsity! Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica MÓDULO 1 - AULA 10 Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica Meta Descrever o espectro de radiação térmica. Objetivos Ao final desta aula você deverá ser capaz de: 1. calcular a função de partição para N osciladores quânticos em equiĺıbrio térmico em qualquer dimensão; 2. relacionar o espectro de emissão de radiação térmica com a temperatura de um corpo; Pré-requisitos Esta aula requer que você esteja familiarizado com o espectro de en- ergia do oscilador quântico, sistema estudado na Aula 18 de Introdução à Mecânica Quântica e com as propriedades das ondas eletromagnéticas no vácuo, assunto das Aulas 2, 3 e 4 de F́ısica 4A. Introdução Todo corpo que esteja a uma temperatura diferente de zero emite ra- diação eletromagnética em diversas frequências. A intensidade da radição emitida depende muito da frequência que está sendo examinada e da tem- peratura do corpo e é praticamente independente de qualquer outro detalhe do sistema. Foi exatamente a tentativa de explicar esse comportamento que levou Planck a formular, em 1900, a hipótese de que os ńıveis de energia dispońıveis para a radição seriam discretos e não cont́ınuos, como se acre- ditava na época. Essa hipótese, feita sem qualquer justificativa f́ısica, e classificada como “ato de desepero´´ por Planck, permitiu não só a obtenção de curvas teóricas em completo acordo com as experimentais, como é consi- derada o marco inicial da Mecânica Quântica. Em seguida Einstein aplicou a mesma idéia para explicar com sucesso as principais caracteŕısticas das curvas de calor espećıfico dos sólidos. Nesta aula vamos ver aspectos gerais dos sistema de osciladores, e a aplicação ao espectro da radiação térmica. 123 CEDERJ Física Estatística e Matéria Condensada Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica Sistemas de Osciladores Suponha que tenhamos um conjunto de N part́ıculas quânticas sujeitas a um potencial do tipo harmônico, em equiĺıbrio térmico com um reservatório na temperatura T . Se as part́ıculas são independentes, podemos obter o comportamento do sistema completo a partir da função de partição de um único oscilador, assim começamos por áı. A equação de Schrödinger estacionária para um oscilador tridimensional é − ~ 2 2m ∇2ψ(~r) + ( 1 2 kxx 2 + 1 2 kyy 2 + 1 2 kzz 2 ) ψ(~r) = εψ(~r) , Vamos considerar o caso em que as constantes elásticas são todas iguais a k. Como visto na Aula 18 de Introdução à Mecânica Quântica, os ńıveis de energia devidos a esse potencial tem a forma ε = ( n+ 3 2 ) ~ω n = nx + ny + nz , nx, ny, nz = 0, 1, 2 . . . (10.1) onde ω é a frequência natural do oscilador. Se T = 0 o estado fundamental, com n = 0 é o estado de equiĺıbrio. Quando T > 0, a probabilidade de ocupação de ńıveis acima do fundamental é não nula, sendo dada pelo fator de Boltzmann. O macroestado de um único oscilador pode ser identificado pelo valor de n, e os microestados pelos valores de (nx, ny, nz). A função de partição para um oscilador tridimensional é Z1 = exp ( −β 3~ω 2 ) ∞∑ nx=0 ∞∑ ny=0 ∞∑ nz=0 exp [−β~ω (nx + ny + nz)] =       exp ( −β ~ω 2 ) ∞∑ nx=0 exp (−β~ωnx) ︸ ︷︷ ︸ ≡Zω       3 A soma dentro dos colchetes, Zω, é a função de partição de um oscilador uni- dimensional, a menos de um fator multiplicativo constante. Sua soma pode ser realizada facilmente pela série geométrica (equação ??). Identificamos a = exp (−β~ω) < 1, e usamos que ∞∑ n=0 an = 1 1 − a , a < 1 (10.2) para obter Zω = ∞∑ nx=0 exp (−β~ωnx) = 1 1 − exp (−β~ω) . (10.3) CEDERJ 124 Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica MÓDULO 1 - AULA 10 Vamos considerar a radiação dentro de uma cavidade cúbica, de volume V = L3. Primeiro vamos separar uma dada frequência ω. A intensidade dela depende de quantos fótons existem com essa frequência, assim, vamos calcular o número médio de fótons com determinada frequência, numa dada temperatura T . A energia de η fótons é  = η~ω, assim, a função de partição é a própria Zω. O valor médio de η numa dada temperatura é, por definição, 〈η〉 = 1 Zω ∞∑ η=0 η exp (−βη~ω) . (10.4) Definindo α ≡ β~ω, fica fácil notar que 〈η〉 = − dlnZω dα . (10.5) Usando a expressão (10.3), obtemos a distribuição de Planck 〈η(ω)〉 = 1 exp (β~ω)− 1 . (10.6) Com este resultado podemos imediatamente calcular a energia média dos fótons com frequência ω, que é dada por 〈〉 = 〈η〉~ω. Agora vamos ver quais frequências podem existir na cavidade. O com- primento de onda da radiação de frequência ω é λ = 2πc/ω, sendo c a ve- locidade da luz no vácuo. Por simplicidade supomos uma cavidade cúbica com volume V = L3. Uma cavidade macroscópica implica em L  λ, para todos os comprimentos de onda presentes. Isso implica que podemos des- prezar efeitos ocorrendo próximo às paredes, e descrever a radiação interna à cavidade como simples ondas planas. Como visto na Aula 3 de F́ısica 4A, as ondas eletromagnéticas planas podem ser representadas matematica- mente pelos campos elétrico (~E) ou magnético ( ~B), já que estes apresentam entre si a relação ~B = (~k × ~E)/c, onde ~k é o vetor de onda, com módulo k = 2π/λ na direção de propagação da onda. Escolhemos representar a onda pelo campo elétrico, dado por ~E = ~E0e i(~k ·~r+ωt). Já que o tipo de parede é irrelevante no limite termodinâmico, escolhemos um material condutor para a cavidade, e supomos que esta esteja alinhada com os eixos xyz. Nesse caso, a componente do campo elétrico paralelo a cada parede deve se anular, já que qualquer campo ao longo de um condutor movimenta cargas elétricas até que estas criem um campo que exatamente cancele o externo. Assim, podemos 127 CEDERJ Física Estatística e Matéria Condensada Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica escrever o campo elétrico das ondas estacionárias na cavidade como Ex = Ex0 sen (ωt) cos (nxπx L ) sen (nyπy L ) sen (nzπz L ) Ey = Ey0 sen (ωt) sen (nxπx L ) cos (nyπy L ) sen (nzπz L ) Ez = Ez0 sen (ωt) sen (nxπx L ) sen (nyπy L ) cos (nzπz L ) , (10.7) onde nx, ny, nz são números inteiros positivos, não nulos. Neste caso defini- mos n2 ≡ n2x + n 2 y + n 2 z, e escrevemos as frequências como ωn = nπc L (10.8) Finalmente, lembramos que a cada frequência estão sempre associadas duas polarizações. Agora podemos calcular a energia total da radiação na cavidade somando as contribuições de todas as frequências. Temos E = ∑ n gn〈n〉 = ∑ n gn〈η〉~ωn = ∑ n gn ~ωn exp (β~ωn) − 1 , (10.9) onde gn é a multiplicidade relativa aos valores de n. Assim como no gás ideal, valores macroscópicos de L levam a valores consecutivos de frequência extremamente próximos, permitindo que aproximemos a soma em (10.9) por uma integral. A multiplidade pode ser calculada pelo método de construção da casca de raio n e espessura dn, como feito na Aula 8. Temos gn → 2 × 1 8 4πn2dn . (10.10) O fator 2 leva em conta as duas polarizações e o 1/8 considera apenas os valores positivos de nx, ny e nz. Fazendo a aproximação para o cont́ınuo, e definindo a variável adimensional q ≡ β~nπ/L, podemos escrever a energia como E = L3 π2(~c)3 (κT )4 ∫ ∞ 0 dq q3 eq − 1 . (10.11) A definição da variável q fez com que a integral se tornasse adimensional, uma constante multiplicativa finita. O valor dessa integral pode ser encontrado em qualquer tabela, ele é π4/15. Finalmente, escrevemos E V = κ4π2 15~3c3 T 4 (10.12) Agora a expressão para e(ω) pode ser facilmente obtida, basta que a integral em (10.11) seja escrita em termos das frequências, ou seja E V = ∫ dω e(ω) = ~ π2c3 ∫ dω ω3 exp(β~ω)− 1 , (10.13) CEDERJ 128 Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica MÓDULO 1 - AULA 10 permitindo identificar e(ω) = ~ π2c3 ω3 exp(β~ω)− 1 . (10.14) Densidade de fluxo de radiação: Lei de Stefan-Boltzmann Observa-se experimentalmente que a energia total irradiada por um corpo negro aumenta não linearmente com a temperatura. Vamos usar o modelo de Planck para calcular a quantidade: energia por unidade de tempo, por unidade de área, que emitida pela superf́ıcie do corpo negro. Para esse cálculo, usamos a idéia da cavidade. Vamos considerar en- ergia da radiação que sai do orif́ıcio da cavidade, na direção definida pelos ângulos θ e φ, durante o intervalo de tempo dt, cruzando a área dA (veja a figura 10.3). Essa quantidade corresponde à energia dos fótons propagando- se na direção (θ, φ), dentro do cilindro inclinado, com base de área dA e comprimento cdt. A radiação na cavidade é isotrópica. Isso significa que as direções de propagação são uniformemente distribúıdas. Qualquer volume dentro da cavidade terá uma fração dΩ/4π de fótons propagando com direção dentro do ângulo sólido dΩ = dφ sen θdθ. O fótons que chegarão à área dA durante o intervalo dt são aqueles que estão no cilindro. A energia deles pode ser encontrada multiplicando-se a densidade de energia pelo volume do cilin- dro. Finalmente, somamos sobre todas as direções, lembrando que queremos apenas valores de θ definindo radiação que sai da cavidade. Assim, temos JE = 1 dAdt ∫ 2π 0 dφ ∫ π/2 0 (dAcdt cos θ ) ( E V ) sen θdθ = cE 4V = σBT 4 , (10.15) sendo σB a constante de Stefan-Boltzmann definida como σB = π2κ4 60~3c2 = 5, 670 × 10−8 . (10.16) A expressão (10.15) é denominada lei de Stefan-Boltzmann. Emissão e absorção: Lei de Kirchhoff A capacidade de uma superf́ıcie emitir radiação é proporcional à ca- pacidade dela absorver radiação. Este é o enunciado da lei de Kirchhoff (1959). Definindo como a a absorvância, ou fluxo de radiação absorvida, e e a emitância, ou fluxo de radiação emitida, observamos que 129 CEDERJ Física Estatística e Matéria Condensada Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica d RS Temos P = 4πd2JT . Assim, na superf́ıcie do Sol, JS = P 4πR2S = JT ( d RS )2 . Agora usamos a a lei de Stefan-Bolztmann para obter a temperatura: JS = σBT 4 → T = [ JT σB ( d Rs )2 ]4 = 5761 K fim da atividade Radiação de fundo do universo Em 1965 foi observado que o universo era repleto de radiação eltro- magnética com espectro na forma (10.14). O ajuste dessa expressão aos dados experimentais revelou um espectro na região de micro-ondas, consi- tente com uma temperatura de 2,8 K. A existência dessa radiação é uma das principais evidências que fundamenta a teoria do Big-Bang. Nessa teoria, o universo inicial era feito de fótons, elétrons e prótons, numa temperatura de cerca de 4000 K. Os fótons constantemente interagiam com elétrons e prótons, através de diversos mecanismos. À medida que o universo se ex- pandiu adiabaticamente, sua temperatura caiu e a combinação de elétrons e prótons na forma de átomso de hidrogênio tornou-se favorável por volta dos 3000 K. Nesse ponto a radiação eletromagnética se desacoplou da matéria, e os fótons passaram a viajar livremente pelo universo, formando a radiação térmica de fundo. O universo continuou sua expansão, o que provocou o resfriamento da radiação de fundo até o valor atual, de 2,8 K, e esse processo de resfriamento continua. Resumo Nesta aula aprendemos como calcular a função de partição de osciladores quânticos em equiĺıbrio térmico. Aplicamos esse resultado à radiação eletro- magnética de uma cavidade em equiĺıbrio térmico, calculando o espectro de CEDERJ 132 Aula 10 - Aplicação: Radiação Térmica MÓDULO 1 - AULA 10 emissão de radiação. Observamos que a forma do espectro depende forte- mente da temperatura, sendo pos ı́vel calcular a temperatura de um objeto radiante pelo registro do comprimento de onda do pico de emissão de ra- diação. Informações sobre a próxima aula Na próxima aula usaremos o resultado geral dos sistema de osciladores para explicar o comportamento do calor espećıfico de sólidos. Leitura complementar S. R. A. Salinas, Introdução à F́ısica Estat́ıstica, primeira edição São Paulo, EDUSP, seção 10.2. 133 CEDERJ