CEDERJ - Aula 01 - Física Estatística

CEDERJ - Aula 01 - Física Estatística

(Parte 1 de 3)

Aula 1 - Micro × macro MODULO 1 - AULA 1

Aula 1 - Micro × macro

Meta

Apresentar as escalas de tempo, comprimento e energia de diversos processos fısicos, bem como as diferencas entre fenomenos micro e macroscopicos.

Objetivos Ao final desta aula, voce devera ser capaz de:

1. Reconhecer e aplicar o conceito de media, relacionando-o a valores de grandezas macroscopicas.

2. Identificar escalas de tempo, comprimento e energia associadas a alguns sistemas fısicos.

3. Identificar grandezas e variaveis intensivas e extensivas.

Pre-requisitos

Esta aula requer que voce esteja familiarizado com os conceitos de Teoria Cinetica dos Gases apresentados na Aula 7 desta disciplina e com as equacoes de Boyle e Gay-Lussac (ou Charles) apresentadas na Aula 8 de Fısica 2A.

Introducao

No final do seculo XIX a Termodinamica ja podia ser considerada como uma teoria bem estabelecida. Atraves dela o comportamento termico de varios sistemas pode ser compreendido no nıvel macroscopico levando a um grande desenvolvimento tecnologico. A possibilidade de construcao de maquinas termicas e motores foi fundamental para o que hoje conhecemos como Revolucao Industrial. boxe de curiosidade A Revolucao Industrial consistiu em um conjunto de mudancas tecnologicas

1 CEDERJ

FísicaEstatísticae MatériaCondensada

Aula 1 - Micro × macro com profundo impacto no processo produtivo em nıvel economico e social. Iniciada na Inglaterra em meados do seculo XVIII, expandiu-se pelo mundo a partir do seculo XIX. A Fısica desenvolvida nessa epoca teve um papel fundamental no desenvolvimento de novas tecnologias. Especificamente, a Termodinamica permitiu que fossem construıdas maquinas termicas mais eficientes para uso direto no processo industrial, como os teares, ou para a expansao dos meios de transporte, como o motor a vapor e o motor a combustao interna. fim do boxe de curiosidade

Um dos principais ingredientes da formulacao matematica da Termodinamica sao as variaveis de estado que, como o nome indica, descrevem o estado macroscopico do sistema. Alguns exemplos sao: energia (E), entropia (S), volume (V ), pressao (p) e temperatura (T). O arcabolco da Termodinamica e um conjunto de leis a serem obedecidas pelas variaveis de estado. Normalmente parte-se de alguma relacao empırica entre algumas variaveis de estado e relacoes entre outras variaveis podem ser obtidas com o uso das leis da Temodinamica. Nessa abordagem sempre lidamos com a descricao macroscopica.

O que falta na Termodinamica e uma forma de encontrar relacoes entre variaveis de estado a partir de princıpios fundamentais da escala microscopica. O objetivo da Fısica Estatıstica (FE) e complementar a Termodinamica, obtendo a descricao macroscopica de um sistema fısico formado por um numero muito grande de partıculas, a partir do conhecimento estatıstico no nıvel microscopico.

Historicamente pode-se considerar a formulacao do Teorema H por

Boltzmann em 1872 como o marco inicial da FE. Nesse teorema Boltzmann mostra que, enquanto um sistema relaxa para o equilıbrio, e possıvel definirse uma funcao, a funcao H, que nunca aumenta com o passar do tempo. A partir dessa funcao, Boltzmann propos uma definicao de entropia ligada ao grau de desordem do sistema e compatibilizou o princıpio do aumento da entropia, existente na Termodinamica, com a visao estatıstica de um sistema fısico. Em poucas palavras, Boltzmann mostrou que um sistema que evolui no tempo, com energia constante, encontra seu equilıbrio na configuracao mais desordenada, que e tambem a mais provavel.

Nessa epoca a Mecanica Quantica ainda nao havia sido formulada, e todo o desenvolvimento inicial da FE foi feito atraves da descricao classica do movimento das partıculas. Assim, havia uma serie de resultados que

CEDERJ 2

Aula 1 - Micro × macro MODULO 1 - AULA 1

Figura 1.1: Um texto de Fısica Estatıstica nao esta completo sem uma foto de Boltzmann.(Por favor incluir uma foto de Boltzmann) conflitavam com observacoes experimentais, especialmente com relacao ao comportamento a baixas temperaturas.

Foi exatamente na tentativa de descrever a radiacao termica por Planck, em 1901, que surgiu a ideia de que a energia da radiacao eletromagnetica emitida pelos atomos nas paredes de uma cavidade deveria ser quantizada, e nao contınua. O modelo proposto por Planck e considerado como o inıcio da Mecanica Quantica. A medida que a descricao quantica passou a ser usada, a excelente concordancia entre as previsoes da FE e as observacoes experimentais consagrou a teoria. boxe de curiosidade: A questao fundamental perseguida por Boltzmann era como sistemas macroscopicos podiam apresentar irreversibilidade se as leis que regem o mundo microscopico sao reversıveis. A resposta veio ao estudar as colisoes aleatorias entre moleculas de um gas. Ao longo da for- mulacao do problema, Boltzmann definiu a funcao H = ∫ P(~u)lnP(~u)d~u, em termos da probabilidade P(~u) de encontrar uma molecula com velocidade entre ~u e ~u + d~u. O processo em questao, a termalizacao do gas de moleculas, esta embutido na forma funcional de P(~u); essa funcao muda a medida que o gas atinge o equilıbrio termodinamico atraves de colisoes entre as moleculas. E possıvel mostrar-se que essa funcao H nunca aumenta. A partir dela a entropia para N moleculas foi definida como S = −NκH, sendo κ uma constante, mais tarde denominada constante de Boltzmann. A teoria de Boltzmann foi muito atacada na epoca, levando o cientista a um profundo estado de depressao que culminou com seu suicıdio em 1906. fim do boxe

Inicialmente criada para o estudo de sistemas fısicos, a abrangencia de sua formulacao estendeu a aplicabilidade da FE a outras areas, como biologia e economia, no final do seculo X. Em poucas palavras, a FE fornece um mecanismo sistematico para o calculo das probabilidades de ocorrencia de configuracoes microscopicas, como veremos na Aula 6. Nesse calculo os ingredientes principais sao a energia e a temperatura. A FE combina o princıpio de minimizacao da energia da Mecanica com a maximizacao da entropia, princıpio proveniente da Termodinamica atraves da Segunda Lei. O estado de equilıbrio de um determinado sistema e determinado por esses dois processos de extremizacao sendo a minimizacao de energia dominante a baixas temperaturas, e a maximizacao da entropia, a altas temperaturas.

3 CEDERJ

FísicaEstatísticae MatériaCondensada

Aula 1 - Micro × macro

A Teoria Cinetica

A primeiratentativa de descricao microscopica de um sistema macroscopico foi feita atraves Teoria Cinetica dos Gases. Nessa abordagem o movimento das moleculas do gas e descrito pelas leis da Mecanica Classica e considera-se que elas caminham e colidem entre si e com as paredes do reservatorio de forma aleatoria. Na Aula 7 de Fısica 2A voce viu a determinacao cinetica da pressao de um gas ideal e a sua relacao com a lei de Boyle. Praticamente todas as ideias que serao trabalhadas nas proximas aulas estao presentes no modelo cinetico do gas ideal. Em primeiro lugar temos um sistema que contem um numero elevadıssimo de partıculas. Neste caso o sistema e um gas de baixa densidade, contido num recipiente macroscopico de volume V . box de atencao: Para o melhor entendimentodestes conceitos e importante que voce refaca os Exercıcios 2, 3 e 4 da Aula 7 de Fısica 2A. fim do boxe Num volume macroscopico numero de moleculas do gas, N, e da ordem do numero de Avogadro (Na), ou seja, N ∼ 1023. Qualquer tentativa de entender o comportamento desse sistema atraves do conhecimento da posicao e da velocidade de cada molecula sera infrutıfera. Mesmo se conseguıssemos ter acesso a esses dados, a qualquer instante de tempo, eles seriam inuteis para responder as perguntas que geralmente sao feitas sobre um sistema como esse, basicamente: quais sao seus valores de pressao, densidade e temperatura.

Atraves de hipoteses simplificadoras sobre o comportamento microscopico das moleculas, a teoria cinetica possibilita relacionar a pressao p, que e uma grandeza macroscopica, com as velocidades moleculares ~ui, i = 1,2,...N, atraves do valor medio, 〈u2〉, do quadrado da velocidade como:

sendo

e ρ a densidade volumetrica. Finalmente, a conexao com a temperatura (outra grandeza macroscopica) pode ser feita a partir de observacoes empıricas, tais como a lei de Boyle (pV = constante), ou a lei de Gay- Lussac ou Charles (V/T = constante). Com esse procedimento comecamos com uma visao microscopica, dada pelos valores de 6N variaveis (valores de ux, uy, uz, x, y e z de cada molecula), e chegamos a macroscopica, com 3 variaveis: p, V e T. O processo envolveu o calculo de valores medios para descrever o conjunto de moleculas.

CEDERJ 4

Aula 1 - Micro × macro MODULO 1 - AULA 1

Atividade 1 (Objetivo 1) Os conceitos de media e densidade podem ser usados em qualquer sistema, nao apenas os formados por atomos e moleculas. Veja a foto abaixo, que mostra varios graos de arroz espalhados sobre uma folha de papel. Como voce faria para estimar o numero de graos nessa foto usando o conceito de densidade?

Resposta comentada Uma inspecao visual mostra que a densidade de graos e razoavelmente homogenea, portanto, podemos contar quantos graos estao num pequeno quadrado, e depois calcular a area total. Como definir o tamanho do quadrado? Ele deve ser grande o suficiente para ter um numero razoavel de graos, mas nao muito grande, porque queremos exatamente evitar ter que contar muitas graos. Se o quadrado for muito pequeno o numero de graos nele dependera muito de onde esta colocado, o que levaria a uma dispersao enorme no valor medio do numero de graos na dada area. Para vermos o efeito dessa escolha vamos considerar quadrados com 2 cm de lado (linha preta) e com 1 cm de lado (linha amarela). Vamos posicionar cada quadrado em 5 pontos distintos e contar quantos graos estao dentro de cada um. Imediatamente notamos a primeira dificuldade: como lidar com graos que estao parcialmente dentro do quadrado. Vamos estimar as fracoes de grao nas bordas dos quadrados.

Comecemos com os quadrados menores, em amarelo. Chamando de ni

5 CEDERJ

FísicaEstatísticae MatériaCondensada

Aula 1 - Micro × macro o numero de graos no i-esimo quadrado temos:

e o desvio quadratico medio:

Chamando de a a area dos quadrados amarelos, calculamos a densidade superficial media de graos, definida como 〈ρ〉 ≡ 〈n〉/a. Neste caso ficamos com 〈ρ〉 = 10,6 graos/ cm2. A area total da foto e 103,8 cm2, portanto, a estimativa do numero total de graos e 914.

Repetimos o procedimento usando os quadrados maiores, com a = 4 cm2. Neste caso encontramos:

Outras quantidades calculadas sao: 〈n〉 = 34,4, σ = 1,85 e 〈ρ〉 = 8,6 graos/ cm2. Neste caso o numero total de gaos na foto e estimado em 893. fim da atividade

Escalas de tempo, comprimento e energia

A conexao entre os mundos micro e macroscopico so e possıvel porque as escalas de tempo e distancia caracterısticas das duas descricoes sao muito diferentes. Qualquer medicao ou observacao macroscopica demora um tempo extremamente longo em comparacao aos tempos tıpicos de variacoes microscopicas. Podemos fazer algumas estimativas tomando como exemplo um recipiente macroscopico contendo um mol de helio a temperatura ambiente e pressao atmosferica. Comecamos por calcular o volume ocupado por 1 mol de gas. Usamos a equacao de estado do gas ideal, pV = nRT, com os dados n = 1, nas CNPT, ou seja, T = 300 K, p = 105 Pa (≈ 1 atm). Assim, obtemos:

V = nRT

CEDERJ 6

Aula 1 - Micro × macro MODULO 1 - AULA 1

(Parte 1 de 3)

Comentários