CEDERJ - Aula 06 - Física Estatística

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(Parte 1 de 4)

Aula 6 - Sistemas com T constante: a distribuicao de Boltzmann MODULO 1 - AULA 6

Aula 6 - Sistemas com T constante: a distribuicao de Boltzmann

Meta

Descrever estatiscamente o equilıbrio termico com um reservatorio a temperatura constante e estabeler a conexao com a Termodinamica atraves da definicao da funcao de particao.

Objetivos Ao fim desta Aula voce devera ser capaz de:

1. calcular a probabilidade de ocorrencia de um determinado micro ou macroestado, quando a temperatura e mantida constante;

2. calcular a funcao de particao;

3. utilizar a funcao de particao para obter informacoes sobre a termodinamica do sistema e

4. demonstrar o princıpio da equiparticao da energia.

Pre-requisitos

Para o melhor entendimento desta aula voce deve rever algumas aulas de Fısica 2A revisando os conceitos de energia interna (Aula 8), calor especıfico (Aula 9) e Primeira Lei da Termodinamica (Aula 10).

Introducao

O equilıbrio termico tratado ate agora considerava que a energia total ficava constante. Como no caso da troca de calor entre corpos dentro de um calorımetro, neste caso nao temos controle sobre a temperatura final de equilıbrio, ela e uma consequencia da escolha feita para os materiais que compoem os corpos envolvidos, suas massas e temperaturas iniciais. Atraves

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Aula 6 - Sistemas com T constante: a distribuicao de Boltzmann da descricao microscopica, vimos que a temperatura de equilıbrio, ou a energia final de cada corpo, pode ser determinada pelo calculo da multiplicidade da configuracao de troca de energia mais provavel. Vimos tambem que, no limite termodinamico, a configuracao mais provavel domina completamente, sendo desprezıvel a probabilidade de encontrar o sistema em qualquer outra configuracao. Dizemos, neste caso, que observamos o equilıbrio num sistema em que a energia foi controlada e a temperatura foi deixada livre para flutuar. Verificamos que essas flutuacoes tornam-se muito pequenas a medida que o tamanho do sistema aumenta, fazendo com que a temperatura de equilıbrio seja bem definida. Do ponto de vista experimental o controle da temperatura e mais conveniente em inumeras situacoes. Mesmo em nossa vida do dia a dia temos facil acesso a temperatura de uma forma geral, seja a temperatura do ambiente ou a de alguem com suspeita de febre. O comportamento de sistemas em funcao da temperatura e algo que sempre se deseja conhecer, por isso existem equipamentos projetados para o controle da temperatura de um sistema, permitindo um estudo de suas propriedades em funcao da temperatura. Assim, vamos buscar uma descricao estatıstica sob esse ponto de vista.

Repetimos o procedimento da Aula 4, ou seja, consideramos um sistema combinado, com duas partes identificaveis, isolado do meio externo. A diferenca agora e que uma das partes e muito maior que a outra, e sera chamada reservatorio. A figura 6.1 mostra uma representacao dessa configuracao. A parte menor recebera o nome de sistema simplesmente, e e nela que estamos interessados. A energia total, E0, e mantida constante, e depois que o equilıbrio termico foi atingido, temos que a energia do sistema e ε e a do reservatorio, E0 − ε. As perguntas agora sao: Como determinar a energia do sistema depois que o equilıbrio termico for atingido? Ja que estamos controlando a temperatura, em que condicoes a energia sera uma grandeza bem definida, ou seja, em que circunstancias as flutuacoes de energia serao desprezıveis?

A distribuicao de Boltzmann

Assim como no caso do equilıbrio termico descrito na Aula 4, devemos admitir todos os possıveis valores para a energia do sistema. Um deles sera mais provavel e, no limite termodinamico, esperamos que corresponda ao estado de equilıbrio. Comecamos calculando a probabilidade Pj de que o sistema esteja num determinado microestado dentro de todos os possıveis,

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Figura 6.1: Um sistema S em contato com um reservatorio termico R. A fronteira de S permite que haja troca de energia com o reservatorio, e o sistema combinado S + R esta isolado do meio externo, sendo a energia total, E0, constante.

considerando todos os macroestados. Se o sistema esta num microestado j de energia ε, o reservatorio estara no macroestado de energia E0 − ε e multiplicidade gR(E0−ε). Note que o microestado j pode ocorrer estando R em qualquer um de seus microestados de energia E0−ε. Seguindo a hipotese fundamental de Boltzmann, de que no equilıbrio o sistema passeia por todos os seu estados acessıveis, passando o mesmo tempo em cada um deles, temos que o tempo em que ele estara no microestado j sera proporcional a gR, ou seja, a probabilidade Pj sera proporcional a gR. Se j e um microestado do macroestado de energia ε, temos entao onde c e uma constante de proporcionalidade, a ser determinada por normalizacao. Como estamos interessados no limite termodinamico, estaremos li- dando com valores de Pj que variam muito rapidamente dependendo do valor de ε escolhido. Por isso e mais conveniente trabalhar com lnPj = lnc+lngR. Continuamos, usando o fato do reservatorio ser muito maior que o sistema, significando que E0 ε, e de podemos expandir lnPj em serie, na forma

Vamos considerar apenas ate o termo linear da expansao em serie. Podemos identificar SR = κlngR como a entropia do reservatorio. Neste caso, usando a definicao (4.6) de temperatura, temos que

lnPj(ε) = lnC − ε κTR

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Aula 6 - Sistemas com T constante: a distribuicao de Boltzmann sendo TR a temperatura do reservatorio, e C uma constante. Em princıpio c 6= C porque ao truncarmos a serie, a normalizacao de Pj pode mudar. Como no equilıbrio as temperaturas do sistema e do reservatorio serao iguais, podemos abolir o ındice R adotado para a temperatura. A constante de proporcionalidade deve ser determinada por normalizacao, somando-se as probabilidades referentes a todos os microestados possıveis para S,

exp(− ε κT

j exp(− ε κT

Definimos entao

exp(− εj κT o que leva a definicao de probabilidade para um dado microestado como

A funcao Z e chamada funcao de particao. As probabilidades definidas em (6.6) compoem o que chamamos de distribuicao de Boltzmann. Chamamos de fator de Boltzmann a exp(− εj κT

) . A soma em (6.5) e sobre todos os mi- croestados dos sistema, portanto teremos varios termos iguais (os g(ε) termos que pertencem ao mesmo macroestado). Podemos agrupa-los e escrever Z em termos de uma soma sobre os macroestados como

Com isso, a probabilidade de um determinado macroestado e

A Figura 6.2 mostra o comportamento do fator de Boltzmann em funcao da energia e da temperatura, separadamente. No primeiro caso vemos que, quanto mais baixa a temperatura, menor e a probabilidade de ocupacao de microestados de energia elevada. Se agora fixamos a energia do microestado, vemos que microestados de energia elevada tem uma chance razoavel de ocupacao apenas se aumentamos a temperatura.

Atividade 1 (Objetivo 1) A diferenca de energia entre estados eletronicos e medida em eV, entre estados nucleares, em MeV= 106 eV, e entre estados subnucleares, em GeV= 109

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Figura 6.2: Comportamento do fator de Boltzmann em funcao da (a) energia, em meV e (b) temperatura em K.

eV. A que temperaturas as excitacoes eletronicas, nucleares e subnucleares serao relevantes? Resposta comentada Se temos dois microestados com energias ε e ε + ∆, a distribuicao de Boltzmann nos diz que a probabilidade relativa de ocupacao deles e dada por

Assim, para um dado valor de ∆ε, quanto maior for a temperatura (menor β), maior a probabilidade da partıcula ocupar o microestado com energia ε + ∆ε. De uma forma geral, dizemos que quando κT > ∆ε a ocupacao do microestado de energia ε + ∆ε torna-se relevante. Vamos, entao, calcular a temperatura T = ∆ε/κ acima da qual as excitacoes com energia ∆ε tem chance razoavel de ocorrer, para os processos dados.

estados subnucleares (quarks): ∆ε = 106 eV → TQ ≈ 1013 K Fim da atividade

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A expressao (6.8) e especialmente util quando a energia e uma variavel contınua. Esse e o caso de sistemas classicos, e de alguns sistemas quanticos, no limite termodinamico. Se ε e uma variavel contınua, a soma e substituıda por uma integral na forma

onde D(ε) e o que chamamos densidade de estados, e D(ε)dε e a multiplicidade referente ao intervalo de energia ε → ε + dε.

Podemos usar (6.6) ou (6.8) para calcular os valores medios de grandezas.

Por exemplo, seja uma grandeza definida pela funcao f(ε), seu valor medio e dado por j f(εj)exp(− εj κT

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