CEDERJ - Aula 15 - Física Estatística

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Aula 15 - Gas de bosons MODULO 1 - AULA 15

Aula 15 - Gas de bosons

Meta Apresentar as principais propriedades do gas ideal de bosons.

Objetivos Ao final desta aula, voce devera ser capaz de:

1. Calcular a temperatura de Einstein.

2. Calcular a dependencia da ocupacao do orbital fundamental com a temperatura.

Pre-requisitos Para melhor entendimento desta aula voce deve revisar a Aula 13.

Introducao

O gas de bosons tem propriedades bem diferentes das do gas de eletrons.

A mais importantee a possilidade de concentrar uma quantidade macroscopica de partıculas no orbital fundamental, numa temperatura bastante acima do zero absoluto, um efeito que leva o nome de condensacao de Bose-Einstein. Bose foi um fısico indiano que por volta de 1920 estudava a entao nova ideia de que a luz era formada por quanta, os fotons. Ele chegou ao que conhecemos hoje como distribuicao de Bose-Einstein, mas sendo um cientista desconhecido na epoca, teve dificuldades em ter seus resultados aceitos pela comunidade cientıfica. Einstein, que ja era um cientista renomado, entendeu a importancia de seus resultados e os estendeu a atomos. O efeito previsto pela estatıstica de Bose-Einstein foi usado de forma indireta para explicar a supercondutividade (J. Bardeen, L. Cooper e R. Schrieffer, Nobel de fısica em 1972 pela teoria BCS) e a superfluidez (L. Landau, Nobel de fısica em 1962), mas foi observado diretamente apenas em 1995 por E. Cornell e C.

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Aula 15 - Gas de bosons

Figura 15.1: (a) O potencial quımico deve estar abaixo do orbital fundamental para que a soma de Gibbs seja convergente. (b) A medida que a temperatura abaixa o potencial quımico se aproxima do orbital fundamental, fazendo com que a ocupacao deste seja macroscopica.

Wieman em atomos de rubıdio. Esses dois cientistas, junto com W. Ketterle receberam o Nobel de Fısica em 2000 por esse feito. A condensacao de Bose-Einstein e um desses exemplos em que a teoria antecede a experiencia. Nesta aula veremos um gas de atomos bosonicos, sendo um exemplo tıpico os atomos He4, que apresenta uma fase superfluıda a baixas temperaturas.

Propriedades do potencial quımico de bosons

Como vimos na Aula 12, nao ha restricao para a ocupacao de um orbital por bosons. Assim, a soma de Gibbs para esse sistema fica

Para que essa soma seja convergente devemos ter exp[β(µ − ε)] < 1, o que significa que sempre devemos ter µ < ε. Isso deve valer para qualquer orbital, entao µ deve ser menor que a energia do orbital fundamental, como ilustrado na figura ??. E de se esperar que o potencial quımicodependa da temperatura e da concentracao do gas. Mesmo sem saber sua forma funcional, temos que maior valor possıvel para µ sera a energia do orbital fundamental. Vamos recordar a distribuicao de Bose-Einstein:

Aqui, fBE(ε) da o numero medio de bosons no orbital de energia ε. Vamos supor que µ < ε0 escrevendo ε0 = µ + δ2. O quadrado garante que estamos somando uma quantidade positiva a µ, levando sempre a condicao µ < ε0.

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Temos

] → ∞, e f(ε0) → 0, o mesmo ocorrendo para todos os outros orbitais. Assim para um valor finito de δ, as ocupacoes de todos os orbitais seriam muito baixas. Esse sistema nao tem nada de interessante! Por outro lado, se δ2 → 0, δ2/κT sera finito em T → 0, e a ocupacao do orbital fundamental sera muito grande, e a dos outros orbitais muito pequena. Esse e o comportamento que nos interessa, e que foi previsto por Einstein (veja a figura ??. Dizemos que nesse caso, ha uma condensacao de atomos no orbital fundamental. Esse fenomeno tem o nome de condensacao de Bose-

Einstein. Para uma dada concentracao, chamamos de TE a temperatura para qual ocorre a condensacao de Bose-Einstein, ou seja, para a qual um numero macroscopico de atomos esta populando o orbital fundamental.

Usando uma notacao comum neste problema, vamos usar o orbital fundamental como referencia, ou seja, vamos subtrair o valor de sua energia de todos os outros. Assim, daqui para frente a energia do orbital fundamental sera zero, e o potencial quımico sera sempre negativo, sendo zero seu maior valor.

Estimativa de TE

Comecamos calculando o numero total de partıculas. Usamos a mesma expressao do sistema de fermions, equacao (14.5). Aqui vamos supor que o spin do atomo seja s, assim, para cada orbital temos γ = (2s + 1) possıveis projecoes de spin.

Quando T = TE temos µ = 0, logo exp( ε

Definimos a variavel adimensional x ≡ ε/κTE, com ela reescrevemos a integral como

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O valor da integral adimensional e 1,306pi1/2. Com isso temos o resultado final

Note que para que TE nao seja baixa demais, a massa do atomo em questao deve ser a menor possıvel. O He4 e um bom candidato, tendo uma massa molar de 4g. O helio lıquido tem uma concentracao molar de 27,6 cm3/mol, levando a TE ≈ 3 K.

Atividade 1 Calcule a diferenca de energia entre os dois primeiros nıveis do He4, em termos de temperatura. Compare com o valor estimado para TE. Considere o gas confinado a um cubo de lado L = 1 cm 3

Resposta comentada Os dois primeiros nıveis tem numeros quanticos (1,1,1) e (1,1,2). Temos

Assim,

Podemos escrever ∆ε em termos de temperatura, basta dividir por κ. Colocando os dados para o helio, chegamos a T ≈ 1,8×10−14 K, um valor muito menor que TE. Pela estatıstica do gas classico, sendo essa a separacao dos dois primeiros nıveis, em T = 3 K ja deverıamos ter uma populacao bastante grande no primeiro estado excitado.

Comportamento para T > TE

Queremos saber como o numero de atomos no condensado depende da temperatura. Para isso consideramos duas contribuicoes: N0 correspondendo aos atomos no orbital fundamental, e Ne para todos os outros orbitais, sao os atomos excitados. Sempre devemos ter N = N0(T) + Ne(T).

Para o orbital fundamental, ε = 0 e

Para os atomos excitados temos

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Figura 15.2: Populacao relativa do orbital fundamental em funcao da temperatura.

sendo x a variavel adimensional definida anteriormente. Podemos realizar a integral desde ε = 0 para os atomos excitados porque o integrando e nulo quando ε = 0.

Vamos considerar a situacao em que N0 1. Neste caso λ ≈ 1 (ou µ ≈ 0) e podemos usar a aproximacao

Como N0 = N −Ne, podemos escrever

A figura ?? mostra o comportamento de N0/N em funcao da temperatura.

Manifestacoes da condensacao de Bose-Eintein

Supercondutividade

Em metais os eletrons de conducao sofrem dois tipos de interacao eletrostatica: a repulsao com relacao a outros eletrons de conducao e a atracao pelos ıons positivos da rede. Em situacoes muito especiais observa-se uma

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Aula 15 - Gas de bosons atracao efetiva entre os eletrons de conducao, intermediada pelos ıons positivos. Numa descricao simplista, a passagem de um eletron por um ıon positivo faz com que este se desloque levemente, e atraia outro eletron da vizinhanca. Esses eletrons formam um par correlacionado, que recebe o nome de par de Cooper por terem sido descobertos por L. Cooper em 1956. Como o movimento dos ıons positivos cria fonons, dizemos que os dois eletrons do par interagem via fonons. Os eletrons individualmente sao fermions, mas o par e um boson. A condensacao desse bosons foi o mecanismo proposto por Bardeen, Cooper e Schriffer para o fenomeno da supercondutividade, daıo nome de teoria BCS. O movimento coletivo desses bosons formam uma corrente com caracterısticas completamente diferentes da corrente usual, em que os eletrons estao descorrelacionados.

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